金属体在匀强磁场中周期性运动问题的实验探究

刘建泉

1问题提出

在高三的一节复习课上，学生对一道广东高考题“D”选项提出了质疑.

题1如图1所示，用一根长为L质量不计的细杆与一个上弧长为l0、下弧长为d0的金属线框的中点联结并悬挂于O点，悬点正下方存在一个上弧长为2l0、下弧长为2d0的方向垂直纸面向里的匀强磁场，且d0L.先将线框拉开到如图1所示位置，松手后让线框进入磁场，忽略空气阻力和摩擦.下列说法正确的是

A.金属线框进入磁场时感应电流的方向为a→b→c→d→a

B.金属线框离开磁场时感应电流的方向为a→d→c→b→a

C.金属线框dc边进入磁场与ab边离开磁场的速度大小总是相等

D.金属线框最终将在磁场内做简谐运动

学生认为：金属线框在进入匀强磁场后作变速运动，dc和ab边作变速运动，两边框电动势发生变化，必有电荷的定向移动形成电流，那么这种电流会不会产生能量损失而使金属线框停止运动呢？

金属线框在匀强磁场中作变速运动，磁通量不变，从整体上看闭合回路中并不能形成电流.但由于cd和ab边框在磁场中做变速运动，金属线中自由电荷受到的洛伦兹力也在变化中，在沿金属线方向所受电场力和洛伦兹力的平衡被打破，处于动态变化中，导致两端的电动势E=BLv不断变化，金属线中能形成局部的“振荡电流”.从法拉第电磁感应定律角度看，这种影响应该忽略，但到底有多大影响呢？

2矛盾突显

带着这一问题，笔者查阅了近几年几大刊物的相关资料，在找到的近十篇相关论文，其中一道题的“D”选项与题1类似.

题2如图2 所示，一闭合金属圆环用绝缘细线挂于O 点， 将圆环拉离平衡位置并释放，圆环摆动过程中经过有界的水平匀强磁场区域， A 、B 为该磁场的竖直边界， 若不计悬点的摩擦和空气阻力，则

A.圆环向右穿过磁场后，还能摆至原来的高度

B.在进入和离开磁场时，圆环中均有感应电流

C.圆环进入磁场后离平衡位置越近速度越大，感应电流也越大

D.圆环最终将静止在平衡位置

题1和题2的“D”选项表述有类似之处，但比较几篇论文，发现文中对“D”选项持有两个截然不同的观点：一种观点认为圆环进入匀强磁场后无磁通量变化，无感应电流产生，根据能量守恒，圆环最终将在匀强磁场中做等幅振动.另一种则认为圆环的局部有感应电流，有电流就有能量损失，故圆环将在竖直方向静止.

显然，两个观点的矛盾在于两个方面：其一是，金属体在匀强磁场中作周期性运动有没有电流；其二是，金属体在匀强磁场中作周期性运动，电磁感应引起的能量损失能不能忽略.

3问题探究

关于有没有电流的问题，前文已作简要说明，这一点孙德波老师在《中学物理教学参考》2004年第十期有较详细的分析说明，这里不再赘述.本文旨在建立一个理想化模型，通过假设、推理来分析此问题中的能量损失，并通过实验加以验证.

3.1建立模型

把一长度为d横截面积为S的金属线（代替线框或圆环）用细线悬于固定点P，金属线电阻为R，摆长为l，设ld，整个装置仍置于匀强磁场中，将金属线拉离竖直方向θ角后由静止释放.

显然，当金属线的质量比细线质量大得多，空气阻力足够小的情况下，我们可以把这一装置看成是单摆.通过这一模型来研究能量损失，问题得以简化.

3.2合理假设

为了能够定量研究金属线中产生的电能，我们必须知道金属线在磁场中的运动规律，若考虑磁场对金属线的阻尼，问题会变得相当复杂.因此，假设磁场对金属线的阻尼很小，那么在短时间、小角度情况下金属线的来回摆动可以看成是简谐运动.

由（3）式不难看出，若Δεε很小，那么在不太长的时间内，金属线在振动中损失的机械能（即产生的电能）远小于总机械能，可近似地看成是简谐运动，假设成立.否则，原假设不成立，金属体在匀强磁场中的变速运动能量损失不可忽略.

3.4数据检验

以常用的导电材料铜为例，在20 ℃时，电阻率是ρ=1.6730×10-8 Ω·m，密度为ρ′=8.96×103 kg/m3.从实际情况看，较弱的地磁场磁感应强度只有3×10-5 T～7×10-5 T，永久磁铁附近的磁感应强度大约为10-3 T，在电机和变压器的铁芯中，磁感应强度可达0.8 T-1.4 T，超导材料中的强电流产生的磁感应强度可达1000 T.磁感应强度取常见值：1×10-5 T～1×10-1 T，不妨设周期约为1 s，可以求出能量损失比Δεε及100个周期后剩余的机械能εt.估算结果如表1.

