基于逆加权参数估计方法的改进型Q控制图研究

黄 虎，柯 华，王 晶

（1.同济大学经济与管理学院，上海200092；2.南开大学商学院，天津300071）

基于逆加权参数估计方法的改进型Q控制图研究

黄 虎1，柯 华1，王 晶2∗

（1.同济大学经济与管理学院，上海200092；2.南开大学商学院，天津300071）

传统Q控制图直接用样本数据来估计未知的过程参数，由于这些估计值容易受到初始阶段偏移的影响，这使得其对该阶段的偏移检出力不强.对此，本文提出了一种逆加权参数估计方法，并将其应用到Q控制图中，提出了逆加权Q控制图.另外针对改进后控制图对小偏移检测不灵敏的缺点，提出了EWMA—逆加权Q控制图.进而通过MATLAB仿真对传统Q控制图，逆加权Q控制图以及EWMA—逆加权Q控制图的ARL进行了比较，结果表明逆加权Q控制图和EWMA—逆加权Q控制图的性能要远远优于传统Q控制图.

统计过程控制；Q控制图；逆加权参数估计；EWMA—逆加权Q控制图；Monte Carlo仿真

1 引 言

控制图是实现统计过程控制（statistical process control，SPC）的重要工具，广泛应用于对过程质量的监控.传统控制图例如休哈特控制图，CUSUM控制图以及EWMA控制图等均假设过程均值和方差已知.然而实际应用中，特别是在生产初始阶段和小批量生产环境下，有些参数往往是未知的.所以在构建传统控制图时，首先需要采集受控阶段的样本对未知的过程质量特性参数进行估计，然后用参数的估计值构建控制图来对第二阶段进行监控.如果缺乏足够的样本，所构建的控制图虚发警报的概率将会大大增加［1］.另外，参数估计的准确与否，直接决定了控制图性能的好坏，因此控制图的参数估计问题逐渐受到人们的重视，并且越来越多的学者开始关注这个领域［2-6］.

自启动控制图是解决这个问题最好的方式.Hawkins［7］最早提出了用移动平均值来估计过程均值的控制图.Quesenberry［8-10］在上世纪九十年代提出了Q控制图，它只需要很少的样本就能实现监控，但其对初始阶段偏移检测不灵敏的缺陷，大大限制了它的应用.因此，Castillo等［11］提出了基于EWMA控制图的EWMA-Q控制图和自适应卡尔曼滤波法的Q控制图，提升了Q控制图检测小偏移的灵敏度.Zantek［12］用数学推导的方法对Q控制图在检测不同偏移的平均运行链长（ARL）的分布进行了研究.后来，Wu［13］，Li［14，15］等人将Q控制图与CUSUM控制图结合提出了自适应CUSUM-Q控制图，一定程度上优化了Q控制图检测小偏移量的性能.另外Celano［16］，Kazemzadeh等［17］在EWMA控制图和Q控制图的基础上，提出了EWMA-t控制图.在国内，李韶华等［18］将可变抽样区间的均值控制图（VSI control chart）与Q控制图相结合构建了VSIQ控制图，使得即使在缺乏样本数据情况下也能对生产过程进行监控，而且还能快速检测出生产过程中的异常.崔敬巍等［19］提出了基于贝叶斯预测理论的改进型单值Q控制图.以上改进都通过将Q控制图与其他方法结合的方式来提高Q控制图检测小偏移量的能力，很少涉及Q控制图本身.朱令娴等［20］提出基于差分递减权系数的加权Q控制图，首次对Q控制图的参数估计方法进行改造，并取得了很好的效果.

基于过程建模的思想，本文提出了一种全新的逆加权参数估计方法，其大大减小了偏移对过程参数估计值的影响.并将新估计方法应用到Q控制图中，提出了逆加权Q控制图和EWMA—逆加权Q控制图，很大程度的提高了Q控制图性能.文章首先探讨了基于过程建模思想的逆加权参数估计方法，并对新提出的估计方法的无偏性和鲁棒性进行了证明.在此基础上，将新的估计方法应用到对过程均值的估计上，并给出在过程均值未知，方差已知情况下的Q统计量.另外针对改进后控制图检测小偏移不灵敏的缺点，提出了EWMA—逆加权Q控制图.进而通过Monte Carlo仿真分析方法，对传统Q控制图以及两种改进型Q控制图的ARL进行了对比研究.

