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抓“四量”破电磁感应综合题

2016-11-11唐光善

中学物理·高中 2016年10期
关键词:动量定理安培力动量

唐光善

电磁感应综合题是高考的热点之一,电磁感应综合题不仅涉及电磁感应,还涉及动力学、热学、电场、电路、磁场、图像等许多知识,综合性强,常为计算题,有时也有选择题.

本文从“电量、冲量、动量、能量”四个角度探索电磁感应的综合问题的求解,并提炼出此类问题的突破策略.

1电磁感应中的电量

发生电磁感应现象,会在闭合电路中产生感应电流,设因电磁感应引起通过导体截面的电荷量为q.由q=Δt=ERΔt=nΔΦΔt·RΔt=nΔΦR,可见电磁感应现象中流过导体截面的电荷量与磁通量变化成正比,即q=nΔΦR (式中R为回路的总电阻).

例1如图1所示,两光滑水平放置的平行金属导轨间距为L,电阻不计,左端串有一电阻R,金属杆电阻为r,质量为m,匀强磁场的磁感应强度为B.现杆以初速度v0开始运动,则:

(1)分析杆的运动情况?

(2)从开始到滑行一段距离s(棒仍未停止)这一过程通过金属杆的电量q为多少?

解析(1)杆向右运动切割磁感线,回路中产生感应电流,使杆受向左的安培力,杆做减速运动;速度的减小,导致感应电流减小,感应电流的减小导致安培力、加速度也减小,直至杆静止;以上分析可知杆做加速度不断减小的减速运动,最终会静止在某处.

(2)通过导体棒的电量

q=Δt=R+rΔt=ΔΦt(R+r)Δt=ΔΦR+r(1)

而ΔΦ=BLs(2)

由(1)、(2)解得q=BLsR+r.

突破1磁通量的变化ΔΦ可能是由磁感应强度变化(ΔB)引起,也可能是由闭合磁场的面积变化(ΔS)引起,利用关系式q=nΔΦR,可以建立q、ΔB、ΔS之间的关系,从而对电磁感应综合题做出有效突破.

2电磁感应中的动量和冲量

拓展1例1中,求金属杆在整个运动过程中,通过的电量q为多少?

情景分析导体棒在匀强磁场中切割磁感线,产生感应电流而受到安培力,因速度与安培力的互相制约,安培力为变力,导体棒做变加速直线运动,无法直接求解出金属杆运动距离d;导致关系式q=nΔΦR无用武之地.

本题的难点在于安培力是变力,怎么处理呢?可以看看此过程安培力的冲量,

I安=∑FiΔti=∑BLIiΔti=BLq,

又因导体棒只受安培力作用,由动量定理知安培力的冲量等于金属棒的动量变化,即

I安=-BLq=0-mv.

(3)解:金属杆在整个运动过程中,由动量定理得

-I安=0-mv0,

而I安=∑FiΔti=∑BLIiΔti=BLq,

由以上两式解得q=mv0BL.

突破2导体棒在匀强磁场中自由运动切割磁感线时,安培力的冲量等于导体棒动量的变化,即

I安=-BLq=Δp;

再结合关系式q=nq=nΔΦR,

可有效突破 “安培力是变力”所带来的困难.

例2如图2所示,两根间距为l的光滑水平金属导轨(不计电阻),空间内加有竖直向上的匀强磁场,其磁感应强度为B,导轨上静止放置两金属棒ab、cd,ab质量为m,电阻为r.cd棒质量为M,电阻为R,给ab棒一初速度v0,求:

(1)ab棒与cd棒的运动情况?

(2)cd棒能达到的最大速度?

解析(1)ab棒受到向左的安培力,做减速运动;cd棒受到向右的安培力,做加速运动,随着速度的变化,安培力也变化,加速度也变化.当两棒达到相同速度v时,电路中电流为零,安培力为零,此时cd棒达到最大速度,两棒以速度v匀速运动.

