浅谈最优化方法在数学建模中的应用*

黄青群

（河池学院 数学与统计学院，广西宜州546300）

浅谈最优化方法在数学建模中的应用*

黄青群

（河池学院 数学与统计学院，广西宜州546300）

文章介绍了数学建模的含义、起源、发展及建模过程，还有最优化方法的相关理论，最后研究了最优化方法在数学建模中的具体应用。

数学建模；最优化方法；优化算法

一、什么是数学建模

（一）数学建模的含义

从上个世纪40年代出现第一台计算机开始，短短的几十年，计算机技术得到了快速发展，数学的重要性也随之在工程技术以及自然科学等领域逐步体现。目前，数学正在以惊人的速度和深度向金融、建筑、地质、管理、证券、生物、人口、环境、交通等新领域渗透，有专家在相关文献中说到：数学技术已经在当代高新技术中充当一个重要角色，必然会给当代高新技术的快速发展注入新的动力。

数学模型从本质上说是一种现实模拟，用户以数学符号、数学公式、算法、图形、表格等形式对实际问题的本质属性进行抽象和简化，其主要目的大概有三个方面：（1）以直观形象的方式解释某些客观现象；（2）预测事物在未来的发展规律；（3）在某种意义下提供控制某一现象发展的最优策略或较好策略。数学建模就是通过计算得到的数据来诠释实际问题，并且在实际应用中检验该结果，进而建立数学模型的全过程。用户定量分析和研究一个实际问题有一些前提要求和步骤，就是首先要进行深入调查研究对象进而了解对象的具体信息，接着作出简化的假设，然后分析对象的内在规律等，最后一步是用数学符号和语言建立数学模型。

（二）数学建模的起源和发展

早在20世纪60和70年代数学建模就已经在西方一些国家初次出现，而在中国出现的稍晚，大概在80年代初期中国的几所大学将其引入课堂。经过二十多年的发展，中国高校中绝大多数本专科院校都开设了各种各样的数学建模讲座和课程［1］，开拓了一条培养学生利用数学方法分析和解决实际问题能力的良好途径。

1985年，首届大学生数学建模竞赛在美国诞生。经过一些从事数学建模教育的教师的精心组织和积极推动，1989年，中国有几所大学的学生首次参加美国的数学建模竞赛，而且大学生的参加竞赛的积极性也越来越高。数据显示，近几年来中国数学建模有了快速发展，参加数学建模竞赛的学校数量以及组队数量越来越大。可以说，数学建模竞赛是诞生在美国、开花、结果在中国。

1992年，10个城市的大学生数学模型联赛由中国工业与应用数学学会组织举办，其中参赛单位有74所院校共计314个参赛队。教育部的领导目光长远，大力扶持、精心培育了这一新生竞赛，从1994年起，全国大学生数学建模竞赛由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办，每年一届。

（三）数学建模的建模过程

数学建模的建模过程可以归纳为以下几个步骤：

1.数学建模模型的前期准备工作

作者在建模前就要做一些准备工作，比如：了解需要处理问题的实际背景以及现实意义，尽可能多的掌握处理对象的各种相关信息；接着用数学思想来分析问题的最本质的内在联系，把数学思维与问题的全过程充分结合；最后用以数学语言的形式来描述具体问题，并且所描述的结果有具体的要求：首先是符合数学理论和习惯，其次是清晰准确。

2.对数学建模模型进行假设

作者要充分了解问题中实际对象的具体特征，明确建模的目的，对问题进行抽象和简化，用精准的语言做出符合要求的假设。

3.数学建模模型的建立

在已经进行合理假设的情况下，就可以建立数学建模模型，具体操作步骤如下：首先采用恰当的数学公式、算法、表格以及图示等工具来表征各变量及常量之间的数学关系，然后根据数学关系采用尽可能简单的数学工具来建立相应的数学模型。

4.数学建模模型的求解

充分利用前面采集到的数据信息，用数学思维方法对模型所列举的全部参数进行计算或者近似计算；如果通过高性能的计算机参与计算效果会更好，可以提高计算的效率和精度。

5.数学建模模型的分析

撰写数学建模模型的分析报告，叙述建立模型的具体思路和具体方法，从数学的角度详细分析前面所得的结果是否科学合理。

6.数学建模模型的检验

数学建模模型应具有一定的准确性、适用性和合理性，可以通过比较模型分析结果和实际情况进行验证。如果模型与实际情况基本吻合，则描述计算结果的实际意义，并在不容易理解的地方还要进行各种各样的解释。如果模型与实际相差甚远，那么就应该对假设进行修改，然后再次重复前面的建模过程。

