简谐运动中弹簧振子周期公式的证明

张晓琳

高考越来越注重对基本知识、基本规律的考查，如：2015年北京卷23.（1）、2014年北京卷24.（1）、2013年北京卷24.（1）b等.我们复习时不能再是只通过做题来回顾知识，而是要把做题的时间省出来一些，去思考和自己推导学习到的概念和模型，真正通过思考与推导变成自身的理解.

但高中物理中有些公式或结果是直接给出而没有推导或证明过程的，如简谐运动中弹簧振子的周期公式T=2πmk等.那么，此问题真的不能用中学的方法证明吗？其实不然，下面我就用中学所学的方法证明之.

1参考圆的建立

简谐运动：

（1）动力学特征：F=-kx，a=Fm=-kmx.

（2）参考圆：由实验可得，做匀速圆周运动的质点（弹簧振子m）在其直径上的投影的运动，是以圆心O为平衡位置的简谐运动.通常称这样的圆为参考圆，半径大小为简谐运动振幅A.

2证明过程

方法一利用机械能守恒定律.

既然匀速圆周运动在x轴的投影为简谐运动，那么振子从P点经时间t运动到任意一点N的线速度v的水平速度v2，与N到x轴的投影M的速度vM大小相等，方向相同.

方法二利用简谐振动方程求解，如图2所示.

匀速圆周运动在x轴的投影为简谐运动，那么振子从P点经时间t运动到任意一点N到x轴的投影为M点.

若规定沿x轴方向为正方向，则M点的位移方程——（x是对平衡位置的位移）