简谐振动实验中相关物理量间的关系与能量守恒的研究

黄育红,周文飞,张锁宾,杨宗立,袁 赟

(陕西师范大学，陕西 西安 710119)



简谐振动实验中相关物理量间的关系与能量守恒的研究

黄育红,周文飞,张锁宾,杨宗立,袁 赟

(陕西师范大学，陕西 西安 710119)

介绍了如何较为精确地在气垫导轨上测量滑块做简谐振动时的速度、周期、弹簧的等效质量和劲度系数等物理量。利用焦利氏秤对实验中的三对弹簧进行测量，通过逐差法计算得出弹簧的等效质量和劲度系数，其结果和气垫导轨实验所得结论符合较好。在此基础上，对实验中物理量之间的关系进行定量研究，得到周期与振幅无关、周期的平方与滑块的配重块质量呈线性关系。分析了气垫导轨测量速度产生误差的原因，在对测得的速度进行修正后，通过多组实验验证了简谐振动过程中机械能是守恒的。利用Origin软件绘制曲线描述物理量之间的关系和能量变化趋势，生动形象地展示了实验中存在的规律，有利于学生更好地理解实验结论，对实验教学效果有一定的促进作用。

简谐振动；气垫导轨；通用计数器；焦利氏秤

振动是一种十分常见的运动现象，如石英钟摆的摆动，秋千的摆动、原子在晶体中的平衡振动、心跳和风中抖动的叶子等。振动是声学、建筑学、机械、造船、电工和无线电技术等的基础，机械振动是一种最基本的振动，其中回复力与振幅成正比的简谐振动是一种特殊的机械振动。

气垫导轨是一种现代化的力学实验仪器，滑块浮在气垫层上，与轨面脱离接触，因而能在轨面上做近似无阻力的直线运动，极大地减小了以往在力学实验中由于摩擦力引起的误差，因此大学物理实验中也通常采用气垫导轨系统来研究简谐振动，将气垫导轨充气后，用两根弹簧把放置在导轨上的滑块连接起来，以滑块的平衡位置作参考原点，将滑块由平衡位置准静态拉伸一段距离，此时滑块一侧弹簧被压缩，而另一侧弹簧被拉长，滑块受到弹簧的回复力近似做简谐振动。气垫导轨上简谐振动的研究一直以来受到大家的关注，1983年程道辉[1]对气垫实验中弹簧振子周期公式进行分析时认为在气轨上作弹簧振子的实验应该考虑弹簧的有效质量，而空气阻力对滑块作简谐振动周期的测量结果影响甚小；1985年朱常全[2]分析得出光电管的离散性导致气垫导轨上条形挡光片测速的较大误差；1995年胡波[3]分析了用Δx/Δt作为即时速度引起的误差，并认为将导轨调节水平是一个没有必要的条件；1996年林禧[4]研究气垫导轨上弹簧振子的实验时引入了弹簧的有效质量；1997年彭瑞明[5]分析简谐振动实验误差时认为影响实验结果的主要因素是弹簧自身的质量和重力，而空气粘滞阻力的影响非常小；2002年何春娟[6]在进行气轨上简谐振动周期测量公式修正时，推导得出气轨上滑块的运动是振幅随时间逐渐衰减的一个阻尼振动；2009年肖齐波[7]基于Matlab软件作图精确验证了振子振动周期与振子质量呈线性关系。前人的研究都是基于某一个方面，实际上简谐振动实验涉及的内容非常丰富，除了在实验中观察简谐振动现象和振动系统中的能量转化外，还可通过光电门和通用计数器测量滑块运动的速度和周期，分析速度和周期受到的影响因素，计算动能和势能，验证机械能守恒定律。然而，在以往的实验中发现，计算得到的任意位置处的总能量与平衡位置处的总动能或者最大位置处的总势能之间存在非常大的差异，有时候实验误差达到50%以上，并不符合机械能守恒，能量随任意位置的变化而变化，为了探究其原因，我们系统地研究了简谐振动实验中相关物理量间的关系与能量守恒问题。

