利用复旋转矩阵的非酉联合对角化算法

刘文娟,冯大政

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安 710071)

利用复旋转矩阵的非酉联合对角化算法

刘文娟,冯大政

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安 710071)

结合复Givens旋转和复Shear旋转,将分离矩阵分解为多个复旋转矩阵的乘积,有效地利用旋转矩阵的结构及目标矩阵经旋转变换后相关元素的巧妙表示,将最小化F范数代价函数问题转化为一系列维数为3×3的实对称矩阵的广义特征向量求解问题,进而提出了一种基于复Givens旋转和复Shear旋转相结合的非酉联合对角化算法.仿真实验结果表明,新算法具有估计精度高、收敛性能稳定等特点.

盲信号分离;非正交联合对角化;复Givens旋转;复Shear旋转

联合对角化在信号处理领域有着广泛的应用,特别是盲信号分离、独立分量分析和阵列信号处理等.现有的联合对角化方法主要分为两大类:正交联合对角化和非正交联合对角化.正交联合对角化算法通常要求待估计的分离矩阵为正交矩阵,因此需要对观测信号进行预白化处理,这要求目标矩阵中至少存在一个正定矩阵.研究表明[1-2],由于截断误差和噪声等的影响,目标矩阵的估计存在误差,这使得白化处理不可能精确实现,且由此引入的额外误差无法由接下来的正交联合对角化算法消除.

为了避免预白化阶段产生的不利影响,越来越多的学者研究非正交联合对角化算法.其中,一部分算法最小化所有矩阵非对角线元素的F范数平方和,如FFDIAG[3],CVFFDiag[4],基于Given和Shear (hyperbolic)旋转的JDi[1]、CJDi[5]和CNJD[6],基于LU或QR分解的ALUJA[7]和GNJD[8]等;另一部分算法最小化最小二乘拟合代价函数,如ACDC[9],s-BIA[10],UWEDGE[11]和PDMM[12]等;还有优化对数似然函数的算法[13].JDi算法利用实Givens旋转和实Shear旋转相结合的方法,将经典的JADE[14]算法推广至非正交领域,保持了其良好的收敛性能.但该算法只能应用于实数域,无法直接推广至复数域.

笔者提出一种复数域的非正交联合对角化算法,利用复Givens和复Shear旋转矩阵的特殊结构及对相关目标矩阵元素的巧妙表示方法,最小化JDi采用的简化的F范数代价函数,联合估计复Givens和复Shear旋转矩阵的所有参数,避免了奇异解的出现.同时,避免了CJDi算法对目标矩阵共轭对称性的要求.

1　问题描述

非酉联合对角化需要解决的问题是:给定一组维数为M×M的复矩阵M(M={M1,…,MK}),估计分离矩阵V使得矩阵组M′k=V MkVH,k=1,…,K,尽可能地对角化.

将分离矩阵V(V∈CM×M)分解为一系列旋转矩阵的乘积形式[5]:

其中,i=(-1)1/2.与JDi类似,相对于每个旋转坐标对{p,q},(p=1,…,M-1,q=p+1,…,M),可以建立一种简化的F范数代价函数:

这里,m′k,pq为M′k的 第(p,q)个元素.

下面介绍最小化此代价函数估计旋转矩阵参数的算法.

2　非酉联合对角化算法

对于最小化代价函数式(4),笔者提出一种两阶段算法,分别关于旋转矩阵和优化代价函数式(4),估计旋转矩阵参数,并更新目标矩阵组.为简化公式推导,将和分别表示为

其中,ωn,pp=cosθncosh yn-sinθnsinh yn,ωn,pq=sinθncosh yn+cosθnsinh yn,ωn,qp=cosθnsinh ynsinθncosh yn,ωn,qq=sinθnsinh yn+cosθncosh yn,n=1,2.可以看出,式(5)和式(6)的所有元素均为实数或纯虚数.

M′k的第(p,q)个元素m′k,pq为

令v1=[sinh(2y1),-sin(2θ1)cosh(2y1),cos(2θ1)cosh(2y1)]T,J=diag([-1,1,1]).J为一个3×3对角矩阵,显然,.将mk,pq的实部和虚部分别表示为和,省略与旋转参数无关的项,m′k,pq可近似表示为

第1阶段的问题转化为求解与JDi算法[1]相同的代价函数.由JDi的结论可知,最小化代价函数式(10)可以通过求解(R1,J)的最小正广义特征值对应的特征向量得到.若此特征向量表示为,并归一化,则待求的旋转参数的解析表示可以由该特征向量的元素给出[1,5]:

以此构造旋转矩阵,对目标矩阵进行更新,在此基础上进行第2阶段的旋转.

M″k的第(p,q)个元素m″k,pq可以表示为

3　计算复杂度分析

通过计算每次扫描所需的实数乘除法运算次数(Number of real-valued Multiplications and Divisions,NMD)来分析所提算法(简写为CGH-JD)的计算复杂度.由于此类算法的计算量主要来源于对目标矩阵的更新,利用和具有稀疏性,且在(p,p)、(q,q)、(p,q)和(q,p)处的元素均为实数或纯虚数,对于旋转坐标对{p,q},更新式(7)和式(12)需32MK次实数乘除法运算次数,完成一次扫描需M(M-1)/2次更新,若忽略所有阶数低于M3K的项,则CGH-JD算法每次扫描需要M3K次实数乘除法运算次数.

