对高考具有对称美的函数问题的研究

江苏省宿迁市马陵中学高二　于见昊

对高考具有对称美的函数问题的研究

江苏省宿迁市马陵中学高二于见昊

在高考中，经常出现对于含x1和x2的对称式的证明。这些证明不仅体现了数学的对称美，更是对函数本质进行了深刻考查。作为一名学生我分享一下自己对于这类题目的解题方法。

方法一：根据题意先缩小未知数范围再进行证明

例题：已知f（x）=ex-alnx-a，其中常数a＞0。若f（x）有两零点x1和x2且0＜x1＜x2，求证：＜x1＜x2＜a。

首先根据题意f（x）要有两个相异零点。我们先求反面补集反设f（x）至多有一零点，求此时a的范围。

，1）　1　（1，+∞）ψ′（x）-　0　+ ψ（x）递减　极小值　递增x（

所以ψ（x）min=ψ（1）=e从而0＜a＜e，综上0＜a＜e。

⒉f（x）有唯一零点时即f（x）=0只有一解时，由1.中③可知此时a=ψ（x）min=ψ（1）=e。所以综合1.2.0＜a≤e。

由题意f（x）要有两个相异零点且a＞0，所以可知a＞e，f（1）=e-a＜0。此时a的范围已经被缩小，此范围正是解题关键。

本题首先根据存在两相异零点缩小a范围并最终根据a的范围用零点存在定理完成证明。反设法的应用也是本题亮点。

方法二：利用反证法与基本不等式解决

方法三：利用著名不等式证明后使用辅助解题，构造新函数由函数单调性解题

面对具有对称美的函数问题要通过两式相加减或零点存在定理进行恰当转化，再根据题目条件进行适当处理。这要求我们学生能够提高数学素养，吃透问题本质。一味进行题海战术不求甚解的学生只能看出此类问题的形，无法掌握其魂，最终只能在多变的题目中迷茫。可见我们唯有深刻了解函数的性质内涵才能在面对此类题目时游刃有余。