基于Sobol’法的歼击机需求影响因素灵敏度分析*

罗承昆，陈云翔，张执国，王莉莉

（空军工程大学装备管理与安全工程学院，西安710051）

基于Sobol’法的歼击机需求影响因素灵敏度分析*

罗承昆，陈云翔，张执国，王莉莉

（空军工程大学装备管理与安全工程学院，西安710051）

针对歼击机需求确定影响因素众多、传统分析方法仅能进行定性分析的问题，提出了基于Sobol’法的歼击机需求影响因素灵敏度分析方法。在构建了歼击机需求确定模型的基础上，提出了基于Sobol’法的歼击机需求确定模型参数灵敏度分析步骤，并结合算例验证了方法的可行性和有效性。分析结果表明：我方拟夺取空中优势等级的概率、敌方出动歼击机的数量和敌我双方歼击机作战效能的比值对歼击机需求的影响较大，战术运用系数、协同作战系数和管理优劣系数的影响微乎其微。

歼击机需求，Sobol’法，影响因素，灵敏度分析

0　引言

夺取制空权在航空兵部队各项作战任务中占据着非常重要的地位。由于歼击机需求影响因素众多，加之执行任务过程中存在的复杂性和不确定性，因此，科学确定影响歼击机需求的敏感性因素，定量分析其影响情况，对于合理确定及优化歼击机规模结构，圆满完成空军承担的各项作战任务，具有重要的军事应用价值。

灵敏度分析［1］是研究模型输出结果受输入因素变化的影响程度及模型本身受输入因素影响程度的分析方法。通过对模型进行灵敏度分析，不仅可以研究输入信息不准确或者变动时所得到的最优解的稳定性，还可以确定哪些参数对模型会产生较大的影响。因此，很多领域研究者都将灵敏度分析作为系统建模和模型分析的必要补充，灵敏度分析在对备选方案进行评价和决策时也具有十分重要的作用。根据分析对象、目的和因素的不同，通常可将灵敏度分析方法分为局部灵敏度分析和全局灵敏度分析。

由于局部灵敏度分析没有考虑参数本身的概率分布、不适用于参数在大范围内变化并且不能确定各参数间的交互作用，因而难以有效确定参数变化对模型的影响。Sobol'法是当前最常用的全局灵敏度分析方法［2-5］，能有效确定对模型影响较大或者交互作用较强的因素，因此，本文采用Sobol'法对歼击机需求确定的影响因素进行灵敏度分析，识别了影响需求的敏感性因素，为歼击机规模结构的确定及优化提供了指导。

1　Sobol’法基本原理

Sobol’灵敏度分析方法是一种基于方差的蒙特卡罗法［6］。其核心思想是把模型分解成单个参数和各参数相互组合的2m项函数，通过计算模型输出的总方差和各阶偏方差来确定灵敏度系数。若模型为，其中xi服从[0，1]均匀分布，f2（x）可积，那么模型可以被分解成：

显然，这种分解并不是唯一的，要使分解唯一，则必须满足以下条件：在式（1）中，f0应为常量；其余各子项对其所包含任一因素的积分必须为零，即有。同时，式（1）中各子项之间都相互正交，即当时，。

由于各分解项之间至少存在一个因素不同，因而相应的积分经过式（1）计算后都变成零，且有。因此，所有分解项可以通过多重积分进行求解：

其中，x-i表示除xi以外的其他变量，x-ij表示除xi和xj以外的其他变量。同理，可求得其他各高阶项。

因此，灵敏度系数可表示为：

其中，Si为一阶灵敏度系数，表示参数xi对模型输出结果的主要影响；Sij（i≠j）是二阶灵敏度系数，表示两个参数之间的相互作用对模型输出结果的影响；依次类推。而参数xi的总灵敏度系数则是包含该参数的所有子项的灵敏度系数之和，且有。

Sobol’法一个显著特点就是方差D和偏方差Di、Dij可由蒙特卡罗积分法估计求得：

其中，N为抽样次数。式（8）中的上标（1）、（2）为输入变量组（x1，x2，…，xm）的两个N×m维抽样数组，实质上就是对除xi外其他参数分别进行两次抽样，而参数xi仅抽样一次，再将两组抽样值分别代入模型进行计算，确定对应的方差。根据式（8），D-i也可通过下式进行计算：