在气垫导轨测量简谐振动实验中要得到较为精确的测量结果，首先要保证速度和周期测量的精确性，借鉴其他学者前期对气垫导轨上简谐振动实验的系统误差分析，存在问题的讨论，气垫导轨系统测量速度和周期的误差分析及改进，通用计数器计时的误差分析等，本文着重对气垫导轨上简谐振动实验进行系统地研究，考虑到各种影响因素，尽可能准确地进行速度和周期的测量，利用简谐振动中测定的周期和滑块质量计算弹簧的等效质量和劲度系数等物理量，并将此与焦利氏秤测量、计算的结果进行比较，发现两者符合较好。在此基础上，对实验中物理量之间的关系进行定量研究，得到周期与振幅无关、周期的平方与滑块的配重块质量呈线性关系。对测量速度进行误差分析和修正后，通过多组实验验证了简谐振动过程中机械能是守恒的。利用Origin软件绘制曲线，生动形象地展示了实验中存在的规律，有利于学生更好地理解实验结论，对实验教学效果有一定的促进作用。

1 简谐振动理论基础

气垫导轨充气后，在导轨上放置一滑块，用两个劲度系数分别为K1，K2的弹簧分别将滑块和气垫导轨两端连接起来，如图1(a)所示，我们以滑块的平衡位置作为坐标原点O，将滑块由平衡位置准静态移至A点，其位移为x，此时滑块一侧弹簧被压缩，而另一侧弹簧被拉长，如图1(b)所示。

图1 简谐振动实验装置图

若忽略滑块与气轨之间的摩擦力作用，滑块受到的弹性力为

(1)

(2)

这个二阶常系数齐次线性微分方程的解为

x=Acos(ωt+φ)

(3)

式中，ω称为角频率，简谐振动的周期为

(4)

将式(3)对时间求导，可得滑块运动的速度为

(5)

由于滑块只受到弹性力即保守力的作用，因此系统在振动过程中机械能守恒。设滑块在某位置x处的速度为v，则系统在该处的总能量应为

(6)

把(3)式和(5)式代入(6)式，并考虑(4)式有：

(7)

上式中，系统总质量m，弹簧劲度系数K1和K2及振幅A都是常量，其中系统的总质量由滑块和配重块的质量、弹簧的等效质量(理论可证明等效质量为称量质量的1/3)三部分构成[8]。

实验中可通过系统总质量和滑块运动到平衡位置处的速度得到系统的总动能，或通过弹簧的劲度系数和振幅得到最大位置处的总势能，或者通过测量任意位置处的速度、位移、弹簧劲度系数和系统总质量得到系统在任意位置处的总能量。理论上滑块在简谐振动中动能和势能交替变化，利用上述三种方法得到的能量值相等，总能量保持守恒。然而实验中的情况要比理论复杂的多，文章后面将会作详细讨论。

2 实验器材简介

本次实验的装置由调平后的气垫导轨、通用计数器、电子天平、游标卡尺、焦利氏秤、滑块、3对劲度系数不同的弹簧、两个光电门、两个宽度不同的条形挡光片、一个U形挡光片和5个质量为25g的配重块构成。弹簧振子即滑块的质量和3对弹簧的质量用精确度为0.01mg的电子天平称量。振幅和任意位置通过气垫导轨上附带的毫米刻度尺来确定。弹簧的劲度系数用焦利氏秤进行测量，测量值将会和通过气垫导轨实验结果的计算值进行比较分析。

3 实验中存在的误差分析

简谐振动实验中主要测定滑块的速度、周期、弹簧等效质量和劲度系数，其方法可参阅相关实验教材或者参考文献，这里主要进行误差分析。

要精确测量滑块运动的速度和周期，可从以下几个方面考虑减少实验误差：首先将气垫导轨调整至非常水平，其次提高通用计数器的计时本领，再次考虑挡光片的宽度尽可能小，原则上挡光片越窄越好，然后由于光电计时器精确度的限制，挡光片不可能无限窄，本次实验选用的挡光片在3～5 mm之间，既保证了光电门的准确计数，又大大减小了实验误差。另外，选择的实验方法不同也会对实验造成一定的误差，如通用计数器分别选择计时1和计时2的方式进行速度测量时，会有一定的系统误差。

