几何画板应用于“指数函数”的教学设计

江苏省靖江中等专业学校 季洁宇

几何画板应用于“指数函数”的教学设计

江苏省靖江中等专业学校 季洁宇

在传统的教学中，考查随着底数的变化对指数函数图象与性质产生的影响时，通常是用描点法进行图象教学，费时又费力。而利用几何画板来探究指数函数的图象与性质则能很好地解决上述问题，将底数的变化和指数函数图象的变化对应起来，通过底数的连续动态变化展示指数函数图象的分布情况，给学生创造一个动态、可视的教学情景，从而突出本节课的教学重点，突破难点。

几何画板［1］；指数函数［2］；图像动态变化

指数函数传统的教学用方法主要是通过手工作出图象来认识，考查底数的变化对指数函数图象与性质的影响，往往是通过观察函数值的运算得出。这一操作费时又费力，学生只能在老师的解释和粗略的作图条件下进行理解，而利用几何画板能很好地解决这一问题。在几何画板的背景下，只需通过改变作图过程中参数值（即底数）所对应动线段端点的位置，就可以观察到参数值（即底数）的变化对指数函数图象的影响，从而让学生在图象观察中总结出指数函数的性质，并能让学生体验数形结合的魅力及数学的动态美。

几何画板是一个用于几何动态研究的计算机作图工具，它不仅具有强大的作图、计算及动画功能，而且具有即时性和交互性。利用几何画板作图图形更精确、科学、合理、数学味更浓，作图过程中也更能体现数学思想；同时利用几何画板辅助教学可以创造一个动态的、可视的教学情景，能使抽象的问题直观化、形象化，学生也易于理解和接受，课堂教学效果好。

一、教学分析

1.教学背景

本节课内容是苏教版《数学》（基础模块上册），根据教学实际情况，本节内容划分为两个课时。第一课时：探究指数函数的图象与性质；第二课时：指数函数性质的实际应用。指数函数是学生在学习了函数的概念、图象与性质以及了解了幂函数之后，学习的又一个新的初等函数。它是一种新的函数模型，也是应用研究函数的一般方法，研究函数的一次深刻实践。指数函数的学习，一方面可以进一步深化对函数概念的理解，另一方面也为研究对数函数、三角函数等初等函数打下基础，同时在生活及生产中有着广泛的应用。

2.教学目标

（1）知识与能力目标：能从具体实例中概括指数函数典型特征，学会用数学符号表示，建构指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。

（2）过程和方法目标：能借助《几何画板》软件画出具体指数函数的图象，探索指数函数的图象和性质；渗透数形结合、分类讨论的思想。

（3）情感态度与价值观：在对研究的目标、方法和途径已有初步认识的情况下，进一步培养学生较好的归纳、猜想和推理能力；在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，养成良好思维习惯，提升自主学习能力。

3.教学对象

中职一年级会计班

4.教学方法

任务驱动法、小组合作法

5.教学重难点

重点：指数函数的图象与性质。

难点：指数函数性质的探究过程及其图象与底数的关系。

6.教学准备

多媒体教室、班级分为ABCDEF六小组。

二、教学设计

1.教学软件设计

（1）用PowerPoint制作演示文稿，在投影中体现课题、教学目标、学习方法、问题、结论等。

（2）用《几何画板》软件制作“描点法作指数函数图象”、“底数在连续变化的指数函数图象”等动态课件。

2.教学流程设计

（1）创设情境，建构概念

【情境1】某细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……如果不考虑细胞的死亡，细胞分裂x次时相应的细胞个数为y，如何描述这两个变量的关系？

【情境2】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。设木棰的剩余量为y，次数为x，如何描述这两个变量的关系？

【设计意图】通过列举生活中指数函数的具体例子，感受指数函数与实际生活的联系。引导学生从具体实例中概括典型特征。

【设计意图】概念教学应当让学生感受形成过程，了解知识的来龙去脉。指数概念的形成，经历一个由粗到细、由特殊到一般、由具体到抽象的渐进过程，符合学生的认知规律。

例1：（抢答）判断下列函数哪些是指数函数？

小结：指数函数是y=ax或化归成y=ax形式的函数。

【设计意图】本环节主要设计意图是加深学生对指数函数定义及呈现方式的理解，通过例1来检测学习效果；教师请学生给出答案，并进行评析。

（2）实验探索，汇报交流

问题1：你打算如何研究指数函数的性质？

启发：我们一般研究函数的时候都研究哪些性质？当初我们是怎样研究这些性质的？请同学们思考后组内交流。

【设计意图】学生已经学习了函数的概念、表示方法及其性质，所以教师可以先让学生明确研究函数性质的内容与方法，然后通过问题串的形式对学生进行启发。

讨论得出：一般研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性。获得性质的途径有：一种是从图象入手，即我们可以通过画具体函数图象，分析它们的性质。然后由这几个具体的指数函数归纳总结一般指数函数的性质。另外一种就是从函数的解析式入手，用代数式证明的方法获得性质。事实上，我们可以将两者结合起来，先从具体图象入手获得性质然后利用代数式证明的方法对获得的性质加以证明。

