量子网络实现最优1→3相位协变量子克隆

张文海，张月

（淮南师范学院电子工程学院，安徽　淮南　232038）

量子网络实现最优1→3相位协变量子克隆

张文海，张月

（淮南师范学院电子工程学院，安徽淮南232038）

利用最简单的两种量子逻辑门，即：量子旋转门和量子控制非门构成的量子网络实验量子克隆。选择不同的参数，量子网络可以实现最优1→3相位协变量子克隆。由于所采用的是普适的单比特逻辑门，这为不同的物理系统实现相位协变量子克隆提供了通用的方法。

量子网络；量子旋转门；量子控制非门；相位协变量子克隆

1　引言

量子信息科学是量子力学和信息科学的结合，量子信息学的研究是利用量子力学基本原理，发挥量子相关特性的作用，用一种新的方式进行计算，编码和信息传输。目前，无论在理论上还是在实验上，量子信息的研究都在取得新的进展，已经发展成为内容十分丰富的新学科①郭光灿：《量子信息科学在中国科学技术大学的兴起和发展》，《物理》2008年第2期，第556-561页。。它包括量子计算，量子信息，量子通信和量子博弈等。在量子信息中，利用量子力学基本原理构建的量子算法已经显示出经典算法上无法比拟的优越性。而且，也使得在量子力学中出现许多新颖的问题和有趣的应用。在经典信息科学中，最基本的单元是逻辑门，有一位逻辑门和二位逻辑门。同样，量子信息学中，最基本的单元是量子逻辑门。经典和量子逻辑门的本质区别是，量子逻辑门是可逆的，这就解决了经典计算机的能耗问题②李艳玲：《量子态克隆、翻转及隐形传送的理论研究》，聊城大学硕士学位论文，2007年。。对于量子信息的操作，可以利用由基本量子逻辑门组成的量子网络来完成，因而，对量子网络的研究是量子信息中的一个基本研究方向。

众所周知，经典信息可以被精确的复制。而量子信息学中有一个基本定理，即：量子不可克隆定理③Wootters W K，Zurek W H，"A single quantum cannot be cloned"，Nature（London），1982，299，pp.802-803.，它指出：未知量子态不能被精确的复制。这使得量子信息学完全迥异于经典信息学。但是，对未知量子态可以以一定的相似度复制。或者说，复制未知量子态的相似度的最大上限有多大，这就是量子信息学中的量子克隆理论④Scarani V，Iblisdir S，Gisin N，Acín A，"Quantum cloning"，Rev.Mod.Phys.2005，77，pp.1225-1256.中的一个基本研究方向。最早提出由一个未知量子态复制成两个量子态的量子克隆机⑤Βuzek V，Hillery M，"Quantum copying：Beyond the no-cloning theorem"，Phys.Rev.A 1996，54，pp. 1844-1852.，被称为最优1→2普适量子克隆机。而后，量子克隆理论得到了深入的研究⑥同④。。

本文根据以往的文献⑦Dai Jie-Linand Zhang Wen-Hai，"A quantum network for implementation of the optimal quantum cloning"，Chin.Phys.B，vol.18，No.2，2009，pp.426-429.Wen-Hai Zhang，Liu Ye"，Optimal asymmetric economical state-dependent cloners"，Opti.Comm.2009，282，pp.2650-2655.设计的量子网络，实现最优非对称1→3相位协变量子克隆。量子网络是由最简单的量子旋转门和控制非门构成，通过求解参数，量子网络可以实现最优非对称1→3相位协变量子克隆①Wen-Hai Zhang，Liu Ye，"Optimal asymmetric economical state-dependent cloners"，Opti.Comm.2009，282，pp.2650-2655.。

2　量子逻辑门和量子克隆

量子逻辑门是量子计算机的基本构成部件，它的性能直接关系到量子计算机的特性，因此成为了量子信息研究的热点问题。与经典计算机中逻辑门不同的是，它对应于数学上的一个幺正变换矩阵。

经典计算机中的信息用0和1表示；量子信息中的信息则用量子态|0〉和|1〉表示。量子逻辑门的种类，按其作用的量子比特的数目，可分为单比特、二比特和三比特逻辑门等②李艳玲：《量子态克隆、翻转及隐形传送的理论研究》，聊城大学硕士学位论文，2007年。。其中，最基本的是单比特和二比特逻辑门。

与经典逻辑门中的非门对应，量子情况下的非门表示为：

它作用在量子比特和，可以得到：

σx|0〉=|1〉，σx|1〉=|0〉（2）这可以称为量子比特的翻转。第二个量子逻辑门为：

这个量子逻辑门的特征是引起比特翻转且附加了π相位。第三个量子逻辑门为：

它对基|1〉的操作引入了附加π相位，称为相位门。本质上，这三个量子逻辑门是Pauli算符。为了单比特量子逻辑门的完备性，还引入了恒等变换

这个逻辑门本质上什么都不做。将四个独立的单比特量子逻辑门可以写为更通用的量子逻辑门，称为量子旋转门，定义如下

二比特量子逻辑门中，控制非门是非常重要的量子逻辑门。取第一个比特为控制比特，第二个比特为受控比特。当控制比特为|1〉的时候，受控比特取非；当控制比特为|0〉的时候，受控比特不发生变换。它的作用形式为：

