“圆面积公式”的误教与修正

郜舒竹

【摘 要】在小学数学课程与教学中，教师对“圆面积”的学习活动设计存在着误教现象。主要反映为在不是长方形的图形中，使用长方形面积公式。通过历史考察寻找到误教现象的历史渊源，并对其进行了修正。

【关键词】圆面积；误教；重组；变教为学

小学数学课程中，“圆面积公式”的学习通常安排在小学五年级或者六年级，是在已经学习了长方形（包括正方形）、平行四边形、三角形、梯形面积公式以及圆的周长公式之后学习的内容。学习活动设计的基本思路是“化未知为已知”，即将圆形通过“剪”与“拼”的过程，改变成为一个面积相等的长方形，而后利用长方形面积公式推导出圆面积公式。这样的方法通常叫作“重组（Rearrangement）”，也就是把圆形剪开之后重新组合、重新安排的意思。

重组过程初看起来，是将圆形转化为学生已经熟悉的图形，而后利用学生已有的知识和经验进行新知识的学习，是符合学生认知规律的。但在教科书以及实际教学中，却存在着违背数学逻辑规律的误教（Mis-Teaching）现象，进而导致学生对圆面积公式推导过程存在疑惑与误解（Misunderstanding）。

一、“因为像，所以是”的推理

在实际教学中，“重组”的过程通常是先将一个圆形等分为若干扇形，而后將这些扇形剪开后，重组为一个形如长方形的图形，这样的图形可以称为“准长方形（Quasi-Rectangular）”，指的是形状像长方形，但并不是真的长方形。比如，首先将圆形等分为四个扇形，而后重组为一个准长方形（见图1）。

进一步可以将等分的扇形数量增加，引导学生发现分割出来的扇形越多，每一份就会越小，因此重组出来的准长方形的形状就会更接近真正的长方形。比如六等分之后的图形为图2所示形式。

类似的，还可以更加细化为八等分、十六等分等等。十六等分后重组的准长方形为图3所示形式。

以上过程中可以发现三个事实：第一是面积不变，无论怎样分割，重组的准长方形的面积与分割前的圆形面积相等；第二是边长不变，无论怎样分割，重组的准长方形的“长”都等于圆周长的一半，“宽”的长度等于圆半径；第三是形状变化，等分的扇形越多，扇形就越小，重组的准长方形的形状越来越接近真正的长方形。

在人教版六年级上册中，用图4形式呈现出以上事实，而后就推理出可以利用长方形面积公式得到圆形面积公式。即用长方形的长（圆周长的一半）与长方形的宽（圆半径）相乘。

这样的设计容易产生的误解是，在一个不是长方形的准长方形上使用长方形面积公式，因而自然会产生如下的疑惑：

l 无论将圆形分割为多少份扇形，重组出来的都是准长方形。

l 无论准长方形与真正的长方形多么接近，也不是真正的长方形。

l 既然不是真正的长方形，为什么能够使用长方形面积公式呢？

这样的疑惑是真实并且合理的，反映出关于圆面积学习活动的设计本身就存在着逻辑上的漏洞。具体反映为一个明显错误的因果推理，也即因为图4左侧的准长方形形状与右侧的长方形接近，所以可以利用长方形面积公式。

这种“因为像，所以是”的推理在逻辑上是不成立的，“像”并不能成为“是”的充分条件，正如从“猫像老虎”不能推理出“猫是老虎”的结论。这样的逻辑漏洞，使得小学阶段圆面积教学实质是一种误教。为了厘清用重组方法推导圆面积公式的真实过程，有必要对这一方法的历史渊源进行考察。

二、重组方法的历史考察

论及使用“重组”方法推导圆面积公式的早期历史文献，是美国数学家史密斯·大卫·尤金（Smith David Eugene，1860～1944）与日本数学家合作编写，并于1914年在美国芝加哥出版的《日本数学史》。该书第131页介绍了由日本学者Sato Moshun所著，于1698年出版的《Tengen Shinan》的日文古籍中的方法[1]（见图5）。

其中的重组过程与如今教科书中的方法基本相同，是将圆形等分为32个扇形，其中黑色16个，白色16个。将这32个扇形重组为与圆形面积相同的准长方形，长方形两条边长度分别为圆周长的一半和圆半径，二者相乘即得到圆面积。但书中对重组过程没有给出任何解释，由此看出这样的逻辑漏洞是有历史渊源的。