【设计意图】学生在对已有的函数的认知基础上，各小组讨论提出所要研究的问题及研究问题的方法。

问题2：选取数据，画出图象，观察特点，归纳性质。

【设计意图】考虑到中职学生已有的认知水平，老师直接规定每小组画一对具体指数函数图象，这有可能造成学生片面的认知，但是通过组间交流，学生相互补充，共同验证结论，最后达到完整的认知。

【设计意图】教师启发、点拨。以小组为单位，选出代表汇报学习成果，投影并供全体学生交流。教师演示“描点法作图”、“底数在连续变化时指数函数图象”使之与汇报交流活动达成共识，最后实现殊途同归。

师生共同得出几何特征并板书，指数函数y=ax（a＞0且a≠1）具有以下性质：

①定义域为R。

②值域为（0，+∞）。

③图像过定点（0，1）。

④非奇非偶函数。

⑤当a＞1时，函数y=ax在（-∞，+∞）上单调递增；0＜a＜1时，函数在（-∞，+∞）上单调递减。

【设计意图】由几何画板的动态图象归纳得到的性质最好得到有理有据的验证，对于指数函数引导学生从函数解析式入手进行证明，例如指数函数定义域、值域、过定点等。

（3）新知运用，巩固深化

例2比较下列各组数中两个值的大小：

解：①考察指数函数y=1.6x。

因为1.6＞1，

所以y=1.6x在（-∞，+∞）上单调递增。

又因为3.2＜3.3，

所以1.63.2＜1.63.3。

②、③略。

［设计意图］大部分学生能运用指数函数单调性解决问题，可能有部分同学利用作商或作差进行比较，转化为比较幂与1的大小，进而运用指数函数的单调性。学生在初步运用新知解决问题时，提醒学生应注重题意理解，扩大知识迁移，感悟解题方法，巩固新知，加深理解。

思考：①、②能否用函数的图象来验证一下答案？③能否用计算器来验证一下答案？

几何画板验证①、②如下图：

知识拓展：“复利”实际上就是我们通常所说的“利滚利”。即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。如果存入银行1000元，年利率是2.25%，按照复利，试计算5年末的本利和。你能在Excel工作表中完成相应的财务函数计算吗？

提示：FV函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算某项投资的终值。只需在Excel单元格中输入“=FV（rate，nper，pmt，［pv］，［type］）”即“FV（利率，期数，每期投入，初期值，期初/期末模式）”便可得到，如下图。

［设计意图］让学生体会数学是学好其他专业课的基础。

（4）概括知识，总结评价

问题3：本节课我们学习了哪些知识？你还学会了哪些方法？

①指数函数的定义、性质以及简单应用。

②研究函数的一般方法和步骤。先确定研究的内容：定义域、值域、单调性、奇偶性和其他性质；然后从几个具体的指数函数开始，画出图象，列出性质；最后得到一般情况。这是一种从特殊到一般的研究方法，这种方法在今后我们学习新的函数的时候还会继续沿用、还要继续深化。

【设计意图】课堂总结不应仅仅是对知识的简单回顾，而是让学生在知识、方法、策略等多方位进行反思，使学生在获得知识的同时能力也有所提高。

（5）分层作业，因材施教

①必做题：课本P79练习1、2、3

学习指导用书B组1、2、3、4。

三、教学反思

1.探究指数函数的图象与性质是本节课的一条主线，而知识的建构始终围绕数形结合来进行，在函数性质探究的过程中要制作大量的图形，因此教学中使用《几何画板》软件来完成这一任务，将不同的函数图象展示出来，同时又能动态地展示函数图象的形成过程以及变化过程。《几何画板》的使用，使得轨迹问题形象直观，便于正确建构知识。学生可以从多个维度感受和体验知识的发生、形成过程，培养数形结合的能力，同时也激发了学生的兴趣和热情，活跃了学生的思维，调动了学生积极参与、主动学习、独立探索新知识的精神。

2.本节课充分体现以学生为主体，教师为主导的教学理念。每一个教学环节，每一个学生都能够积极参与，在相互学习中，不同层次的学生都得到了不同的收获；在相互切磋中，学会了用多种方法来学习，打开了学生的学习视野。既有全体学生的共同提高，又不乏个性智慧之光，使教师向“因材施教”的理想迈进了一步。

3.在教学过程中，语言不够简练，与学生的互动面不够广，还不够让学生充分展现自己。

［1］叶建红.几何画板在中职数学教学中的应用［J］.科技信息，2012（18）：345-346.

［2］崔永红，邱亚明.改进指数函数教学设计的三个案例［J］.职业教育研究，2010（11）：104-105.