高中数学解题中函数与方程思想的实例剖析
2016-11-16张菁
张菁
（江苏昆山陆家高级中学）
高中数学解题中函数与方程思想的实例剖析
张菁
（江苏昆山陆家高级中学）
高中数学的逻辑性极强，对于普通的高中生而言并不容易接受，而函数方程作为高中数学中的重要组成，更是教学的难点及重点，所以在实际教学过程中，不仅要求学生了解基本概念和简单运用，更要掌握相应的解题思路，从而起到事半功倍的效果，为学生数学能力的培养奠定良好的基础。
高中数学；函数与方程；实例
高中数学解题中函数与方程的思想极为重要，更是教学的关键所在，是数学能力、数学本质、数学素质以及数学知识的深层次体现，因此应当引起广大教育者的重视。
一、函数与方程思想的含义
函数与方程尽管是截然不同的概念，但内在联系紧密，仅从高中数学方面来说，均对解题起着十分重要的作用，一方面是将参数取值范围、求解方程、解析不等式、求值等问题的联系，另一方面是构建函数关系式，对函数起到辅助的解题作用，简化了解题难度。
1.函数思想
从某种意义上来说，函数思想即变化和运动的观点，是对高中数学的数量关系进行分析探索，实现构造函数或函数关系的构建，从而利用函数性质及图象对这些问题进行转化、分析、解题。函数思想是处理函数问题的重要基础。
2.方程思想
方程思想主要是对变量直观关系的研究，实现了方程及方程组的构建，从而结合方程的性质解出答案。方程思想要求学生对方程的概念具备较深的理解，从而得以发现、处理问题。
二、函数与方程思想的典型应用
1.不等式求解
所以，解得x＜-2或-1＜x＜1
例2.a，b，c，d实数满足：a＜b，c＜d，（a-c）（a-d）=1，（b-c）（b-d）=1，求解上述实数的大小关系为。
解析：假设函数（fx）=（x-c）（x-d），g（x）=（x-c）（x-d）-1
可知（fx）图象向下位移一个单位即可得到函数g（x）图象，那么再结合题中所给的条件，可知c，d均为f（x）=0的根，同理，a，b为g（x）=0的根（如图1），所以，结合图象，可知a＜c＜d＜d。
图1
例3.求证：任意实数x，y，z∈（0，1），在x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1中成立。
证明：假设x为主元，y，z为参数，构造函数f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z
可得：
如果1-y-z=0时，则f（x）=y-z+z＜y+z=1
如果1-y-z≠0时，f（x）为一次函数，且在区间（0，1）单调，
∴f（0）=y（1-z）+z=y（1-z）+（z-1）+1=（1-z）（y-1）-1＜1
得：f（1）=1-yz＜1
∴f（x）于（0，1）区间始终有f（x）＜1
即，x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1
评价：上述三个例子均是不等式解题中函数与方程思想的应用，例1将不等式转化为函数问题，其次结合单调性对问题予以简化；例2则是将g（x）=（x-c）（x-d）-1和f（x）=（x-c）（x-d）-1这样抽象的问题予以转化，从而得到便于解题的方程、函数，有效降低数学难度，顺利解题；例3则是在不等式证明中运用特别解题思路，创建辅助函数，从而快速验证函数特有性质。
2.零点求解
解析：
f（x）的周期图象题中已给，因此可以先作出这个图象（如图2），随后确定区间［-3，4］中的图象，作直线y=a，确保和y=f（x）有10个不同交点，根据图象可得0＜a＜。
图2
点评：通过已知交点数目做出函数图象，有助于学生更直观地找出答案。
3.方程根个数求解
例5.x2=2x方程解的个数
解析：
画出函数f（x）=x2-2x的函数图象（如图3所示），根据函数的函数图象不难看出，和x轴共有3个交点，因此x2=2x方程解的个数为3个。
图3
4.数列求解
解析：
三、高中数学函数与方程解题思想的归纳分析
以上实例均说明函数与方程思想的应用价值体现，并且将抽象的题目转化为简单的解题思路，具有较好的实效性，但是仍需注意如下问题：
（1）解题时首先要思考将代数视为函数、方程视为函数、字母视为变量的可行性。
（2）如果代数变为函数，字母为变量，思考利用函数的图象和性质解题。
（3）如果问题难以化为函数，则要思考能否构建辅助函数。
（4）思考等式是否可以作为未知数方程处理。
（5）解方程时，需要注意其根的范围、正负、虚实等方面的要求。
总而言之，函数与方程思想在高中数学中的利用，可以为学生大开“方便之门”，便于学生多方向、多思维解题能力的培养，是高中数学课堂中不可或缺的重要思想，值得推广应用。
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