然而在实验中，除了注意上述事项外，我们还发现气垫导轨上滑块速度的测量值远大于其理论值，实验误差甚至达到百分之几十，这将导致任意位置处的总能量与平衡位置处的总动能或者最大位置处的总势能之间存在很大的差值，并不符合机械能守恒。我们发现光电管的离散性导致了较大的实验误差，朱常全[2]、高立晟等人[9]也曾经分析过速度测量误差的产生原因，这在一定程度上给了我们启发，但该文章只是定性的讨论，并没有给出定量的修正公式。速度误差修正的定量计算思路如下所述。

设挡光有效距离为L有效，挡光片实际宽度为L，则测量速度

(8)

实际速度(修正速度)

(9)

相对误差

(10)

其中v修正与安装在光电门上的遮光管形状和遮光有效面积决定，然而遮光管的有效面积是很难测量出来的，可以考虑通过测量周期、振幅、任意位置距离等物理量利用公式(11)计算v理论，在滑块运行前几个周期时v理论等于滑块实际的速度v修正。

(11)

但是在振动过程中由于空气阻力和气垫导轨上的粘滞阻力会导致振幅A的较大衰减，因此公式(11)不能用来计算后续实验中的v修正。但实际上整个系统的相对误差η是一个常数，我们可采用下面的方法进行计算：相同滑块，相同弹簧的配置下，将滑块拉开不同的振幅Ai做简谐振动，将相应振幅下滑块运行前5个周期的相关物理量测量出来，代入公式(11)计算v修正，代入公式(8)计算测量速度v测量，进而通过公式(10)算出相对误差η，并得到挡光片通过光电门的有效遮光长度L有效，利用公式(9)就可得到修正速度。测量速度v测量总是大于实际速度v修正，η通常为负数，按照该方法对速度修正后，极大地减小实验误差，文章5.4部分计算分析能量守恒将是一个很好的验证，再次证明了该方法的可行性和正确性[10-12]。

4 实验结果分析

4.1 速度的测量

气垫导轨系统中，通用计数器配合光电门进行速度测量的方法有多种。可选用条形挡光片，将通用计数器调至计时方式1，也可选用U形挡光片，将通用计数器置于计时1或者计时2，测速原理可参阅教材或其它文献，其原理如图2所示。在计时方式1下若条形挡光片的宽度为L，通过光电门所用时间为Δt，则速度v=L/Δt，如图2(a)所示。在计时方式1下，若U形板aa′与bb′之间的距离为L1，cc′与dd′之间的距离为L2，它们通过光电门所用时间分别为Δt1和Δt2，则速度可由公式v=1/2(L1/Δt1+L2/Δt2)计算，如图2(b)所示。在计时2方式下，若U形挡光片aa′与cc′之间的距离为L，其通过光电门的时间为Δt，则速度v=L/Δt，如图2(c)所示。因采用U形片、计时方式2时测量速度的系统误差较大，因此在实验中为了获得较为精确的速度值，本文选取条形和U形挡光片、计时1的方式进行对比实验，其中L=4.14 mm,L1=L2=4.00 mm。实验装置摆放好后，在距平衡位置O一定距离A=20 cm和x处各放置一个光电门，分别确定振幅和任意位置，在多组实验中x分别取2 cm、4 cm、8 cm、12 cm、14 cm和18 cm，滑块从振幅处出发，测得滑块通过x位置处所用时间Δt，测量周期为T=1.25 s，实验结果如表1所示。时间由通用计数器直接读出，速度测量和修正值可通过公式(8)～(11)完成，在滑块和弹簧不变的情况下，通过多次变振幅计算得到相对误差η的平均值为η=-0.39，条形挡光片的实际遮光宽度L条有效=L+ηL=2.53 mm，LU有效=2.44 mm，计算得到速度的测量值和修正值列于表1中。