2 逆加权估值方法

在小批量生产环境下以及生产过程初始阶段，很难获得过程均值的信息，所以就需要用样本数据对过程均值进行估计.而Q控制图就是直接使用样本的移动平均值来估计过程均值，所以只需要很少的样本就能实现监控.但如果初始阶段发生了偏移，作为过程均值估计的移动平均值也会发生同方向偏移，这就造成初始阶段发生的偏移很难被检测出来，且发生偏移时间越早，越难被检测出来.对此，本文提出了用移动平均值的均值来作为过程均值的估计，本质上是一种逆向加权估值方法.根据EWMA控制图的思想，在加工过程中距今越近的观测值反映当前过程质量信息越多，距今越远的观测值代表着更多的过程本身的信息.因此，在估计过程均值时，距今越远的观测值，其在过程参数的估计中所占的权重就应该越大.另外，从Q控制图ARL的分布［12］可以看出，如果一次抽样后又连续抽样了n次，且均未检测出异常，n越大，就可以断定系统当时处于正常状态的概率也就越大，因为如果出现了异常，且连续n次还未被检测出来的概率很小.因此，如果观测值距今越远，且至今未被检测出异常，说明当时系统处于正常状态的概率越大，所以在对过程均值进行估计时，其所占的权重也应该越大.而越靠后的观测值，因为还没有足够的证据证明其未发生偏移，所以其权重应该越小.同时，使用这种逆向加权的方法来估计过程均值，还可以减小过程偏移对参数估计的影响.

传统Q控制图都用移动平均值来估计过程均值

而本文将采用移动均值的均值作为过程均值的估计量

假设过程均值为µ0，则有

因此新估计值是过程均值的无偏估计量.

当过程均值发生偏移时，估计值也会发生同方向偏移.假设生产过程中，从开始到第m次抽样时系统正常，从第m+1次抽样开始，过程均值发生偏移量为δσ的永久性偏移，方差不变.当发生偏移前，即当i≤m时，

当发生偏移后，即当i=m+j（j=1,2,3,...）时，

则移动均值估计量的期望值为

加权估计量的期望值为

显然

3 Q控制图的改进

为了解决生产过程刚启动时以及多品种小批量生产环境下的质量控制问题，Quesenberry［8-10］于上世纪九十年代提出了Q控制图.其将服从同一总体分布的质量特征值进行变换，并计算相应分布的统计概率，然后利用Fisher的经典概率积分变换定理将统计概率值转化成服从标准正态分布的变量，从而得到一种标准化控制图，其中心线和控制限分别为UCL=+3,CL=0,LCL=-3.Q控制图可分为计数Q控制图和计量Q控制图.计数Q控制图又包括统计合格品率的二项分布Q控制图和统计个数的泊松分布Q控制图.计量Q控制图中，根据过程参数µ和σ是否已知，又分为过程均值µ和σ均已知；过程均值µ未知，σ已知；过程均值µ已知，σ未知；过程均值µ和σ均未知四种情形.本文主要考虑第二种情形即过程参数µ未知，σ已知，并假设过程均值服从正态分布，即.传统Q控制图用i作为过程均值的估计，其Q统计量为

所以，使用新估计值后的Q统计量为

同时针对传统Q控制图对小偏移量检出力不足的缺点，本文将EWMA控制图的思想引入新Q控制图中，提出了EWMA—逆加权Q控制图.

令

则有

因为

所以，当过程均值未知，方差为σ0，EWMA—加权Q控制图的Q统计量为

在实际应用中，一般每组抽取的样本容量均为n，当n=1时，为单值Q控制图.

4 仿真实验

平均运行链长（average run length，ARL）反映了控制图在监控过程中误发和漏发警报的风险［21］.其分为受控时的ARL和失控时的ARL.受控时ARL是指控制图从开始进行控制直到第一次发出警报为止所经历的平均抽样次数.显然，为了减少误发警报的风险，受控ARL应该越大越好.失控时ARL是指从生产过程失控开始到第一次发出警报所需要的平均抽样次数.相反，为了减小漏发警报的风险，失控时ARL应该越小越好.因此，ARL成为了评价控制图性能最好的指标［22］.

通过蒙特卡洛仿真的方法，用MATLAB来模拟生产初始阶段过程均值发生不同偏移的情形，然后计算各种情形下改进Q控制图，传统Q控制图以及参数已知的Q控制图的ARL.

实验步骤：

步骤1假设生产过程开始后从第m+1次抽样开始发生偏移量为δσ的永久性偏移，本次实验每次抽样样本量n=5，偏移发生时段m=｛5,10,20,30｝，偏移量δ=｛0,0.5,0.8,1,1.2,1.5,1.8,2,2.5,3｝.

步骤2用MATLAB模拟各种情形下的生产过程，然后分别使用三种控制图对生产过程进行监控，并记录每种控制图的运行链长.

步骤3为了能够准确估计各种情况下每个控制图的ARL.每一组参数（m,）进行5 000次试验，然后计算各种控制图的ARL.本次实验取EWMA-Q控制图的加权系数λ=0.1.

为了方便比较，令各种控制图漏发警报的概率相等且均为0.27%，此时受控时ARL=370.运行结果如表1.