为了便于比较,同时给出部分现存的非酉联合对角化算法每次迭代(扫描)的计算复杂度分析:ACDC为20M3K,CVFFDiag和UWEDGE为8M3K,CJDi的计算复杂度与笔者提出的算法相同.

4　仿真实验

通过与CJDi[5],ACDC[9],CVFFDiag[4]和UWEDGE[11]等算法的比较,详细分析所提出的CGH-JD算法的性能.为了便于分析和比较,采用盲分离算法中常用的性能指标全局拒绝水平(Global Rejection Level,GRL)[1,3-10,12,14]来衡量算法的有效性:

实验1 构造一组M×M的目标矩阵组R(k),R(k)=A diag(λ1(k),…,λM(k))AH+ΔR(k)(k=1,…,K).定义无误差矩阵项和误差矩阵项F范数的平方比(No Error matrix and matrix norm F square Ratio,NER),即,来衡量噪声的扰动.令M=5,K=7,混迭矩阵A、对角矩阵和误差矩阵ΔR(l)的实部和虚部均为随机产生,且服从N(0,1)正态分布.为满足ACDC的要求,取对角矩阵为实矩阵、ΔR(l)共轭对称.一个好的初始值可以使算法很快收敛.为了在不受初始值干扰的情况下表明算法的收敛性能,所有实验均采用单位矩阵IM作为算法的初始值,所有结果均为100次蒙特卡罗实验的平均值.图1表示CJDi和CGH-JD的收敛全局拒绝水平和收敛时间随无误差矩阵项和误差矩阵项F范数的平方比变化的平均曲线(算法运行环境:MATLAB R2010a,Pentium(R)Dual-Core E5200 CPU,2.50 GHz,2 GB内存).图1表明,CJDi与CGH-JD得到的分离矩阵本质相等,但笔者所提CGH-JD算

图1　全局拒绝水平和收敛时间随无误差矩阵项和误差矩阵项F范数的平方比变化的平均曲线

法的运算时间更短.图2表示在RNER=0 dB的情况下,笔者所提算法CGH-JD的平均全局拒绝水平和代价函数的值随迭代次数的变化曲线.可以看出,笔者提出的CGH-JD算法具有良好的收敛性能.图3(a)表示全局拒绝水平随无误差矩阵项和误差矩阵项F范数的平方比变化的平均曲线.图3(b)表示无误差矩阵项和误差矩阵项F范数的平方比为20 dB时,全局拒绝水平随矩阵个数变化的平均曲线.结果表明,笔者所提算法的估计性能与CJDi算法的相同,同时优于其他3种算法.

图2　全局拒绝水平和代价函数随迭代次数变化的平均曲线(CGH-JD,RNER=0 dB)

图3　全局拒绝水平随无误差矩阵项和误差矩阵项F范数的平方比和矩阵个数变化的平均曲线

实验2 仿效文献[4]中实验3的方案,取4个零均值、统计独立的复信号s1(t)=sin(3200πt)+icos(1900πt),s2(t)=sin(20πt)sin(600πt)+ icos(20πt)cos(600πt),s3(t)=sin[ 600πt+6cos(120πt)]+icos(900πt),s4(t)=sin(180πt)+isin(400πt),由4个传感器接收,接收信号X= AS+N.其中,信道冲击响应由复矩阵A表示,其实部和虚部均服从N(0,1)正态分布;源信号S=[s(1),…,s(L)],这里s(t)=[s1(t),s2(t),s3(t),s4(t)]T;噪声矩阵N=rand n(4,L)+irand n(4,L),样本数L= 1 000.产生10个目标矩阵.定义信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)为. 星座图,即信号矢量端点的分布图,反映了调制信号的两个基本参数:载波的幅度和相位.因此,对于判断调制方式、误码率等有很直观的效果.星座图越集中,表示信号的分离性能越好.所以本实验中采用星座图作为衡量算法性能的另一个指标.图4表示各个算法的全局拒绝水平随信噪比变化的平均曲线.特别地,为显示源信号的恢复结果,抽取当RSNR=15 d B时的1次实验,图5表示源信号、接收信号和分离信号的星座图.可以看出,CGH-JD能很好地恢复出源信号,具有良好的分离性能.

图4　全局拒绝水平随信噪比变化的平均曲线

5　总 结

笔者提出一种基于复Givens和复Shear旋转的非酉联合对角化方法.该算法采用乘性迭代机制,将待

Non-unitary joint diagonalization by complex Givens and complex Shear rotation

LIU Wenjuan,FENG Dazheng
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

The proposed algorithm is based on the combination of complex Givens and complex Shear rotations,which decomposes the de-mixing matrix into a product of complex rotation matrices.By ingenious utilization of the structure of the complex Givens and complex Shear rotations,together with the adequate expression of the concerned variables,the minimization of the F-norm criterion function can be transformed into a sequence of problems of calculating the generalized eigenvector of two 3×3 real symmetric matrices.Numerical simulations illustrate the good performance and convergence property of the proposed algorithm.

blind source separation;non-orthogonal joint diagonalization;complex Givens rotation; complex Shear rotation

TN911.7

A

1001-2400(2016)05-0006-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.05.002

2015-08-17 网络出版时间:2015-12-10

国家自然科学基金资助项目(61271293)

刘文娟(1986-),女,西安电子科技大学博士研究生,E-mail:wjliu@stu.xidian.edu.cn.

网络出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20151210.1529.004.html