渗透数学模型思想培养学生思维能力

连娟丽（泉州市泉港区山腰中心小学，福建泉港362801）

渗透数学模型思想培养学生思维能力

连娟丽
（泉州市泉港区山腰中心小学，福建泉港362801）

“模型思想”是小学数学教学中要培养的基本的数学思想之一。在小学数学教学过程中教师要通过在新知探究、数学活动和巩固运用中逐步渗透数学模型思想，使学生感悟“模型思想”方法，培养思维能力，体验有价值的数学学习过程，增强学生的数学素养。

渗透；模型思想；培养；思维能力

数学模型思想是数学知识的核心内容，更是学生思维发展和终身学习的重要基础。那么，在小学数学课堂教学中，应怎样有效、合理地渗透数学模型思想来促进数学思维发展呢？笔者结合日常教学实践，谈一些做法。

一、在探究过程中渗透“模型思想”，发展思维能力

概念、法则、规律及数学问题解决等数学知识的形成过程，都要建立核心要素——数学思维方法，它是数学模型的灵魂。只有设计有效的数学思维训练活动，引导学生多角度抓住隐含在问题中的数学思想，才能优化问题的解决，发展学生思维水平，建立正确的数学观，发展和运用数学知识。教学中不但要重视知识技能的结果，更要关注学生进行探究性学习的过程中科学、合理、有效地构建数学模型。

案例：北师版小学数学第八册《数学好玩--优化》教学“烙饼”片段

1.创设烙饼情境

师：淘气的妈妈要让大家尝尝她最拿手的烙饼。计划要烙12张饼。

师：最快烙好12张饼要多长时间？

师：有困难？没关系，要懂得知难而“退”，从简单数字入手，寻找其中有没有规律？

2.探究双数张饼优化烙法师：就从2张饼开始探究吧！2张饼可以怎样烙？师：用一双手当2个饼，桌子当锅，烙一烙，并算一算花了多长时间？

师：谁愿意上台演示？（生边烙边说第一次3分钟，第二次3分钟）

师：2张饼同时烙，只要烙2次，这样就节省了6分钟。达到最省时的优化方法，称它为“2张同时烙”。

师：那4张饼怎么烙？

师：同桌合作，用2双手当4张饼烙一烙。

师：那么6张饼呢？

师（小结）：当烙饼的个数是双数时，就2张2张同时烙，这样花的时间最少。

3.探究单数张饼优化烙法

师：研究完双数烙饼优化方法，接下来要研究什么？（单数）若烙3张饼，怎样烙才能尽快烙好？

课件出示要求：

（1）同桌先讨论再操作（借助学具袋里的3个小圆片试着烙一烙）。

（2）算一算，所需烙饼的时间？比较哪种方法合理？

（学生动手操作学具活动）

汇报方法（指名上台演示烙法）：

生1：先2张同时烙，再烙第3张（师板书6+6=12（分））

生2：3张轮流烙，烙三次，需要9分钟（师板书3+3+ 3=9（分））

3张轮流烙的过程：

师：通过比较，哪种方案更省时？

师：把这种省时的方法叫做“烙3张饼的最佳方法”。

师：请同学们用这种方法再烙一烙，验证一下锅里是不是总有2张饼？

师：找到了烙3张饼的最佳方法，那5张饼又有什么省时的方法？

生：先同时烙2张，再运用烙3张饼的最佳方法烙剩下的3张。师：表达的真清楚！烙5张饼可以转化成“2+3”。师：那烙7张饼呢？

师（小结）：如果烙饼数是单数时，先2张2张地烙，剩下最后3张就可以用烙三张的最佳方法烙，这样就最省时。

4.探究规律--构建数学模型

师：借助同学们发现的最佳烙饼方法整理在表格上，观察表格，你发现了什么？

生1：饼数=次数

生2：饼的张数×每面的时间=最少所用的时间

生3：这个规律前提条件必须是锅最多只能烙2个饼。

（师及时肯定考虑问题完整性。）

师：按照这样的规律，8张呢？（24分钟）

师：那现在大家快速告诉老师，烙12张饼最短需要多少时间？（36分钟）

师：给a个人每人一张饼呢？最短需要多长时间？

上述片段在构建“烙饼”最优化方法的过程中，隐含着与之相伴的多种数学思想方法。一是抛出问题：最快烙好12张饼要多长时间？旨在帮助学生掌握“化繁为简”的解题方法。二是烙5张饼可以转化成“2+3”的“转化”方法。三是先由双数、单数分开研究，层层推进，符合学生的认知水平；再观察表格发现规律；最后用发现的规律去解决更多的实际问题，举一反三，触类旁通，构建了“烙饼”最优化方法的数学模型。在培养学生的探究意识的同时重视提炼与体验不同的数学思想方法，可以加快模型的构建，提升了建模的理性高度，优化思维能力，体验有价值的数学学习过程。