3.5实验验证

为了进一步验证以上推理，笔者在中学实验室现有器材的基础上进行实验，试图通过实验加以证实.实验设计思想是：用多块磁铁组合，得到近似的匀强磁场.让同一金属线在空气中和匀强磁场中振动，当两种情形下振动能量损失相同，比较时间振动时间长短.具体操作步骤：

（1）用一根细丝线，一端系一直径为2.74 mm，长度为1.9 cm的铜导线，另一端固定，测出摆长l.

（2）把条形磁铁捆扎成一对，使N、S极相对，靠近放置形成近似的匀强磁场.

（3）在桌面贴上一张白纸，画一条直线，取振动幅为4 cm标记出平衡位置、最大位移及一半最大位移的位置.

（4）在不放磁铁时让金属线沿画好的直线摆动，达到标记的最大位移处开始记时，当到达标记好的最大位移的一半处停止计时，记录时间为t1.重复三次.

（5）在直线两侧放上磁铁，重复步骤（4），记录时间为t2.

（6） 改变摆线的长度，重复步骤（4）、（5）.

（7）将记录数据记表2，比较振动时间，得到时间比t1t2.实验数据如表2.

从表格数据可以看出，摆长较短时，摆振动较快，每次测量误差较大.综合多次测量结果可以看出，磁场对铜线的阻尼可以忽略.而在理论推导中摆100个周期内因电磁阻尼损失的能量近一半，这显然和实验不一致.

3.6反思与修正

任何结论都必须得到实验的检验，否则必然是错误的.本实验器材虽然粗糙，但是实验设计和操作十分严谨，偶然误差肯定有，但不可能和理论相差如此之大.因此，推断可能是理论分析存在问题.经过反思和对交流电相关问题的学习，发现关于“振荡电流”的功率分析存在问题.

3.6.1定性分析

在图3中，金属线从B点到O点的过程中，由于重力做功，金属线速度增加，从而使金属线两端的电动势增加.下端带正电，“振荡电流”方向向下，磁场对导线的作用力阻碍金属线运动.从能量角度看，此过程主要是一部分机械能转化为电场能.为了中学阶段易于理解，这一过程类似于“发电机”原理.而从O点到A点的过程中，由于重力做负功，金属线速度减小，金属线两端的电动势减小.“振荡电流”方向向上，磁场对导线的作用力是动力.从能量角度看，此过程主要是电场能转化为机械能，这一过程相当于“电动机”原理.反思前文推理过程，不难看出用纯电阻电路计算公式计算内能是错误的.

3.6.2理论分析

那么此过程中“振荡电流”的电功率又该如何计算呢？我们得首先回顾一下交流电功率的计算.

这种情况就是中学阶段熟悉的纯电阻电路中的有功功率.

当=π2，cos=0，=0，这种情况就是无功功率，电路中的能量在内部相互转化，没有内能产生.一般情况下，电路中由于存在电容和电感，0

文中所建模型，金属线两端的电势差与上下两端所积累电荷成正比，设电压：u（t）=Emcosωt；由于金属线的电容、电感极小，则上下两端的电荷量与两端电势差成正比，设电量：q（t）=Qmcosωt；金属线中的电流：

i（t）=dq（t）dt=Imcos（ωt+π2）.

显然=π2，=0.

当然，实际情况中如果考虑到金属线有极小的电容和电感，加之交流电的频率低，虽不等于π2，但是一定非常接近，因而其损失的能量可以忽略.

3.7得出结论

通过以上研究我们可以得出这样的两个结论：一、金属体在匀强磁场中做周期性运动时能产生交变电流.二、匀强磁场中周期性运动的金属体因电磁感应产生的能量损失极小，可以忽略.

4问题启示

题1和题2的命题指导思想是为了巩固法拉第电磁感应定律.题1中的表述：“金属线框最终将在磁场内做简谐运动”，选项的设置用词科学，不容易产生歧义，达到了命题意图.题2的表述：“圆环最终将静止在平衡位置”，“最终”二字表述欠准确，这样即使是极其微弱的能量损耗，最终也会停止运动，这也是引起众多争议的原因之一.

前人总结的规律建立在大量的实验基础之上，并在生产实践经过了无数次验证和应用.在平时的教育教学中可以鼓励学生对科学提出大胆的质疑，但必须建立在充分的理论和实验基础上，不能轻率草事.通过学生学习过程中产生的有价值的实例探究不仅能巩固所学知识，提高各种能力，更能培养学生的学科科学素养.