7.数学建模模型的应用与推广

不同的问题特性和不同的建模目的对应不同的模型应用方式，模型的推广即在现有模型的基础上，通过更加全面的考虑，建立一个更符合现实情况的模型。

二、什么是最优化方法

最优化方法，也称做运筹学方法，是数学的一个分支，是在上个世纪第二次世界大战前后逐步形成的一门学科。最优化方法最核心的内容是通过运用数学方法来对各种系统的优化途径以及方案进行研究，为决策者提供科学决策依据，以便做出科学合理的决策。最优化方法的主要研究对象是形式多样的有组织系统的管理问题以及生产经营活动。最优化方法的目的是为所研究的系统，找出一个最优方案，此方案能最大限度地保障人力、物力和财力三者协调运用的合理性，尽可能去发挥和提高此系统的效益及效能，最终实现此系统的最理想目标。现实生活中的各种事情说明，在科学技术的日益先进和生产经营的日益完善的趋势下，最优化方法已经充当现代管理科学中重要理论基础的角色，也是现代管理科学中不可或缺的方法，而且在经济管理、项目规划、交通设计、生态建设等各个领域得到广泛的应用，发挥着不可取代的巨大作用［2］。

从数学角度上来说，最优化方法的本质就是一种求极值的方法，具体的说就是在一组约束条件为等式或者不等式的情形下，使得系统的目标函数要么达到最大值，要么达到最小值。从经济角度上来说，有两种情形：（1）是在一些客观的资源条件下，比如：人力、财力、物力等等，产生最大的经济效益，比如：利润最大或者产值最高；（2）如果生产或者经济任务是预先固定的，让投入的人力、财力和物力等资源支出减到最少，换句话说，这种情形就相当于节约成本。

以最优化方法对实际问题进行求解，大概可以按下面五个步骤进行：

1.明确最优化问题是什么，尽量多收集与问题相关的一些数据以及资料；

2.建立最优化问题的数学模型，即找出具体变量，还需列举目标函数和约束条件；

3.分析建立好的数学模型，找出符合要求的最优化方法；

4.对问题进行求解，目前普遍做法是先用一种程序语言来编写程序，然后在计算机运行，从而求得最优解；

5.对最优解进行检验和实施。

实际问题错综复杂，前面五个步骤也涉及到很多因素，它们是相互支持同时也相互制约，几十年的实践证明这种五个步骤不是线性的，它们经常需要反复交叉进行。

三、最优化方法在数学建模中的应用

总的来说，数学建模就是将实际问题进行整理、分析、假设等手段后得到数学模型，通过求解数学模型得到最优解决方案。众所周知，数学模型的求解过程是一个既关键又困难的过程，而很多数学模型都是最优化模型，即在一定的约束条件下，求目标函数的最优解。最优化方法就是一种求解最优化问题的方法，它提供了不同算法来解决各种各样的优化问题。

最优化模型有三要素，就是目标函数、变量和约束条件：（1）目标函数：评价任何一个事物好不好，首先要有一个评价标准，也不例外；目标函数就是对问题的最优化评价标准的数学描述；目标函数非常多，比如：系统功能的函数、费用的函数等等。但所有函数必须满足一个规则：在满足规定的约束条件下得到最大值或最小值。（2）变量是指最优化问题中将要确定的一些参数。（3）约束条件就是在求解最优解时对变量提出的一些限制，主要有几个方面：比如时间上的约束、资源上的约束和技术上的约束等等；要想求得的系统最优解越接近实际最优解，就必须让列出的约束条件越接近实际系统，两者关系是密切相关的。

最优化模型的一般形式如下：

其中x=（x1，xn）T∈Rn是决策变量，f（x）是目标函数，gi（x），hj（x）分别是不等式约束和等式约束函数。最优化模型根据目标函数和约束函数的特性可分为不同类型的问题，如线性规划问题、非线性规划问题、均衡约束问题、整数规划问题、目标规划问题、动态规划问题等等。最优化问题和最优化方法求解两者是多对多的关系，一种最优化问题可以用一种或者多种最优化方法求解，反过来，某种最优化方法可对一种或者多种不同类型的最优化问题进行求解。