图2 不同挡光片测速原理图

位置/cm物理量0248121618Δt条(ms)2.502.532.552.723.133.985.88V测量(m·s-1)1.661.641.621.521.321.040.70V修正(m·s-1)1.011.000.990.930.810.640.43ΔtU1(ms)2.422.452.492.653.084.266.34ΔtU2(ms)2.452.452.472.612.973.905.23V1测量(m·s-1)1.651.631.611.511.300.940.63V2测量(m·s-1)1.631.631.621.531.351.030.76V测量(m·s-1)1.641.631.621.521.330.990.70V1修正(m·s-1)1.011.000.980.920.790.570.38V2修正(m·s-1)1.001.000.990.930.820.630.47V修正(m·s-1)1.011.000.990.930.810.600.43

从数据上看，条形和U形挡光片测量速度的修正值近似相等，但采用计时方式1进行速度测量时，U形挡光片为两个位置处的平均速度，条形近似为一个位置处的平均速度，且条形的宽度要小于U形整体的宽度，所以条形挡光片所测速度值会更精确一些。

4.2 弹簧劲度系数和等效质量的测量与计算

4.2.1 逐差法和焦利氏秤法计算弹簧劲度系数

通过简谐振动实验中测量的周期，可计算出弹簧的劲度系数，为后面弹性势能的计算做铺垫，此外，这部分数据的正确性也将从焦利氏秤法测量结果得以验证。

在前面简谐振动的理论基础部分，由公式(4)可知：

(12)

滑块和弹簧的等效质量是未知常量，在逐差法处理数据过程中可以消掉，因此只要测得弹簧振子的周期T和配重块的质量Δm，便可以得到弹簧的劲度系数，为了减少实验结果的误差，本次实验测量了3对劲度系数不同的弹簧，结果列于表2中。

表2 不同弹簧、不同配重下测量的周期

对公式(12)进行逐差法处理可得3对弹簧的劲度系数，以第1对弹簧为例，逐差法计算弹簧劲度系数如下：

可得第1对弹簧的劲度系数(k1+k2)=3.887 N/m，采用同样的方法计算第2、3对弹簧的劲度系数值分别为4.070 N/m和4.769 N/m。

为了进一步验证前面计算数据的可靠性，我们利用焦利氏秤分别测量3对弹簧的劲度系数，弹簧的初始位置记为x0，依次挂上20 g钩码后的位置分别为x1、x2、x3、x4和x5，相应的数据列于表3中。

表3 焦利氏秤测量弹簧伸长量的数据记录

以第1对弹簧aa′为例，逐差法计算弹簧劲度系数如下：

*9.797=1.944

*9.797=1.943

可得第1对弹簧的劲度系数为k1+k2=3.887 N/m，采用同样的方法计算第2、3对弹簧bb′和cc′的劲度系数值分别为3.935 N/m、4.619 N/m。

4.2.2 弹簧等效质量的计算

在简谐振动理论中，弹簧可看成轻质、无质量的连接体，然而在实验中，弹簧的质量不可忽略，弹簧周期性地被压缩或者拉伸，可想象把弹簧等效成具有一定质量的物体叠加于滑块之上，整个系统仍然可以看成理论上的弹簧振子模型，此外，理论计算表明弹簧称量质量的1/3为参与简谐振动的等效质量。对实验中的3对弹簧，表2中已列出不同配重下对应的测量周期，电子天平测滑块质量为0.120 49 kg，弹簧的劲度系数(k1+k2)在5.2.1部分已经计算得出，利用公式(12)进行逐差计算可得3对弹簧aa′的等效质量为7.34 g，电子天平称量24.28 g，很容易看出maa'等效≈1/3m，和理论计算结果符合较好。同样地，弹簧bb′和cc′的等效质量分别为4.01 g和7.36 g，其对应的称量质量为12.60 g和22.75 g，等效质量约等于称量质量的1/3，与理论结果相一致。

