次正规子群与有限群的超可解性

黄琼

（1.广西师范学院数学与统计科学学院，广西 南宁　530023；2.广西体育运动学校，广西 南宁　530001）

次正规子群与有限群的超可解性

黄琼1，2

（1.广西师范学院数学与统计科学学院，广西 南宁530023；2.广西体育运动学校，广西 南宁530001）

通过Sylow子群的极大子群和次正规性，利用极小阶反例的方法，得出群p-幂零性和超可解性的结论.本文的创新改进之处在于结合Sylow子群的极大子群和次正规性，研究p-幂零性和超可解性的相关结论.

可解群；次正规子群；Sylow p-子群；p-幂零群

1　引言

本文之群皆指有限群，所用术语和符号都是标准的.

上世纪30年代末，H·Wielandt从存在合成群列的群中提出了次正规子群的概念，并对次正规性进行了深入研究.近几十年，许多群论工作者如：D.Bartels，J.C.Lennox and S.E.Stonehewer，Derek J.S Robinson，郭文彬［1］，苏跃斌［2］，冯爱芳［3］，刘合国［4］，潘红飞，左林，李晓华等，对这个重要子群特性进行了深入研究，得出了许多新的成果.本文对子群的次正规性进行研究，得出有限群p-幂零和超可解的结论.

2　定义及引理

定义2.1［5］设G是群，H≤G，称H为G的次正规子群，并记作H◁◁G，如果H在G的某个次正规群列中出现.

定义 2.2［6］设G是有限群，P∈Sylp（G）.如果G有正规子群N，满足N∩P=1，NP=G，则称G为p-幂零群，而称N为G的正规p-补.

定义2.3［7］若群G的主因子均为素数阶循环群，则称G为超可解群.

引理2.4［8］设G是群.则

（1）若H◁◁G，M≤G，则H∩M◁◁M；

引理2.5［9］设G是群，p是|G|的素因子且（|G|，p-1）=1.则

（1）若N是G的p阶正规子群，则N含于Z（G）；

（2）若G有循环的Sylow p-子群，则G为p-幂零；

（3）若M是G的指数为p的子群，则M在G中正规.

引理2.6［10］设M是群G的极大子群，P是G的正规p-子群，使得G=PM，其中p是|G|的素因子.则（1）P∩M◁G；（2）若p＞2且P的极小子群在G中正规，则|G：M|=p.

3　主要结果

定理 3.1设 G是群，H◁G使得G/H为 p-幂零，P∈Sylp（H），其中 p∈π（G）且（|G|，p-1）=1.若P的极大子群在G中次正规，则G为p-幂零.

定理3.2设H是群G的正规子群使得G/H超可解.则G超可解当且仅当H的非循环Sylow子群的极大子群皆在G中次正规.

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［3］冯爱芳，刘祖华.至多含8个非次正规子群的有限群（英文）［J］.西南师范大学学报：自然科学版，2012，37（2）：12-17.

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［6］徐明曜.有限群导引：上册［M］.第2版.北京：科学出版社，1999.

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［13］Huppert B.Endliche Gruppen I［M］.New York：Springer-Verlag，1967.

2010 MSC:20B05

Subnormal subgroups and super solvability of finite groups

Huang Qiong1，2
（1.College of Mathematics and Statistics，Guangxi Teachers Education University，Nanning530023，China；2.Guangxi Sports School，Nanning530001，China）

The purpose of this paper is for obtaining the conclusions of group p-nilpotency and supersolvability by maximal subgroups of Sylow subgroups and subnormality and using minimal order counterexample method.The innovation and improvement of this paper is that it researches the related conclusions of group p-nilpotency and supersolvability combining maximal subgroups of Sylow subgroups and subnormality.

super solvable group，subnormal subgroup，Sylow p-subgroup，p-nilpotent group

O152.1

A

1008-5513（2016）05-0546-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.011

2016-06-09.

国家自然科学基金（10961007，11161006）；广西自然科学基金（0991101，0991102）.

黄琼（1984-），硕士，助理讲师，研究方向：有限群理论.