拓展思维，简洁直观——向量法在高中数学解题中的妙用

张菁

（江苏昆山陆家高级中学）

拓展思维，简洁直观
——向量法在高中数学解题中的妙用

张菁

（江苏昆山陆家高级中学）

向量法作为当前全新的解题方法，适用于高中数学中多种类型的问题解答，具有较为广阔的实际运用范围。其中，包括空间几何、不等式、代数等数学知识点，都可将其实际运用。利用向量法解题具备有效提升解题速度、降低题目难度、增强学习效率等优势，最大程度上减少对运算能力需求、开阔学生的思维、拓展解题思路。教师在日常课堂教学中，需要有意识地引导学生利用向量法进行各类问题的解决，使其更好地掌握这种全新的解题方法。针对向量法在高中数学解题中的实际应用进行探讨，通过如何妙用向量法进行不同类型的问题解答，促使学生拓展思维，并且简洁而直观地解决难题。

向量法；高中数学；例题运用

向量法作为如今高中数学教学中的重要组成部分，利用其可快速进行高中空间几何、代数等具有较高解答难度的问题分析与解决，可促使学生有效深入向量知识之中，更好地掌握其实际运用，也可全面提升学生进行数学问题的解题思维与技巧。对此，就需要针对高中数学向量知识进行更加全面的了解，重点分析向量法在高中空间几何、平面几何与三角函数等知识与问题的实际运用，借此提升学生对高中数学题目的解答与向量知识的掌握。

一、高中数学向量的基本内容和作用

向量知识在过去数百年间一直为无数物理学家与数学家的主要研究项目，到了全新的时代中，向量已经成为一项必须的数学知识，在我国的数学教育历史中，向量知识的引入已有数十年的历史，这不仅作为高中数学知识的难点与重点，也是高考知识中的一项重要组成部分。

向量可以表示物体之间的位置所在，而包括立体几何、空间几何等知识的主要内容都是针对物体的位置与形状进行探讨，所以，向量知识也可从几何学的角度进行思考与学习。向量本身是用于描述长度的存在，可通过其进行物体的了解，包括其面积、体积、高度、宽度等，这是一项重要的几何知识基础。向量具有方向特性，可利用其表示平面、直线等内容的位置关系。在进行代数知识的学习中，涉及加、减、乘、除的运算，也可将向量融入代数运算的过程中，所以向量运算可以解决代数问题。向量本身代表一段具有方向的线段，通过其可进行实际位置的确定。在进行几何问题的解答时，几何图形所具备的性质、长度与角度的计算都需要具有方向的线段作为解题基础，同时，针对角度、直角与三角函数等内容的解答也需要使用向量知识作为运算基础。因此，使用向量法可以有效提升学生的解题效率与学习兴趣，加强高中数学知识的掌握，所以，只有真正掌握向量知识与其实际应用，才能真正帮助学生更好地提升数学解题能力，不会在视数学为愁苦的科目，而是真正地喜欢上，并愿意为自主学习。

二、向量法在立体几何中的实际运用

向量法在立体几何中的实际运用，与平面几何中的实际运用方法是相同的，不过需要增加立体几何的形态想象，也就是空间想象。这种想象会促使学生在进行过去的几何问题解决时产生一定难度与偏差，对此，需要通过向量法将立体几何问题进行简化，降低难度，以便于快速找到问题解决方案。

举例：如下图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E作为DD1的中点，而C1D1中是否存在F，可以促使B1F//A1BE，并进行相应的证明及解答。利用向量法进行问题的解决。

证明：利用点A作为坐标原点，构建坐标系，假设正方形的每条棱长为2，可得出A（10，0，2），B（12，0，2），B（2，2，0），E（0，2，1），=（-2，2，1），=（-2，0，2）。假设面BEA的法向量为=（x，y，

1z），因此·=-2x+2y+z=0，而·=0。在棱CD中假设一点

11

1100=2x（x-2）+2x=2x［（x-2）+1］=0。因此，x=1，可证明CD中20220011存在点F，即B1F//A1BE。

三、向量法在三角函数中的实际运用

通过向量法在三角函数中的实际运用，可用其证明三角函数中正余弦的两角和与差。

举例：假设cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

证明：假设（e1，e2）作为平面中的标准正交基，A、B作为平面中的单位向量，A与e1的夹角为α，B与e2的夹角为β，并且α＞A向量位于（e1，e2）中的坐标为（cosα，sinβ），向量B则位于（e1，e2）中的坐标为（cosα，sinβ），则可说明|A|=|B|=1，因此，|A|·|B|·cos（α-β）= cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ可证明，在三角函数的题目中运用向量法进行问题的解决，可以令问题更加直观与简洁，促使学生更快更高效地完成题目的解决。

利用向量法进行解题，可增强解题思维与视角多元化，促使题目更加简洁直观，令学生可以在解题中简化思维过程、最大限度地减少运算量，可以说，这正是新课程改革的需要所在，也作为学生提升自身的重要基础。同时，向量法可以实际运用的类型不仅限于上述内容，也包括三角函数的正余弦定理、函数公式等内容，都可利用向量法作为解题基础进行证明与解析，对此，教师更应当在日常教学中不断活用向量法，进行更多类型的题目讲解与训练，令学生可以以最佳的状态面对高考，也可减轻平日里学生的学习负担，是一件真正有益于学生的学习方法。

［1］黄丹妹.构造向量解一类几何问题［J］.广西轻工业，2007（6）：130，139.

［2］李绍波，覃罗江.浅议向量在高考数学中的应用［J］.河池学院学报，2007（S1）：103-106.

［3］刘八芝.向量在中学数学教学中的应用［J］.镇江市高等专科学校学报，2003（2）：93-95.

［4］王云华.渗透数学思想，培养学生数学思维：浅谈高中数学教学新视角［J］.学周刊，2011（19）：173.

［5］梁琳.试论数学教学中的“构造向量法”解题［J］.宿州教育学院学报，2006（1）：116-117.

正方体

·编辑谢尾合