千树万树梨花开——记一双根号函数求最值的多角度思考

江苏省兴化市第一中学 (225700)

舒结高*



千树万树梨花开
——记一双根号函数求最值的多角度思考

江苏省兴化市第一中学 (225700)

舒结高*

该题型在一些杂志和试卷中也有偶见，笔者认为作为填空题的压轴题，用来考查学生的综合运用能力，对学生而言，肯定会有很多想法.但考后统计发现，该题得分率较低.学生普遍认为真正入手解决这个问题却非易事.“入口难、思路打不开”是绝大部分学生遇到的困境.

1.导数法来探路

求导是解决复杂函数的常用之法，考虑对原函数进行求导.

点评:利用导数求最值思路清晰，也是学生容易想到的方法.但是有时只能“望梅止渴”，毕竟一些函数求导数还是比较复杂的，就像本题的双根号问题，很多学生只是想用导数，却没有胆量去尝试算算，进而没求出结果.

2.三角换元试试看

3.向量法来帮忙

图1

4.双换元是通法

利用构造法，产生了两个向量，如果我们直接采用双换元，那会不会变成我们常见的问题呢？

图2

这就变成了易处理的直线与圆的位置关系，再根据线性规划，就可以直接求出最值.

点评:归纳刚才的解法，这样的双根号问题，一般包含两种类型：

*作者现为青海师大2014级数学教育硕士.