(2)设ab棒与cd棒所受安培力的大小为F,作用时间为t,两棒达到的共同速度为v,

以向右为正方向,对ab棒由动量定理得

-Ft=Δp1=mv-mv0,

对cd棒由动量定理得

Ft=Δp2=Mv-0.

两式相加得Δp1+Δp2=0,

说明两棒动量守恒,即由于两导体棒所受的安培力等大反向,又不受其他外力,系统合外力为零,满足系统动量守恒的条件,本题可选用动量守恒定律求解.

由动量守恒定律得

mv0=(M+m)v,

解得v=mv0M+m.

拓展2例2中,若ab所在处导轨宽度只有cd处导轨宽度的一半,如图3所示,求两棒的最终速度?

解析两导体棒都在滑轨上运动时,系统的动量一定守恒吗?因cd棒受的安培力是ab棒的2倍,系统动量不守恒,最终速度也不相等,因cd棒切割磁感线的有效长度是ab棒的2倍,而最终稳定状态时回路中电流为零,两棒匀速运动,因而最终匀速时间ab棒的速度是cd棒的2倍,设cd棒的最终速度为v,则ab棒的最终速度为2v,

对ab棒,由动量定理

-I安=2mv-mv0,

对cd棒,由动量定理

2I安=Mv,

由以上两式解得v=mv04m+M.

3电磁感应中的能量

拓展3例2中,求:(3)cd棒由静止到最大速度过程中,cd释放的热量是多少?

解析能用焦耳定律Q=I2Rt直接求cd棒产生的热量吗?焦耳定律关系式中的电流I应为有效值,直接求电流有效值和时间是困难的,怎么办?我们可以从能量角度来试试.

(3)由能量守恒,系统释放的焦耳热等于系统减少的机械能,故有

Q=12mv20-12(M+m)v′2,

解得Q=Mmv202(M+m),

由能量分配关系知

QR=RR+rQ=Mmv202(M+m)×RR+r.

突破3电磁感应现象也遵守能的转化和守恒的定律,电磁感应现象的实质是不同形式的能量的转化过程.因此,从做功和能转化入手,分析清楚能量转化关系,往往能有效突破电磁感应综合问题,电磁感应现象中做功与能转化关系如图4.

例3如图5中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨,处在磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直导轨所在的平面向里.导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的,距离为L1;c1d1段与c2d2段也竖直的,距离为L2.x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆,质量分别为m1、m2,它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触.两杆与导轨构成的回路的总电阻为R.F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力.已知两杆运动到图示位置时,已匀速向上运动,求此时作用于两杆的重力功率的大小和回路电阻上的热功率.

解析该题是感应电动势与力学知识相链接的综合题,可以从“做功和能量”角度突破.棒在图示时作匀速直线运动,表明其受力平衡.对系统进行受力分析,系统受到向上的拉力,两个重力和两个安培力,拉力等于两个重力和两个安培力之和.因棒匀速运动时,拉力做功的功率应等于两棒重力的功率和电路中的电功率.

回路中的感应电动势大小为

E=B(L2-L1)v,

匀速运动时由能的转化和守恒律有

Fv=(m1+m2)gv+Q

=(m1+m2)gv+E2R,

解得v=F-(m1+m2)gB2(L2-L1)2R,

所以两杆的重力的功率

P=(m1+m2)v

=F-(m1+m2)gB2(L2-L1)2R(m1+m2)g,

回路电阻上的热功率为

PQ=E2R=[F-(m1+m2)gB(L2-L1)]2R.

以上我们从“电量、冲量、动量、能量”四个角度探索了电磁感应的综合问题的求解.从“电量”的角度我们发现了关系式q=nΔΦR;

从“冲量、动量”的角度发现了关系式

I安=F安Δt=BLIΔt=BLq,

并提炼出了处理“安培力是变力”的方法,可选用的规律有动量定理或动量守恒定律;从能量角度我们意识到能量问题是电磁感应的核心问题,可选用的规律有动能定理或能量守恒定律,解题时可以按照“受力分析→做功分析→能量分析”的思维程程序.

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