二、在活动体验中渗透“模型思想”，提升思维能力

数学知识的学习需要学生亲身体验、经历建构知识点的过程。在数学活动中教师是引导者和组织者，应引导学生利用已有的知识和经验，经历“问题情境--建立模型--求解验证”的数学活动过程。不但符合课程标标准（2011年版）中模型思想的基本要求；而且也有利于学生在活动过程中理解、掌握有关知识与技能，积累数学活动经验，感悟存在于数学知识中的模型思想方法。这一过程更有利于学生思维能力的提升。［1］

案例：北师版小学数学第五册《什么是周长》片段教学。教师在学生理解“围图形一周”含义的基础上，要求学生动手操作，使学生听觉、触觉、视觉等多种感官协同作用，形成对“周长”的本质属性的充分感知，为完成对“周长”特征的提取、抽象奠定基础。

活动一：摸一摸。

师：把手指当作蚂蚁也在树叶上体验一周，好不好？

（学生边摸树叶边线边说）

师：谁来摸一摸，这片树叶的边线一周是从哪儿到哪儿？（生到黑板前指一周）

师：注意看他从这一点开始，一直沿着边线指，然后又回到了这一点，他指得对吗？

生：对。……

活动二：描一描。

师：生活中有很多物体需要描绘在图纸上，你们能选一种物体也描出它外围的一周吗？

（学生描一描活动）

（学生作品展示）

师：说一说，描的时候要注意什么？（沿着外围、起点回到起点）

师：沿着物体的外围描一周，留下了一个图形。（用手势比划）树叶一周的长度是树叶的周长，数学书封面一周的长度是数学书封面的周长。

师：像这样物体表面或图形外围的一周的长度叫做周长。（板书）

上述教学片段让学生经历“摸一摸”“描一描”“概念揭示”的数学活动，充分感知体验一周，以直观形象促进对抽象的“周长”认识，符合小学生以形象思维为主的特点，这种经历“实物表象--模型表象--图形表象”的教学程序，提升和丰富学生的“一周”表象，建立了清晰的“周长”表象，有效地构建“周长”概念的数学模型。这样教学抓住事物的本质特征和规律，从感性认识到理性的升华，促使学生思维深度的提升，有效地构建数学模型。［2］

三、在巩固运用中渗透“模型思想”，拓展思维能力

数学模型来源于生活又应用服务于生活。在巩固应用时，当学生掌握了基础知识以及基本的数量关系后，尝试运用于解决实际问题，又将实际问题转化为数学问题，达到会一题通一类的效果，构建了数学模型。教师要有针对性选编一些典型的数学问题或生活实际问题，分析解决一种问题的价值不在于这个问题的本身，而在于提升解决这类问题的模型，更重要是拓展学生的思维能力。正如日本数学家米山国藏说过：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益。”［3］

例如：在教学《鸡兔同笼》一课，学生探究了“逐一列表法”“跳跃列表法”“取中列表法”“假设法”等数学思维方法，在巩固运用模型解决问题环节，笔者是这样设计的。

师：其实类似“鸡兔同笼”这种解决问题的方法，在生活中有着广泛的应用。看，在乒乓球比赛中也有这类的数学问题。

课件出示：9张乒乓球台上同时有30人正进行单打和双打乒乓球比赛。进行单打和双打比赛的球台各有几张？（注：单打指2人打，双打指4个人同时打。）

师：从题目中你知道哪些信息？

师：思考一下：可以把什么看作“鸡”，什么看作“兔”？

生：把单打看作“鸡”，把双打看作“兔”。

师：那你能用“鸡兔同笼”的方法来解决这个问题吗？

生1：9张乒乓球台相当于9个头，30人可以看成相当于有30只脚，所以用假设法是：9×4=36（人）36-30=6（人）单打球台6÷（4-2）=3（张）双打球台9-3=6（张）

生2：用取中列表法和跳跃列表法，找到单打球台有3张，双打球台有6张。

师：生活中，哪儿还有类似这样的规律呢？能举例吗？……

在巩固拓展运用中，像求球台问题、租船问题和搬运问题等，虽然不是明显的鸡兔同笼问题，但是问题本身隐藏着与鸡兔同笼问题的联系。分析当情境故事变化了所得到的数学模型思想是一样的，即原认知模型不变应数学问题形式变，不断丰富和拓展，促进对模型的内化，就领悟到了数学模型思想的价值。由解决一个典型的问题，用同样的数学思路引领相关问题的解决，即无形地渗透一种数学规律的思想。可见，模型思想不能独立存在，而是结合到具体的数学知识中，让学生经历“问题情境--建立模型--解决问题--拓展运用”的学习过程，逐步领悟的，从模糊到清晰的感悟建模过程，拓展数学思维。

［1］王光明.新版课程标准解析与教学指导小学数学［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］赵云峰.培养学生空间观念的五个策略［J］.小学数学教与学，2010（2）.

［3］钱阳辉.小学数学教学［EB/OL］.［2016-5-20］.http：//www. xxsx.cn/item.aspx？iid=4028.

（责任编辑：陈志华）