三、误教的修正

就职于美国科罗拉多大学的工程学教授彼得·贝克曼（Peter Beckmann，1924～1993），于1976年出版了一本《圆周率的历史》的书，其中也提及了日本古籍中的这一方法，书中用无限过程中“不变量（Invariant）”的思想，对重组方法的合理性进行了解释[2]。解释过程中利用了图6所示的（a）（b）（c）（d）四个图形。

首先将图6中圆形（a）等分为黑色阴影扇形，剪开后依次排列，而后用四个完全相同的白色扇形补齐，形成一个准长方形（b）。这个准长方形的长和宽分别等于圆周长和圆半径，面积等于圆面积的2倍。

如果等分的扇形更多，那么重组后的准长方形的形状就会越来越接近真正的长方形，但是边的长度和图形面积是不会改变的。如果将这样细分的过程不停地做下去，准长方形就会无限趋近于真正的长方形（d），而边的长度和图形面积仍然保持不变。

从图6中（b）变化到（c），准长方形形状改变了，而且随着分割份数的增加，准长方形形状越来越接近真正的长方形（d），但边长和面积保持不变。这种不变量的存在，反映出变化过程的稳定性。正是这样的稳定性，有理由推断出真正的长方形（d）的边长与前面准长方形（b）和（c）对应边的长度都是一样的，也就是长方形的长等于圆周长，宽等于圆半径。利用长方形面积公式就可以得到图形（d）的面积。同样利用面积的不变量特征，反过来就可以得到图形（c）和（b）的面积，进而得到圆（a）的面积是前面各个图形面积的一半。

这个解释实际上应用了高等数学中极限理论的一个基本定理：“常量的极限保持不变。”其大致含义是一个具有无穷项的序列，如果其中的每一项都保持不变，那么这个序列就无限趋近于一个唯一确定的结果，而且这个结果与序列中保持不变的项是一样的。

重组方法中无论把圆形等分为多少个扇形，份数的变化导致的是重组后准长方形形状的变化，而边的长度和面积都保持不变，因此随着等分份数的增加，就可以依次把重组后的准长方形看作一个无穷序列。这个序列中不断改变的是准长方形的形状，这个形状无限趋近于真正的长方形。而其中每一个准长方形的边长和面积都是保持不变的，因此这个序列最终指向的结果是一个唯一确定的真实长方形，这个长方形与前面序列中准长方形的边长和面积都一样。所以可以运用长方形面积公式求得圆面积。依据这种“形变量不变”的解释，圆面积公式的学习过程至少包括三个阶段：

第一是“分割与重组”，引导学生将一个圆形等分为若干扇形，然后重组为准长方形的活动。

第二是“观察与想象”，将不同份数的准长方形依次排列后进行观察，随着等分的扇形数量的不断增加，想象准长方形的形状是如何变化的，哪些数量是保持不变的（见图7）。

第三是“推理与计算”，在前面观察与想象的基础上，在无限趋近于真实长方形的基础上使用长方形面积公式，通过计算推导出圆面积公式。

这样的过程在原来基础上，增加了对准长方形序列中边长与面积保持不变的观察活动，体验了从准长方形到真实长方形的质量互变过程，经历了在运动与变化过程中尋找不变的过程。同时，长方形面积公式是在真实长方形上使用，而不是在准长方形上使用。进而也就避免了“因为像，所以是”的推理，使得误教得到了修正。

“变教为学”的教学改革，期望课堂教学从“教为中心”改变为“学为中心”，让学生亲历亲为地经历学习过程中的活动。这就需要教师从“讲解”为主的教法，改变为“引导”为主的教法。这种“引导”的设计一方面应当符合学生认知水平，另一方面还要符合知识自身的逻辑规律。切莫让引导变成误导，让教学变成误教。

参考文献：

[1]Smith David Eugene，Mikami Yoshio. A History of Japanese Mathematics[M].Chicago： Open Court Publishing，1914：130-132.

[2]Beckmann Peter. A History of Pi[M]. St. Martin's Griffin，1976：36-39.

（首都师范大学初等教育学院 100048）