因此，参数xi的总灵敏度系数为

2　歼击机需求确定模型构建

采用Sobol'法对歼击机需求确定的影响因素进行分析，首先需要构建出歼击机需求确定参数化模型。特定任务背景下的歼击机需求主要是根据我方想要达到的空中优势等级，通过与敌方出动的歼击机进行力量对比求出。

为确保空军战役的顺利遂行和最终胜利，必须确保我方对敌方具备一定的空中优势。空中优势等级通常可以分为为4级［7］：一级是绝对空中优势，二级是较大空中优势，三级是略有空中优势，四级是均势。量化空中优势等级的指标为“空中优势系数”（K优），可用下式表示［8］：

其中，K运用为战术运用系数，K协同为协同作战系数（指预警机或地面指挥引导水平），K管理为管理优劣（含支撑能力）系数。

假设我方和敌方参战的歼击机数量分别为N甲、N乙，歼击机作战效能指数分别为C甲、C乙，则歼击机数量比为K数量=N甲/N乙，空战损失比为K损失=（C乙/C甲）0.5。在计算空战损失比的过程中，当一方使用的歼击机不止一种时，为宏观估计其作战效能指数，应按不同机种及数量计算加权平均效能值，即：

其中，Ci为第i种飞机的作战效能指数，Ni为第i种飞机的数量。

对应不同的K优值，夺取不同等级空中优势的概率可分别用下式计算：

因此，根据我方要求达到的空中优势等级，得到我方的歼击机需求确定模型为：

绝对空中优势：

较大空中优势：

略有空中优势：

均势：

3　基于Sobol’法的歼击机需求确定模型参数灵敏度分析步骤

在构建出歼击机需求确定参数化模型后，即可对其进行Sobol'法全局灵敏度分析。首先确定需要进行灵敏度分析的参数及其取值范围和概率分布；其次对所确定的参数进行蒙特卡罗采样，计算各采样点的歼击机需求；然后运用Sobol'法对所建立的模型进行全局灵敏度分析，确定各参数的一阶灵敏度系数、交叉项灵敏度系数、总灵敏度系数和贡献率，其中一阶灵敏度系数（亦称主效应）反映的是各参数单独变化对模型的影响程度，交叉项灵敏度系数（亦称交互效应）反映的是与该参数相关的所有耦合因素发生变化对模型的影响程度，而总灵敏度系数（亦称总效应）反映的是与该参数相关的所有因素发生变化对模型的影响程度，对各参数的总灵敏度进行归一化处理即可得到各参数的贡献率；最后以确定出的敏感性因素作为决策变量为后续歼击机规模结构优化工作奠定基础。具体的灵敏度分析流程如图1所示。

4　算例分析

假定长期与我国存在领土主权争议的某国在争议区域可能投入的歼击机为54架，其中三代机为48架，四代机为6架。设我方三代机与四代机的比例约为1∶0.1，我方和敌方三代机、四代机的作战效能指数相同，分别为16、80［8］，并且敌我双方的战术运用能力、协同作战能力和管理能力都相同。要求我方在战斗过程中夺取略有空中优势的概率不低于70%。现运用本文所提出的方法确定我方歼击机的需求并对其影响因素进行灵敏度分析。

图1　歼击机需求确定模型全局灵敏度分析流程

首先，确定我方歼击机的需求。经计算，我方所需的歼击机数量为104架。其中三代机为94架，四代机为10架。

其次，采用Sobol'法对歼击机需求确定的影响因素进行全局灵敏度分析。首先应确定需要分析的参数及其取值范围和概率分布。本文主要分析敌方出动歼击机的数量（N乙）、敌我双方歼击机作战效能的比值（C比）、我方拟夺取“略有”空中优势等级的概率（P略有）、战术运用系数（K运用）、协同作战系数（K协同）、管理优劣系数（K管理）等6个参数的变化对我方歼击机需求确定的影响，根据统计分析和专家调查可以确定各参数的取值范围和概率分布如表1所示。

表1　灵敏度分析参数的取值范围及概率分布

确定各参数的取值范围和概率分布后，即可利用蒙特卡罗抽样方法对各参数进行采样，采样次数为9 000次，计算得到各采样点的歼击机需求，最后利用Sobol'法确定各输入参数的一阶灵敏度系数、交叉项灵敏度系数、总灵敏度系数和贡献率，计算结果如表2所示。

