抓“四量”破电磁感应综合题

2016-11-11唐光善

中学物理·高中 2016年10期

唐光善

电磁感应综合题是高考的热点之一，电磁感应综合题不仅涉及电磁感应，还涉及动力学、热学、电场、电路、磁场、图像等许多知识，综合性强，常为计算题，有时也有选择题.

本文从“电量、冲量、动量、能量”四个角度探索电磁感应的综合问题的求解，并提炼出此类问题的突破策略.

1电磁感应中的电量

发生电磁感应现象，会在闭合电路中产生感应电流，设因电磁感应引起通过导体截面的电荷量为q.由q=Δt=ERΔt=nΔΦΔt·RΔt=nΔΦR，可见电磁感应现象中流过导体截面的电荷量与磁通量变化成正比，即q=nΔΦR （式中R为回路的总电阻）.

例1如图1所示，两光滑水平放置的平行金属导轨间距为L，电阻不计，左端串有一电阻R，金属杆电阻为r，质量为m，匀强磁场的磁感应强度为B.现杆以初速度v0开始运动，则：

（1）分析杆的运动情况？

（2）从开始到滑行一段距离s（棒仍未停止）这一过程通过金属杆的电量q为多少？

解析（1）杆向右运动切割磁感线，回路中产生感应电流，使杆受向左的安培力，杆做减速运动；速度的减小，导致感应电流减小，感应电流的减小导致安培力、加速度也减小，直至杆静止；以上分析可知杆做加速度不断减小的减速运动，最终会静止在某处.

（2）通过导体棒的电量

q=Δt=R+rΔt=ΔΦt（R+r）Δt=ΔΦR+r（1）

而ΔΦ=BLs（2）

由（1）、（2）解得q=BLsR+r.

突破1磁通量的变化ΔΦ可能是由磁感应强度变化（ΔB）引起，也可能是由闭合磁场的面积变化（ΔS）引起，利用关系式q=nΔΦR，可以建立q、ΔB、ΔS之间的关系，从而对电磁感应综合题做出有效突破.

2电磁感应中的动量和冲量

拓展1例1中，求金属杆在整个运动过程中，通过的电量q为多少？

情景分析导体棒在匀强磁场中切割磁感线，产生感应电流而受到安培力，因速度与安培力的互相制约，安培力为变力，导体棒做变加速直线运动，无法直接求解出金属杆运动距离d；导致关系式q=nΔΦR无用武之地.

本题的难点在于安培力是变力，怎么处理呢？可以看看此过程安培力的冲量，

I安=∑FiΔti=∑BLIiΔti=BLq，

又因导体棒只受安培力作用，由动量定理知安培力的冲量等于金属棒的动量变化，即

I安=-BLq=0-mv.

（3）解：金属杆在整个运动过程中，由动量定理得

-I安=0-mv0，

而I安=∑FiΔti=∑BLIiΔti=BLq，

由以上两式解得q=mv0BL.

突破2导体棒在匀强磁场中自由运动切割磁感线时，安培力的冲量等于导体棒动量的变化，即

I安=-BLq=Δp；

再结合关系式q=nq=nΔΦR，

可有效突破 “安培力是变力”所带来的困难.

例2如图2所示，两根间距为l的光滑水平金属导轨（不计电阻），空间内加有竖直向上的匀强磁场，其磁感应强度为B，导轨上静止放置两金属棒ab、cd，ab质量为m，电阻为r.cd棒质量为M，电阻为R，给ab棒一初速度v0，求：

（1）ab棒与cd棒的运动情况？

（2）cd棒能达到的最大速度？

解析（1）ab棒受到向左的安培力，做减速运动；cd棒受到向右的安培力，做加速运动，随着速度的变化，安培力也变化，加速度也变化.当两棒达到相同速度v时，电路中电流为零，安培力为零，此时cd棒达到最大速度，两棒以速度v匀速运动.

（2）设ab棒与cd棒所受安培力的大小为F，作用时间为t，两棒达到的共同速度为v，

以向右为正方向，对ab棒由动量定理得

-Ft=Δp1=mv-mv0，

对cd棒由动量定理得

Ft=Δp2=Mv-0.

两式相加得Δp1+Δp2=0，

说明两棒动量守恒，即由于两导体棒所受的安培力等大反向，又不受其他外力，系统合外力为零，满足系统动量守恒的条件，本题可选用动量守恒定律求解.

由动量守恒定律得

mv0=（M+m）v，

解得v=mv0M+m.

拓展2例2中，若ab所在处导轨宽度只有cd处导轨宽度的一半，如图3所示，求两棒的最终速度？

解析两导体棒都在滑轨上运动时，系统的动量一定守恒吗？因cd棒受的安培力是ab棒的2倍，系统动量不守恒，最终速度也不相等，因cd棒切割磁感线的有效长度是ab棒的2倍，而最终稳定状态时回路中电流为零，两棒匀速运动，因而最终匀速时间ab棒的速度是cd棒的2倍，设cd棒的最终速度为v，则ab棒的最终速度为2v，

对ab棒，由动量定理

-I安=2mv-mv0，

对cd棒，由动量定理

2I安=Mv，

由以上两式解得v=mv04m+M.

3电磁感应中的能量

拓展3例2中，求：（3）cd棒由静止到最大速度过程中，cd释放的热量是多少？

解析能用焦耳定律Q=I2Rt直接求cd棒产生的热量吗？焦耳定律关系式中的电流I应为有效值，直接求电流有效值和时间是困难的，怎么办？我们可以从能量角度来试试.

（3）由能量守恒，系统释放的焦耳热等于系统减少的机械能，故有

Q=12mv20-12（M+m）v′2，

解得Q=Mmv202（M+m），

由能量分配关系知

QR=RR+rQ=Mmv202（M+m）×RR+r.

突破3电磁感应现象也遵守能的转化和守恒的定律，电磁感应现象的实质是不同形式的能量的转化过程.因此，从做功和能转化入手，分析清楚能量转化关系，往往能有效突破电磁感应综合问题，电磁感应现象中做功与能转化关系如图4.

例3如图5中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面向里.导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为L1；c1d1段与c2d2段也竖直的，距离为L2.x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1、m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触.两杆与导轨构成的回路的总电阻为R.F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力.已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力功率的大小和回路电阻上的热功率.

解析该题是感应电动势与力学知识相链接的综合题，可以从“做功和能量”角度突破.棒在图示时作匀速直线运动，表明其受力平衡.对系统进行受力分析，系统受到向上的拉力，两个重力和两个安培力，拉力等于两个重力和两个安培力之和.因棒匀速运动时，拉力做功的功率应等于两棒重力的功率和电路中的电功率.

回路中的感应电动势大小为

E=B（L2-L1）v，

匀速运动时由能的转化和守恒律有

Fv=（m1+m2）gv+Q

=（m1+m2）gv+E2R，

解得v=F-（m1+m2）gB2（L2-L1）2R，

所以两杆的重力的功率

P=（m1+m2）v

=F-（m1+m2）gB2（L2-L1）2R（m1+m2）g，

回路电阻上的热功率为

PQ=E2R=[F-（m1+m2）gB（L2-L1）]2R.