从运行结果可以看出，在虚发警报风险相同的情况下，对于过程初期出现的偏移，特别出现在m=5,10时，两种逆加权Q控制图的检出速度要显著优于传统Q控制图.对于一些偏移量在1.5σ0以下的微小偏移，EWMA—逆加权Q控制图的性能要显著优于另外两种控制图，其检出速度要比传统Q控制图提升了几倍甚至几十倍.例如对于从第5次抽样后出现的1σ0的偏移，传统控制图平均需要207组样本才能检测出来，逆加权Q控制图平均也需要近75组，而EWMA—逆加权Q控制图平均只需要近7组，检出速度提升了几十倍；对于从第10次抽样后出现的1.2σ0的偏移，传统控制图平均需要46组样本才能检测出来，逆加权Q控制图平均也需要6组左右的样本，而EWMA—逆加权Q控制图平均只需要3组左右的样本.

由于EWMA—逆加权Q控制图中当前权重λ+（1-λ）i会随着抽样次数增多而逐渐减小，而参数估计值会逐渐趋于稳定，所以对于后期发生的较大的偏移，其检测灵敏度反而会下降.所以造成运行结果中在m=30后发生较大偏移时的ARL均大于对应的m=20时的ARL.但随着样本的增大，（1-λ）i会逐渐趋于零，EWMA—逆加权Q控制图会逐渐趋近于传统EWMA控制图.

表1 三种控制图的ARL对比表Table 1 ARL values for the three control charts

虽然对于后期发生的较大偏移，传统控制图和逆加权Q控制图要优于EWMA—逆加权Q控制图，综合来看，EWMA—逆加权Q控制图在过程初期的性能要优于逆加权Q控制图和传统Q控制图.

5 结束语

本文首先探讨了基于过程建模思想的逆加权参数估值方法，对新提出的参数估值方法的无偏性以及鲁棒性进行了证明.并将新的均值参数估计方法应用到Q控制图上，提出了逆加权Q控制图.并针对改进后逆加权Q控制图对初期小偏移量检出力不强的缺点，提出了EWMA-逆加权Q控制图，进而通过Monte Carlo仿真分析方法，对传统Q控制图，逆加权Q控制图和EWMA—逆加权Q控制图在各种状况下的平均运行链长（ARL）进行了对比分析，结果表明采用新参数估计方法的逆加权Q控制图和EWMA—逆加权Q控制图对异常的检出速度要优于传统Q控制图.

但是，由于关于逆加权Q控制图的研究还处于起步阶段，仍然存在很多的不足，未来可以从以下方面做进一步研究和完善.首先，虽然仿真实验已经证明了逆加权方法的可行性和有效性，但关于权重选择的理论依据以及是否存在更好的逆加权方法等还需要进一步研究.其次，可以将前人对Q控制图的改进应用到新Q控制图上，例如与CUSUM控制图，可变抽样区间等思想结合，从而进一步提升控制图的性能.

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Improved Q chart based on inverse weighted parameter estimation

Huang Hu1，Ke Hua1，Wang Jing2∗
（1.School of Economics and Management，Tongji University，Shanghai 200092，China；2.Business School，Nankai University，Tianjin 300071，China）

Traditional Q charts estimate the unknown parameters through the process samples directly. The estimated parameters，however，are often susceptible to the initial shift.Such impacts make Q charts insensitive to the shift in the initial stage.Thus，in this paper，a novel inverse weighted parameter estimation method is proposed.Meanwhile，the unbiasedness and robustness of this new method is proved.Moreover，an inverse weighted Q chart and an EWMA-inverse weighted Q chart are presented based on the new method.A comparison among the traditional Q Chart，the inverse weighted Q Chart and the EWMA-inverse weighted Q Chart is conducted by MATLAB simulation.The results demonstrate that the performance of the modified Q charts is superior to the traditional one.

statistical process control；Q chart；inverse-weighted parameter estimation；EWMA-inverse weighted Q Chart；Monte Carlo simulation

TP273

A

1000-5781（2016）04-0568-07

10.13383/j.cnki.jse.2016.04.014

黄 虎（1990—），男，湖北恩施人，硕士生，研究方向：统计过程控制，质量管理，智能算法，不确定多层规划等，Email：huanghu0213@163.com；

柯 华（1979—），男，浙江台州人，博士，副教授，研究方向：随机过程，不确定规划，智能算法，不确定多层规划，项目进度优化与管理等，Email：hke@tongji.edu.cn；

王 晶（1982—），女，河北石家庄人，博士，讲师，研究方向：质量管理，统计过程控制，响应曲面，稳健性设计等，Email：wangjingteda@nankai.edu.cn.

2014-01-18；

2014-09-04.

国家自然科学基金资助项目（71371141；71001080；71302016）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（NKZXB1164）.

*通讯作者