一类拟线性方程初值问题的可解性

2016-11-21金启胜

长春师范大学学报 2016年8期

关键词：解性边值问题安庆

金启胜

(安庆职业技术学院，安徽安庆 246003)

一类拟线性方程初值问题的可解性

金启胜

(安庆职业技术学院，安徽安庆 246003)

本文通过一类拟线性方程的特征曲线和积分曲面之间的关系，研究了一类拟线性方程初值问题的可解性，并给出实例验证了结论的正确性。

特征曲线；积分曲面；初值问题

1 前言

考察一阶拟线性方程

a(x,y,u)ux+b(x,y,u)uy=c(x,y,u).

(1)

其中，u=u(x,y).称方向(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))是方程(1)的特征方向，处处与特征方向相切的曲线是方程(1)的特征曲线.设特征曲线的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t)，则沿着特征曲线有

即

(2)

称(2)为方程(1)的特征方程.显然，处处与特征方向相切的曲面z=u(x,y)是方程(1)的积分曲面，积分曲面z=u(x,y)是方程(1)的解.

下面讨论方程(1)的初值问题.设有空间曲线Γ∶(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))，s为参数.方程(1)的初值问题就是求方程(1)的解z=u(x,y)，使之满足h(s)≡u(f(s),g(s))，即积分曲面过已知曲线Γ.在许多情况下，x表示空间变量，y表示时间变量，所以就有y=0时刻的初值问题u(x,0)=h(s)，空间曲线Γ的参数方程为x=s,y=0,z=h(x).

2 主要结论及证明

定理1

若特征曲线γ上一点P(x0,y0,z0)位于积分曲面S∶z=u(x,y)上，则γ整个位于S上.

证明设γ的方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t)，由特征曲线定义可知，它是方程组(2)的解，并且对某参数t=t0满足x0=x(t0),y0=y(t0)，z0=z(t0)=u(x0,y0).

(3)

其中，x=x(t),y=y(t).因为z=u(x,y)是(1)的解，所以U=0是(3)的解.根据常微分方程初值问题解的唯一性定理，由U(t0)=0知U(t)≡0，即z(t)≡u(x(t),y(t))，所以γ∈S.

根据定理1可知，特征曲线完全位于积分曲面内，积分曲面S是特征曲线γ的并，即过S上每一点都有一条包含在S中的特征曲线；反之，如果曲面S∶z=u(x,y)是特征曲线的并，则该曲面必是积分曲面.根据定理1还可得到，两个有公共点P的积分曲面必沿着一条过点P的特征曲线γ相交；反之，如果积分曲面S1和S2沿着曲线γ相交而不相切，则γ必是特征曲线.

定理2

设曲线γ∶(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))光滑，且f′2+g′2≠0，在点P0=(x0,y0,z0)=(f(s0),g(s0),h(s0))处，行列式为

(4)

又设a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)在γ附近光滑.则初值问题

(5)

在s=s0某邻域内存在唯一解.

证明在s0附近，即在|s-s0|<δ,δ>0中求特征方程(2)的解

x=X(s,t),y=Y(s,t),z=Z(s,t).

(6)

使得当t=0时，等式(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))成立，其中|s-s0|<δ,0≤t

x=X(s,t),y=Y(s,t),z=Z(s,t)具有连续的一阶偏微商，它们关于s,t满足

Xt=a(X,Y,Z),Yt=b(X,Y,Z),Zt=c(X,Y,Z).

(7)

X(s,0)=f(s),Y(s,0)=g(s),Z(s,0)=h(s).

(8)

因为J≠0，根据隐函数定理，可以从(6)的前两个式子求出光滑函数s=S(x,y),t=T(x,y)，当|s-s0|<δ1,0≤t≤T1时，满足S(x0,y0)=s0,T(x0,y0)=0，则

z=Z(S(x,y),T(x,y))=u(x,y).

(9)

就是初值问题(5)的解.

对函数(9)分别求偏微商，得到

Zx=ZsSx+ZtTx，Zy=ZsSy+ZtTy.

(10)

对x=X(s,t),y=Y(s,t),z=Z(s,t)前两个式子分别就x求偏微商得

(11)

其中，Δ=XsYt-XtYs≠0，因为J≠0.类似对y求偏微商得

(12)

把(11)，(12)代入(10)，并把(10)第一个式子乘以a(X,Y,Z)，再加上第二个式子乘以b(X,Y,Z)，得到[a(X,Y,Z)Zx+b(X,Y,Z)Zy]Δ=(ZsYt-ZtYs)a+(ZtXs-ZsXt)b.

把a,b,Δ代入化简得a(X,Y,Z)Zx+b(X,Y,Z)Zy=c(X,Y,Z)，即u(x,y)=Z(S(x,y),T(x,y))是初值问题(5)的解.则存在性得证.

根据定理1可知，任何通过曲线γ的积分曲面包含过γ上各点的特征曲线，所以其中必包含曲面(6)，从而局部地与这个曲面重合，也就是说，解是唯一的.

3 应用举例

[1]陈祖墀.偏微分方程[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2004:32-42.

[2]金启胜,钟金标,周宗福.一类拟线性椭圆型方程边值问题的可解性[J].数学的实践与认识,2015,45(22):249-252.

[3]胡业新.一类拟线性椭圆型方程边值问题的稳定性[J].数学学报,2014,57(6):1181-1190.

[4]周长亮,王远弟.一类拟线性抛物型方程的非局部边值问题[J].上海大学学报:自然科学版,2011,17(5):606-613.

[5]杨志林.拟线性椭圆型方程边值问题解的存在性与唯一性[J].合肥工业大学学报:自然科学版,2002,25(6):1180-1183.

The Solvability of a Kind of Quasilinear Equation Initial Value Problem

JIN Qi-sheng

(Anqing Vocational and Technical College, Anqing Anhui 246003, China)

In this paper,the relationship between the characteristic curve and the integral surface of a kind of quasilinear equation, studied solvability of a kind of quasilinear equation the initial-value problem. And an example is given to verify the correctness of the conclusion.

characteristic curve; integral surface; initial value problem