线性规划问题、非线性规划问题和无约束规划问题都可以利用Matlab中的优化工具箱来求解。例如

1.使用Matlab求解线性规划模型：

可使用命令linprog，调用格式如下：

其中X为n维向量，Ceq（X）与G（X）皆为非线性函数组成的函数。可以使用fmincon函数，其命令格式为：

x=fmincon（'fun'，X0，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB）。

传统优化方法以及前面讲到的处理方法在优化模型规模较大或复杂性较高有些情况下是不能取得令人满意的效果。优化模型规模较大或复杂性较高有以下几个方面：（1）优化模型中夹杂某些很复杂的非线性函数；（2）数据需要预先进行拟合预测；（3）优化模型包含了随机变量；（4）需要对优化模型按分类进行鉴别。在优化模型规模较大或复杂性较高的情况下，就可采用最优化理论的非经典算法进行求解。最优化理论的非经典算法包括神经网络、遗传算法、模拟退火算法、蒙特卡罗算法和支持向量机方法。

神经网络算法主要原理是首先明确不同输入参数间的依赖关系，再以比较高的精度尽量逼近复杂的非线性函数，然后从大量数据当中进行总结，找出一些基本规律。人工神经网络算法对非线性关系很复杂的数据进行拟合并估计相关参数这方面有独到之处。此算法的拟和序列不但能够模仿复杂的分段函数和非线性函数，而且不需要预先假定数据之间存在某种类型的函数关系，这样可以显著地提高信息的使用效率。另外，人工神经网络算法在模式识别、鉴定、分类等方面有广泛的应用。

模拟退火算法和遗传算法属于全局优化搜索算法，它们在组合优化问题方面有着很大的适用性，在数学建模中的优势主要在于解决规模比较大复杂性较比高的问题。这两种算法在现实当中也有一些应用，比如：CUMCM2000年B题“钢管订购和运输”可建立非线性规划模型，如果用传统优化算法进行求解会很困难，但采用遗传算法求解则相对容易些；CUMCM2002年B题“彩票中的数学”：有建模者依据效用理论中的主观概率以及彩票信息在人群中的传播效应，很快制定了确定“更好”方案，这方案就是建立了三个规模较大并且很复杂的非线性规划模型，这种情况下，可采用模拟退火算法取得全局最优解［3］。

在建模过程中，有时会构建随机规划模型。例如CUMCM2005年D题“DVD在线租赁”问题，此时可用蒙特卡罗方法。

支持向量机算法比较适用于样本有限的情况，它的原理是尽量提高学习机泛化能力，使得经验风险和置信范围的最小化，最终为了达到在统计样本量比较少的情况下，能够获得比较好的统计规律的目的，而要取得前面的效果的主要途径是通过找寻结构化风险最小来实现的。

除此之外还有蚁群算法，它是一种用来在图中寻找优化路径的机率型算法。

综上所述，最优化理论与数学建模之间的关系是紧密相连的，数学模型来源于生活和实践，所建立的模型会越来越庞大复杂，因为实践中的各种问题经常是多种多样且可能会随时变化的。所以，一个好的数学模型的建立，有利于用最优化理论解决实际问题，经常会给实际问题带来突破性的进展。

［1］王玉英，史加荣，王建国，等.数学建模及其软件实现［M］.清华大学出版社，2015.

［2］袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法［M］.科学出版社，1997.

［3］徐庆娟，韦程东.浅谈数学建模过程中优化模型的处理方法［J］.广西师范学院学报：自然科学版，2010，27（2）：102-105.

This paper introduces the definition，origin，development and modeling process of mathematical modeling.And then the relevant theories of optimization method are introduced.Finally，the application of optimization method in mathematical modeling is studied.

mathematical modeling；optimization method；optimization algorithm

G642

A

2096-000X（2016）21-0118-03

河池学院教改课题（编号：2014EB019）

黄青群（1980-），女，汉，广西梧州人，河池学院数学与统计学院讲师，硕士，主要研究方向：优化理论与算法。