4.3 周期与振幅、系统质量之间的关系分析

将通用计数器置于“周期”档位可进行周期的测量。值得注意的是，滑块通过平衡位置时光电门遮光开始计时，到一个周期完成时计数器自动累加完成计数，即滑块遮光2n+1次完成n个周期的简谐振动。采用5.00 mm的条形挡光片，将滑块做简谐振动的振幅分别设为0.16 m、0.18 m、0.20 m、0.22 m、0.24 m、0.26 m，通过为滑块添加不同质量的配重块(25 g、50 g、75 g、100 g、125 g)来改变系统的总质量，从而研究简谐振动周期与振幅和系统质量之间的关系，测量的数据如表4所示。

表4 周期随振幅、配重块变化的数据记录

将数据输入Origin软件中，并绘制出相同配重下周期随振幅变化的图像，从图中可以看出，保持弹簧不变，在同一配重下，也就是系统质量保持不变的情况下，周期不随振幅改变而变化[10]。

图3 不同配重下简谐振动周期与振幅的关系图

由公式(4)和(12)可知，弹簧振子周期的平方与系统总质量呈线性关系，由于实验中m滑和m等效保持不变，只有配重块的质量发生变化，因此我们来研究周期的平方与配重块质量之间的关系。

图4 周期平方与配重块质量间的关系

将公式(12)进行变形得到：

4.4 简谐振动能量守恒分析

表5 不同弹簧配置时滑块运行x处通过光电门的时间记录

图5 能量随位置变化的曲线图

5 结束语

本文分析了条形挡光片和U形挡光片测速原理的不同，得出条形挡光片在计时方式1的情况下，测速会更加精确，并且分析了测速时产生误差的主要原因是由于光电管的离散性造成，给出了定量修正速度的计算公式。利用简谐振动实验数据进行逐差法计算得出弹簧的劲度系数和焦利氏秤法计算的结果一致，计算得到的弹簧等效质量约为称量质量的1/3，与理论一致。通过多组实验，分析得出简谐振动周期与振幅无关、周期平方与配重块质量变化之间存在线性关系，实验数据与理论符合较好，在精确测量简谐振动速度、弹簧劲度系数和等效质量、周期等物理量的基础上，通过多组实验得到系统在不同位置处的动能、势能之和总是近似相等，从而验证了能量守恒。在能量守恒验证中，引起误差的最主要原因是速度测量的误差，因此本文给出的速度定量修正方法起到了至关重要的作用，这也将给其它需要速度、加速度、动量或者能量测量的综合型实验打下了坚实的基础，提供了很好的方法。该实验所有的规律性曲线利用Origin软件作图得到，清晰明了的图形有利于学生更好地理解实验结论，大大提高了实验教学效果。

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[12] 汪昭，徐文娟，魏江.基于Unity 3D模拟振动和波[J].大学物理实验，2015，28(5)：113-117.

Investigation of the Relationship Between Physical Quantities and Conservation of Energy in the Harmonic Vibration Experiment

HUANG Yu-hong,ZHOU Wen-fei,ZHANG Suo-bin,YANG Zong-li,YUAN Yun

(Shaanxi Normal University,Shaanxi Xi’an 710119)

It describes how to more accurately measure the speed and period of the slider when doing simple harmonic vibration on the air track,as well as the equivalent mass and stiffness coefficient of the springslinkedwith the slider.By utilizing Joly Balance and method of successive minus,the equivalent mass and stiffness coefficient of three pairs of springs are measured and calculated.The results are in good agreement with those of aforementioned experimentson air track.Based on this,the relationship between physical quantities are quantitatively investigated and the results show that the cycle of the harmonic vibration is independent of amplitude,the square of the cycle islinearly proportional to the additional counter weight.The systematic error of measured velocity is analyzed and conservation of the mechanical energy is verified by multiple sets of experiments while the measured velocity is modified.The relationship between physical quantities and the viariation tendency of energy is vividly demonstrated by using software Origin.This will help students to better understand the law existed in the experiments,and can greatly promote experimental teaching effects.

harmonic vibration；air track；universal counter；Joly balance

2016-05-11

中央高校基本科研业务费专项资金资助(GK261001150)；陕西师范大学实验教学改革研究项目(16SY17)。

1007-2934(2016)05-0093-07

O 4-34

A DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.005.024