对学生“歪打正着错解”的思考与启示

刘艳玲

摘 要：不同的思维，往往会得到不一样的结果。本文由学生对一道训练题目的解法中“歪打正着”的错解进行思考与探究，得出更简单有效的解法以及一些启示，仅供鉴赏。

关键词：歪打正着 思维 角度

不同学生有着不同的思维方式，不同的兴趣爱好以及不同的发展潜能，教学中应该极为关注学生在数学学习活动时的个性差异，允许学生思维方式的多样化和思维水平的不同层次 。“歪打正着”比喻方法本来不恰当，却侥幸得到满意的结果。生活中常会碰到“歪打正着”的情况，数学解题中学生“歪打正着”的情况也是屡见不鲜，并且“着”的五花八门，甚至有些解法仅凭直觉和答案真假难辩，需要深入推敲才能定夺。

训练题目：已知函数f（x）=x2+2x+aInx。

（1）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；

（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3）恒成立，求实数a的取值范围。

此题主要考查利用导数知识作为工具，研究函数的单调性，处理不等式恒成立的问题， 综合性强，思想方法深刻，能力要求较高。其中第（2）小问，难度较大，考生的答题情况很不理想。现就此小题第（2）问的参考答案摘抄如下。

参考答案：

在t≥1时恒成立，因此由②④可知实数a的取值范围：a≤2。

上述参考解法采用了参数分离法求范围，问题的难点在于如何求②式右端的函数的最小值（或下确界），其中构造函数m（x）=In（1+x）-x，（x>-1）并利用其单调性进行放缩，技巧性特强，要求极高。虽然构造函数来解决此类问题是通法，但为什么要构造m（x）这样的函数？它和题设究竟有何联系？直接分析还是比较困难，学生很不容易想到，因而这是问题的难点所在。事实上，有近一半的学生做到了②式这一步，他们希望直接求②式右端的函数的最小值（或下确界），由于过分繁难未能达到目的。于是他们只得另辟蹊径。

学生歪打正着的错解：

构造函数g（t）=f（2t-1）-[2f（t）-3]，（t≥1）注意到g（1）=0，所求问题转化为g（t）≥g（1）对任意的t∈[1，+∞）恒成立。即g（t）在[1，+∞）上为增函数，从而g′（t）≥0在t∈[1，+∞）恒成立，而g′（t）=2[f′（2t-1）-f′（t）]，故f′（2t-1）≥f′（t）在t∈[1，+∞）恒成立，由于（2t-1）-t=t-1≥0，即2t-1≥t，故f′（t）在[1，+∞）为增函数，令h（t）=f′（t），则h′（t）=2-a[]t2≥0在t∈[1，+∞）恒成立，即a≤2t2，从而a≤（2t2）min=2，故实数a的取值范围：a≤2。

此解答的结果与正确答案完全一致，乍一看来，似乎简捷明了，无懈可击，但仔细分析起来，不难发现其中的破绽，“由g（t）≥g（1）对任意的 t∈[1，+∞）恒成立，直接推得g（t）在[1，+∞）上为增函数。”此推理显然不一定成立.如下图所示。虽然此解法歪打正着，但它为正确求解提供了有益的启示。

此解法思路自然，过程清晰，与参考答案相比，更容易为学生所接受，对导数知识及其工具作用的考查达到了融会贯通的深度。

不等式恒成立与有解的问题，在近几年的高考试题中频繁出现，其中，特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题，将新增内容与传统知识有机融合，用初等方法难以处理，而利用导数来解，思路明确，过程简捷流畅，淡化繁难的技巧，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用。这类试题常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，突出了高考试题与时俱进的改革方向。因此，越来越受到高考命题者的青睐，对此希望引起师生的高度关注。

人不是千篇一律的，每一个人都是独立的存在，谁也不是谁的附属，或者说，谁也不能代替谁存在。每个人的思维方式都不一样，思考问题的角度也会不同，所以在对待同一问题同一件事同一个人时，我们都会用不同的方法方式态度去解决处理和对待。从学生身上体现的问题，我们又何尝不是呢？在我们日常的生活学习和工作中，不同人之间，由于彼此看待事物的角度不同，因此会产生不同的看法：所以我们应该认识到，每个人都有其特定的思维及思考方式。朋友之间认识这种差异，可以避免冲突，促进相互学习和交流；工作上重视团队的力量，有助于工作的进一步完善。

所以，我们都以自己的姿态在活着，思考着，行进着。不同的人在面临相同的环境，反应也完全不一样，这是不容置疑的。再看个例子：两个犯人呆在同一间黑暗的牢房，一个永远看着窗外那片黑暗的土地，已经绝望了。另外一个却信心满满的，因为他总能看见满天繁星。从不同的角度去思维，人生可能因这一刻而改变。抛开那些从小灌输的思维定性，人生总是需要有那么一次彻底去怀疑的精神来重新整理行进的行囊，用不同的角度去探索与追求。