表2　灵敏度分析结果

为了更加直观地说明各参数变化对歼击机需求的影响程度，绘制各参数的灵敏度系数直方图和贡献率饼图分别如图2和图3所示。

Sobol'法能够方便地分析各参数之间的交互作用对模型的影响。本文在此仅分析任意两个参数发生变化对歼击机需求确定模型的影响程度（即参数的二阶交互效应），具体计算分析结果如表3及图4所示。

表3　各参数的二阶灵敏度系数

通过上述分析可知，对于歼击机的需求确定，各参数的主效应和总效应排序是一致的，即P略有＞N乙＞C比＞K管理＞K协同＞K运用。其中，P略有对歼击机需求的影响最大，其次是N乙和C比，K运用、K协同和K管理这3个参数对歼击机需求的影响微乎其微。同时，P略有和N乙这两个参数的交叉项灵敏度系数都比较大，说明这两个参数和其他参数之间存在较强的交互作用，特别是当P略有和N乙同时变化时对歼击机需求确定的影响较大。

图2　各参数的主效应及总效应

图3　各参数灵敏度系数的贡献率

图4　各参数的二阶交互效应

因此，要确定完成特定任务的歼击机需求，首先必须合理确定我方想要达到的空中优势等级及概率，其次要科学预测敌方可能出动的歼击机数量，最后要根据敌方出动歼击机的作战效能指数合理确定我方出动的歼击机类型。由于敌方可能出动的歼击机类型及数量不直接受我方控制，因而在确定我方的歼击机需求后需要对其进行优化时，首先应考虑调整我方此次行动的任务目标，或者更换参与行动的歼击机类型。

5　结论

本文采用Sobol'全局灵敏度分析方法对所构建的歼击机需求确定参数化模型进行了分析，得到了歼击机需求确定模型各参数的灵敏度值。所得计算结果定性反映了模型各参数的灵敏程度，为合理确定及优化歼击机规模结构提供了指导。本文所得到的方法，也可以广泛运用到其他装备的需求影响因素分析中，其研究具有重要的军事应用价值。

［1］SALTELLI A，RATTO M.Global sensitivity analysis［M］. ThePrimer.Chichester：JohnWiley&SonsLtd，2008.

［2］尹俊杰，常飞，李曙林，等.基于Sobol法的整体翼梁损伤容限设计参数灵敏度分析［J］.空军工程大学学报（自然科学版），2013，14（6）：9-12.

［3］刘鑫，张志勇，刘桂萍.基于Sobol法的载人空降人体头－颈部损伤响应特性研究［J］.振动与冲击，2012，31（14）：133-137.

［4］杨龙，严振华，王明哲.QFD与Sobol’法在武器装备需求分析中的应用［J］.舰船电子工程，2012，32（3）：107-110.

［5］聂祚兴，于德介，李蓉，等.基于Sobol’法的车身噪声传递函数全局灵敏度分析［J］.中国机械工程，2012，23（14）：1753-1757.

［6］Sobol’I M.Sensitivity estimate for nonlinear mathematical models［J］.MathModel ComputExp，1993，1：407-414.

［7］弗拉索夫符伊.如何评价战役空中优势［J］.俄罗斯“军事思想”，1995（3）：101-106.

［8］朱宝鎏，朱荣昌，熊笑非.作战飞机效能评估［M］.北京：航空工业出版社，2006.

Sensitivity Analysis on Influencing Factors of Fighter’s Demand Based on Sobol’Method

LUOCheng-kun，CHENYun-xiang，ZHANG Zhi-guo，WANG Li-li
（School of Equipment Management and Safety Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

Aiming at the problem of numerous influencing factors existing in fighter’s demand calculation and traditional analysis method can only conduct qualitative analysis，a sensitivity analysis method on influencing factors of fighter’s demand based on Sobol’method is proposed.Based on the building of fighter’s demand calculation model，the sensitivity analysis procedure of fighter’s demand calculation model parameter based on Sobol’method is proposed，and a numerical example is given to verify the feasibility and validity of this method.The result shows that the probability we intend to despoil the air superiority level，the fighter number of our enemy and the combat effectiveness of both fighters have an obvious effect on our fighter’s demand.At the same time，the coefficient of tactics application，cooperative combat and management quality have very little effect on our fighter’s demand.

fighter’sdemand，Sobol’method，influencingfactors，sensitivityanalysis

E917

A

1002-0640（2016）10-0122-04

2015-08-09

2015-09-26

“：十二五”国防预研基金资助项目（513300102）

罗承昆（1990-），男，湖南邵阳人，硕士研究生。研究方向：装备管理与决策、装备系统工程。