傅里叶级数求等周闭曲线的面积

周柯宇 朱兆全 严兴杰

摘要：傅里叶级数在数学、物理、工程技术、信息处理等学科中发挥着重要的作用。本文主要考虑一个几何问题，等周闭曲线的面积问题。应用傅里叶级数的方法，我们求证出等周闭曲线所围面积中圆的面积最大，并给出了最大的面积值。

关键词：傅里叶级数;等周闭曲线;圆面积

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2016）42-0194-02

法国数学家傅里叶发现傅里叶级数以来，关于级数理论的研究随即走向了新的里程碑。在应用方面，傅里叶级数在电力工程、通信、控制领域、应用数学、物理及工业应用上都取得了辉煌的成就。本文主要给出一个傅里叶级数在几何中应用的例子，应用傅里叶级数解决等周闭曲线面积问题。通过解决实际问题，进一步理解傅里叶级数的理论知识，为傅里叶级数的更广泛的应用打下基础。

一、预备知识

等周闭曲线，即周长相等的闭曲线。众所周知，由等周闭曲线围成的凸图形中，圆的面积最大。这个问题早在古希腊时期就已提出。下面，我们利用数学分析中学过的傅里叶级数，证明等周闭曲线围成的凸图形中，圆的面积最大。

设Γ是平面内的一条闭曲线，在直角坐标系xoy中，x轴把曲线分成y=f（x）和y=g（x）（0≤x≤1）两个连续的函数，且f（x）≥g（x），如下图。令Ω表示两个函数所围的区域，即：

Ω={（x，y）：0≤x≤1，g（x）≤y≤f（x）}.

我们知道，积分h（x）dx表示的是连续函数h（x）与x轴所围成的曲边梯形面积，那么Ω的面积为

A= f（x）dx-g（x）dx. （1）

定义1.若在整个数轴上

f（x）=+（acosnx+bsinnx），

且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：

a= f（x）cosnxdx，n=0，1，2…

b= f（x）sinnxdx，n=1，2…

定理1.如果f是以2π为周期且在[-π，π]上可积的函数，则可按公式计算出a，b，它们称为函数f的傅里叶系数，以f的傅里叶系数为系数的三角级数称为f的傅里叶级数，记作

f（x）～+（acosnx+bsinnx）.

定理2.应用欧拉公式e=cosx+isinx，傅里叶级数还可以写成下面的形式：f（x）=ae.

引理1.设f（θ）是圆上的一个参数方程，且有f（θ）=ae，则有等式|a|=|f（θ）|dθ，此等式称为Parseval等式.

二、问题的证明

假设γ（s）=（x（s），y（s）），s∈[-π，π]是曲线Γ的弧长参数方程，且对任意s∈[-π，π]，都有x′（s）+y′（s）=m，其中m为大于零的常数，则我们有

（x′（s）+y′（s））ds=m. （2）

由于x（s）和y（s）是2π为周期的函数，由定理1其傅里叶级数为

x（s）～∑ae，f（s）～∑be，g（s）～∑ce，

由于在成立区域上一致连续，则其一阶导数为x′（s）～∑aine，f′（s）～∑bine，g′（s）～∑cine.

将Parseval恒等式带到公式（2）有

|n|（|a|+|b-c|）=m. （3）

由公式（1），Ω的面积为：

A=| f（s）x′（s）ds-g（s）x′（s）ds|

=|（f（s）-g（s））x′（s）ds| （4）

因为x（s）和y（s）都是实值的，所以有a=，b-c=，又有|n|≤|n|，

|a-（b-c）|≤2|a||b-c|≤|a|+|b-c|，则由式（3）知

A=2π|∑（b-c）·n|=2π|n（bn-cn）|

≤π∑|n|2·2|a||b-c|

≤π∑|n|（|a|+|b-c|）=πm （5）

当A=πm时，要使|n|<|n|，只要n≥2即可，所以上式当且仅当n=1等号成立（此处不考虑n=0）.因此我们可得

x（s）=ae+a+ae，

f（s）-g（x）=（b-c）e+（b-c）+（b-c）e.

由于x（s）和y（s）都是实值的，故有a=，b-c=.

从恒等式（3）我们得到2（|a|+|b-c|）=m.在由（5）式知第二个等号成立的充要条件是|a|=|b-c|，所以得到|a|=|b-c|=.

不妨设a=e，b-c=e，事实上，m=2|a-（b-c）|，即|sin（α-β）|=1，因此有α-β=，k∈Z，x（s）=a+mcos（α+s），f（s）-g（s）=（b-c）±msin（α+s），其中f（s）-g（s）的符号取决于整数k.当等号成立时，曲线Γ是一个圆：

（x（s）-a）+（y（s）-（b-c））=m. （6）

又由于圆必过点（0，0）和（1，0），所以有

（0-a）2+（0-（b-c））2=m.（1-a）2+（0-（b-c））2=m.

解得a=.

下证b-c=0。用反证法，假设b-c≠0，则圆心为（，b-c），圆心到y轴距离为l=，半径r=>l，则此圆与y轴相交，x取值范围已经超出[0，1]，故有b-c=0。所以（6）式写为

（x-）+y=m. （7）

将原点代入，可得m=。从而（7）式为：

（x-）+y=. （8）

三、总结

等周闭曲线的面积问题，其实一定程度上也是一种不等式问题，傅里叶级数在证明这类问题上有一定的优越性，且傅里叶级数是用三角函数来表示复杂函数，在某种程度上也简化了证明过程。通过对等周闭曲线面积的求解和证明，我们更加深入地了解了傅里叶级数及其应用。傅里叶级数是一个重要的理论基础，也是重要的工具，期望傅里叶级数在解决日常生活的问题中扮演越来越重要的角色。

参考文献：

[1]王亚男.傅里叶级数在实际中的应用[J].科技创新与应用，2014，（13）：277-278.

[2]李文新，张大鹏，许卓群.基于傅里叶变换的掌纹识别方法[J].软件学报，2002，（5）：11-18.

[3]华东师范大学数学系.数学分析[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[4]李小平.Parseval定理在物理学中的应用[J].塔里木大学学报，2008，20（2）：35-36.

Fourier Series and Other Peripheral Area of a Closed Curve of Demand

ZHOU Ke-yu，ZHU Zhao-quan，YAN Xing-Jie

（China university of mining science，Xuzhou，Jiangsu 221008，China）

Abstract：Fourier series in mathematics，physics，engineering technology，information processing and other subjects plays an important role.In this paper，we consider a geometry problem，such as weeks the area of the closed curve.Application of the Fourier series method，we prove the isoperimetric closed curve in the area around the area of a circle is the largest，and the area of the largest value is presented.

Key words：Fourier series;Isoperimetric closed curve;Circular area