例谈“学讲”在平几综合题教学中的运用

江苏省新沂市马陵山中学　陆敬广

例谈“学讲”在平几综合题教学中的运用

江苏省新沂市马陵山中学陆敬广

“学讲方式”的教学理念已在广大教师的心目中扎下了根。在这种形势下，一个有上进心的教师，决不会在怎样传授知识上下功夫，而应该在指导学生怎样掌握知识、提高能力上下功夫。

学讲方式平几综合题数形结合

“学讲方式”正在我市如火如荼地开展着，可谓形势一片大好。一些学科请了专家进行解读，更多的学科举办各级各类的“学讲”公开课。从这些讲座、公开课可以看出，“以学定教”的教学理念已在广大教师的心目中扎下了根，“学讲方式”已为大家所认可。在这种形势下，一个有上进心的教师，决不会在怎样传授知识上下功夫，而应该在指导学生怎样掌握知识、提高能力上下功夫。打个比方说，我们交给学生一块金子，他用完了就没有了，若是教给他点石成金的“法术”，那他就会终身享用不尽。目前，国家需要我们培养出具有开拓精神的新世纪人才，更需要我们对学生的学法加强研究和指导。可以说，“学讲方式”就是在这种大背景下产生的。下面以解平面几何综合题为例，谈谈“学讲方式”在数学教学中的运用。

综合题，一般来说用到的基础知识较多，一题可以考查多个知识点的掌握情况，而考查的知识点在教材中的跨度较大，隐蔽性较强。从综合题的构造上看，很多是多个知识点或简单习题的组合。我们要提高解综合题的能力，就是要加强思维锻炼，善于从宏观上把握住综合题的实质，化整为零，寻求解综合题的突破口。初中数学中的平面几何综合题，一般地被学生视为较棘手的问题，尤其是需要添加一些辅助线，更使一些学生望而生畏，甚至不敢问津。

添加辅助线的工作在几何证题中犹如架桥，使此岸到彼岸成通途。这桥怎么架？架在何处？自然大有讲究。我们常常遇到这样的情况：信手作一条辅助线，发现这线不能解决问题，再做一条，致使辅助线作了不少，弄得自己也搞糊涂了，问题仍未解决。所以在添辅助线之前，首先必须确定添在何处；第二确定添加什么样的辅助线。这时，我们就可以把“学讲方式”用到添加辅线上来。先让学生独立思考，然后再进行小组合作，最后确定如何添加辅助线。一般地说，在已知条件较为集中的地方或离结论较近的地方添加较为有利，或者添加辅助线使题设与结论联系起来，使问题变得明朗化。

如已知AB是⊙O的直径，点M、N在AB所在的直径上，且MA=AB=BN，而MP切⊙O于点C，求证：∠MCA=∠PCN。（图略）本题的已知条件主要有三条，即“切线、直径、三等分点”，分析问题的落脚点不同，添加辅助线的方法也各异。（1）以“切线”为思考主途径，结合其他条件。连OC，可知OC⊥MP.为利用“三等分点”条件，不妨过M作直线平行于NC，交CA延长线于E，交CO延长线于F.这样，可将∠PCN转移到∠PMF，可改证∠MCA=∠FMC，在Rt△MCF中，只须证E为MF中点即可。由ME/CN=1/2，MF/CN=1，可知E为MF中点，结论易证。另外，由OA=1/2AM，OC=OF，知A为△CMF重心，也可推得E为MF中点，可得结论。（2）以直径为思考主途径，结合其他条件。连BC，则∠ACB=90°，过B作EF∥NC交AC于E，交MC于F，于是∠PCN转化为∠CFE。只须证CE=FE即可。不妨令MA=AB=BN=l，由MC2=MA·MB，可得，由△MCA∽△MBC知CA/BC= MC/MB=，在Rt△ABC中，由勾股定理得；又E为 AC中点，故，在Rt△CEB中可求得，所以，BF=，EF=BF-BE=所以EF=EC，结论易得。若延长N C，将∠PCN转化为其对顶角，则可改证M C为△A CN的外角平分线，由，所以AC/CN=1/3，又MA/ MN=1/3，故AC/CN=MA/MN，证法则更显简捷巧妙。

学生通过“学讲方式”中的“小组合作”，肯定会提出不同的看法。如以上添加辅助线的方法除以“切线”、“直径”为突破口外，都以“等分点”所揭示的“平行线与线段成比例”这一重要性质作工具，把题设和结论巧妙地结合起来，使问题顺利得以解决。解决本题如能把三角知识与平几知识有机地结合起来，更可以使我们思维开阔，得心应手。不妨设MA=AB=BN=1，在Rt△CMO中，可求得cos∠COM=1/3，在△COA中，用余弦定理可求，在△CON中（利用cos∠CON= -1/3），可知AC/CN=AO/ON，由内角平分线定理的逆定理得∠ACO=∠NCO，故∠MCA=∠PCN。以上解法仅连CO，但是用三角知识把三个主要条件联系起来，就轻而易举地解决了问题。只要我们把握住思维规律，像刑侦人员破案那样，充分利用已知条件，善于发现隐含条件，发挥所学过知识的作用，顺藤摸瓜，定能获得成功。解题的过程就是锻炼思维的过程，只要你放得开，思路活，就能逐渐提高解综合题的能力。

实施“学讲方式”，当然要强调学生的课前自主先学；但在课堂上，就要让学生跟着老师的思路，默默地回忆，弄懂预习时不懂的地方。同学之间的交流，也要多与老师接触，吸其所长。每个人的思想和思维方法都是不同的，如果能从其他人那儿吸取到长处来弥补自己的短处，则大有裨益。

因为现在还处在“学讲方式”的起步阶段，“学讲方式”虽然遍地开花，却未能遍地结果，所以也不免暴露出一些问题，特别是课堂教学中的一些缺失现象，是值得我们老师注意并加以反思的。