高中数学恒成立与存在性问题的探究

吴吉云

（山西省吕梁市离石区江阴高级中学）

高中数学恒成立与存在性问题的探究

吴吉云

（山西省吕梁市离石区江阴高级中学）

恒成立与存在性问题是高中数学中常见的一种题型，基于学生的认知水平对这种题型的理解比较吃力，特别是一题中恒成立与存在性问题同时出现时，学生更不容易把已知条件演绎出来，针对这一困惑点，通过对一道题的多种变式讲解，让学生对这类问题的认识更上一层楼.

恒成立；任意的；存在；参变分离

一、存在性问题

例1.函数（fx）=4x2-8x+2，存在x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m成立，求m的取值范围.

解：因为存在x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m成立.

所以存在x∈［1，2］，使（fx）-2x＞m成立，即：（（fx）-2x）max＞m.

令g（x）=（fx）-2x=4x2-10x+2，x∈［1，2］，

小结：（1）存在x∈［a，b］，使（fx）＞m成立⇔（fx）max＞m；

（2）存在x∈［a，b］，使（fx）＜m成立⇔（fx）min＜m.

二、恒成立问题

变式1：函数（fx）=4x2-8x+2，对任意的x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m恒成立，求m的取值范围.

解：因为对任意的x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m成立.

所以任意的x∈［1，2］，使（fx）-2x＞m成立，即：（（fx）-2x）min＞m.

令g（x）=（fx）-2x=4x2-10x+2，x∈［1，2］，

小结：（1）对任意的x∈［a，b］，使（fx）＞m成立⇔（fx）min＞m；

（2）对任意的x∈［a，b］，使（fx）＜m成立⇔（fx）max＜m.

变式2：设函数（fx）=4x2-8x+2，对任意的x∈［1，）∪（，2］，使（fx）＞2x+m成立，求m的取值范围.

令g（x）=（fx）-2x=4x2-10x+2，x∈［1，）∪（，2］，

（2）恒成立、存在性问题中，当参变分离后构造出的新函数，求新函数的最值时，当最值取不到时，要考虑m取值范围中“=”的取舍.

例2.设函数（fx）=x ln x-a，函数（fx）＜0在（0，）上恒成立，求

a的取值范围.

当x=0时g（x）取最大值，但此时g（x）无意义.所以用洛必达法则求解.

∴a≥0

小结：此题中g（x）在x=0时取最大值，但g（x）在x=0处无意义，所以用洛必达法则求解（极限思想）.

三、结语

解决恒成立与存在性问题首选参变分离，参变分离后都可以转化为求构造出的新函数的最值问题，在求新函数的最值时有三种情况：（1）在定义域内最值存在（如例1和变式1）；（2）在定义域内最值不存在，但在定义域端点值处取最值并且在该点处有意义（如变式2），此时可以借助端点值所对应的函数值求参数的取值（注意参数端点值的取舍）；（3）在定义域内最值不存在，但在定义域端点值处取最值并且在该点处无意义（如例2），此时可以用洛必达法则解决.

［1］佟成军，冯善状.一道试题讲评的“幕后台前”［J］.中学数学教学参考（上旬），2013（6）：17-20.

［2］张良超.高三解题：想得好才能做好［J］.中学数学教学参考（上旬），2012（10）：27-29.

·编辑张慧