上式中，k是控制比特，l是受控比特。用矩阵形式来描述控制非门为：

单比特量子旋转门和二比特控制非门是量子逻辑门中最基本的逻辑门，利用两种基本量子逻辑门可以设计不同的量子网络，以实现不同的量子计算。

既然精确的克隆是不可能的，那么研究近似克隆就成为必要。对离散变量的量子态，若输入态的信息完全未知，就克隆称为普适量子克隆③Βuzek V，Hillery M，"Quantum copying：Beyond the no-cloning theorem"，Phys.Rev.A 1996，54，pp.1844-1852.。在2维空间中，任意未知输入量子态可表示为

其中a和β是复数，满足|a|2+|β|2=1。当未知输入态被作用如下幺正变换：

在幺正变换中，下标号1表示需要复制的任意未知量子态|Ψ＞1；下标号2表示已知的空白态，类似经典计算机中的白纸；下标号a表示已知的辅助量子态。经过复制后，输出量子态可以用密度矩阵表示为：

由于幺正变换是对称的，即：互换1和2的基不改变幺正变换。于是，可以得到拷贝1和拷贝2具有相同的量子态密度矩阵，即：

其中Tr1，a［·］是求迹运算，表示约化掉整个系统中的1和a粒子。这样，可以得到拷贝与未知输入量子态的忠信度（相似度）

对于量子克隆的幺正变换，可以设计任意的幺正变换。但是，在所有可能的幺正变换中，给出的幺正变换能使得拷贝的忠信度最大，因而是最优的；忠信度与输入态的a和β无关，因而是普适的；这个幺正变换可以由一个未知态经过复制后得到两个拷贝。所以，这种量子克隆称为最优1→2普适量子克隆。

对于量子态的振幅已知，而相位未知的量子态的克隆，称为相位协变量子克隆。它的输入态可以表示为：

其中φ∈［0，2π）未知。最优经济型1→3相位协变量子克隆的幺正变换为①Bruss D，Cinchetti，D'Ariano M，et al，"Phase-covariant quantum cloning"，Phys.Rev.A 2000，62，12302. Hang Fen，Imai H，Matsumoto K，et al，"Phase-covariant quantum cloning of qudits"，Phys.Rev.A 2003，67：022317.：

这个幺正变换不需要辅助系统，所以称为经济型克隆机。经过简单计算，可以得到三个拷贝的忠信度为：

在文献②Wen-Hai Zhang，Liu Ye，"Optimal asymmetric economical state-dependent cloners"，Opti.Comm，2009，282，pp.2650-2655.中，考虑一种最优非对称的相位协变量子克隆，它的幺正变换为

上式中，克隆系数a1，a2，a3∈（0，1）满足=1。三个拷贝的忠信度分别为：

这说明，要复制的量子态的信息完全转移到第三个拷贝上了。在下一部分，利用量子网络来实现这个幺正变换。

3　量子网络实现最优非对称1→3相位协变量子克隆

本文采用文献③Dai Jie-Linand Zhang Wen-Hai，"A quantum network for implementation of the optimal quantum cloning"，Chin. Phys.，Vol.18.No.2，2009，pp.426-429.Wen-Hai Zhang，Liu Ye，"Optimal asymmetric economical state-dependent cloners"，Opti.Comm.2009，282，pp.2650-2655.的量子网络。这个量子网络包括两个部分：（1）初态制备过程；（2）量子克隆过程。量子网络图形如下。

图1　最优经济非对称1→3相位协变量子克隆网络

初态制备过程可以表示为：

需要实现最优非对称1→3相位协变量子克隆，这要求克隆系数选择为a0=0，a1，a2，a3∈（0，1）满足。这就有方程组：

量子克隆过程可以表示为：

求解方程组，可以得到以a1和a2为参数的解

从本文量子网络实现最优经济型非对称1→3相位协变量子克隆机的过程可以看出：量子网络不仅可以如经典计算机一样可以进行量子计算，也可以进行量子信息的处理。由于量子旋转门和量子控制非门是量子逻辑门中的最重要的基本单元，能够在具体的物理系统中实现两个基本量子逻辑门，就可以按照量子网络实现真实环境下的量子信息处理。

4　总结

本文利用量子网络实现最优经济型非对称1→3相位协变量子克隆机。通过选择不同的参数，可以使得初态的量子信息在三个拷贝中的相互转移。在不同的物理系统下能够实现量子旋转门和控制非门，就可以按照已经给出的量子网络实现最优经济型非对称1→3相位协变量子克隆机。

A network to implement the optimal asymmetric 1→3 phase-covariant quantum cloning

ZHANG Wenhai，ZHANG Yue

By exploring two basic quantum logic gates，i.e.，the quantum rotation and the controlled-not gates，a network is used to implement quantum cloning.Choosing different parameters，the network can implement the optimal asymmetric 1→3 phase-covariant quantum cloning.

Quantum network；quantum rotation gate；Quantum Control-Not gate；phase-covariant quantum cloning

O413

A

1009-9530（2016）03-0100-04

2016-01-22

淮南师范学院2015年“支持百名优秀学生课外科技实践创新活动基金”（2015XS159）

张文海（1968-），男，淮南师范学院电子工程学院副教授，博士，研究方向：量子信息。