基于媒体报道的SI传染病动力学模型分析

伊质斌，赵爱民

(山西大学数学系，山西太原　030006)

基于媒体报道的SI传染病动力学模型分析

伊质斌，赵爱民*

(山西大学数学系，山西太原030006)

媒体报道影响着人们对疾病的防御意识，本文基于无标度网络，针对有出生和死亡的SI模型研究意识对疾病传播的影响。通过分析模型的动力学性态，得到基本再生数R0，并证明无病平衡点的稳定性以及地方病平衡点的存在性，进一步通过数值模拟验证理论的正确性。

媒体报道；无标度网络；传染病模型；基本再生数；平衡点稳定性

到现在为止，已经有很多的模型来研究疾病的传播和控制。最初的传染病模型主要考虑易感者和染病者的接触传染，然而，还有一些其他的因素，比如媒体报道，预防接种，人口迁移等，它们同样会影响疾病的传播[1-3]。尤其是媒体报道作为大众健康信息的主要来源，能提高大众对疾病的预防认知，影响着人们行为的改变，所以在疾病传播过程的研究中考虑这一因素是很有意义的。近年来，已有一些人研究了媒体报道对疾病传播的影响。Kiss[4]在不考虑出生，死亡，迁移等因素的前提下，假设所有人都能意识到被传染的风险，但只有少数人会主动减少与染病者的接触来降低传染性，来研究信息传播对疾病暴发的影响。Misra[5]提出了由媒体激发的意识程序的累积密度(cumulative density of awareness programs)的概念，来量化媒体报道对疾病传播的影响，并把它考虑在一个有常数迁入与死亡的随机混合模型中，来研究媒体报道对疾病传播的影响。然而，随机混合模型常常假定均匀随机混合，即将人群看成是均匀混合的，所有个体接触是等可能的。事实上，人类接触过程中，不可能是均匀碰撞的过程，不同的人在单位时间内接触的人数可能是完全不同的，因此需要延伸到网络上来研究媒体报道对疾病传播的影响[6]。例如，Yuan[7]引入Misra的“由媒体激发的意识程序的累积密度”概念和Liu[8]的方法，把易感者分为具有警觉意识和没有警觉意识两种类型，建立了有出生与死亡的网络传染病模型

这里θ表示任意一条边指向染病节点的概率，p(k)表示任选一个度为k的节点的概率，ρk表示度为k的染病节点的密度。

Yuan[7]认为有意识的人永远会保持警觉性，也不会被染病。事实上这只是一种极端情况。一般情形是:有警觉意识的人也可能会被传染；随着时间的推移，有意识的人可能由于疏忽大意而变成无意识的易感者。基于这样的考虑，本文在无标度网络上考虑比系统(1)更加复杂的模型，建立SI传染病模型，并分析模型的动力学性态，得到基本再生数，并证明无病平衡点的稳定性以及地方病平衡点的存在性，最后做了相应的数值模拟。

在具有N个节点的无标度网络中，每个节点恰被一个个体(无意识的易感者、有意识的易感者、染病者)占有或是空节点。Nk表示度为k(k＝1，2，…，n)的节点数，Sk、Xk、Ik、Ek分别表示度为k(k＝1，2，…，n)的无意识的易感者、有意识的易感者、染病者、空节点的数量，且满足Sk+Ik+Xk+ Ek＝Nk。我们假设出生只能发生在空节点上，出生率为b，且新生儿全部为易感者。如果一个个体死亡，则该个体所占节点变为空节点。本文只考虑自然死亡，死亡率为μ。无意识的易感者和任何一个染病者接触且被传染的概率为λ1，有意识的易感者和任何一个染病者接触且被传染的概率为λ2。由于有意识的易感者会采取预防措施来降低被传染的可能，所以λ2<λ1。 无意识的易感者受媒体影响转变成有意识的易感者的概率为ν。有意识易感者由于警惕性降低等原因，变为无意识的易感者的概率为α。这里所有参数均属于区间[0，1]。

与文献[7]一样，由媒体激发的意识程序的累积密度M满足

在文献[7]中，G有如下两种情形:一种是G为常数，另一种是G与染病者数成正比。在本文中，我们考虑一些乙类传染病，如乙肝，艾滋病等，媒体只对其进行常规报道，从而取G为常数。

综上所述，我们考虑传染病动力学模型

当α＝0，λ2＝0时，模型(3)退化为模型(1)。

1　平衡点的存在性

代入式(2)可得自相容方程为

求解系统(3)的平衡解，就等价于求方程(4)的非负解。

显然θ＝0是方程(4)的一个解，对应有

故系统总存在无病平衡点

下面给出方程存在惟一正解的条件。经计算可得

故F″(θ)<0。因此F(θ)在0≤θ≤1上是凸函数。再由F(0)＝0，

从而，方程(4)在0≤θ≤1上有惟一正解的充要条件是:

因此得到系统(3)的基本再生数为

显然当且仅当R0>1时，系统(3)有惟一的正平衡点

下面由极限系统理论讨论系统的正向不变集。

由系统(3)的前三个方程可得

记Qk＝Sk+Xk+Ik，则可得

由系统(5)的第一个方程可得

由系统(5)的第二个方程可得

所以系统(3)的正向不变集为

综上分析，可得

当且仅当R0>1时，系统在区域Ω的内部存在惟一的地方病平衡点

2　无病平衡点的稳定性

首先，我们用线性近似的方法讨论系统的无病平衡点E0的局部稳定性。

定理2如果R0<1，则系统的无病平衡点E0在Ω上局部渐近稳定，否则，系统的无病平衡点E0不稳定。

当λ≠-α-μ时，

最后，我们计算J8的特征值。利用行列式的性质可求得

于是，J8有一个n-1重特征值为-μ，还有一个特征值为μ(R0-1)。

下面我们利用Lyapunov方法证明系统(3)的无病平衡点E0的全局稳定性。

定理3如果R0<1，则系统(3)的无病平衡点E0在Ω上全局渐近稳定。

证明我们只需要证明系统(3)的无病平衡点E0在Ω上是全局吸引的即可。

由于Ik≥0，故V(t)≥0，且V(t)＝0当且仅当Ik＝0。

下面说明V′(t)的负定性。

对V( t)沿系统求导可得

故当R0<1时，V′(t)≤0，并且当且仅当Ik＝0时有V′(t)＝0成立。因此有

故系统(5)可进一步写成

故J有两个n重根为-μ-α与-μ-α-νM0。

由式(6)、(8)、(9)，并结合极限系统理论[9，10]，可知系统(3)的无病平衡点E0全局吸引。定理得证。

3　数值模拟

为了验证系统的平衡点的存在性和稳定性条件的可行性，这部分用Matlab软件来进行数值模拟。首先构造一无标度网络，其度分布满足p(k)＝(γ-1)mγ-1k-γ，m＝2，γ＝3。

图1的参数:b＝0.3，α＝0.1，λ1＝0.01，λ2＝0.04，μ＝0.05，ν＝0.3，G＝1，κ＝0.3，对应的R0＝0.3181。

图1　当R0<1时，各变量的时间序列图

图2的参数:b＝0.3，α＝0.1，λ1＝0.05，λ2＝0.04，μ＝0.05，ν＝0.08，G＝1，κ＝0.3，对应的R0＝3.7124。

图2　当R0>1时，各变量的时间序列图

图3的参数:b＝0.3，α＝0.1，λ1＝0.01，λ2＝0.02，μ＝0.05，ν＝0.01。

图3　参数G，κ分别对Ik总密度的影响

图4的参数:b＝0.3，α＝0.1，λ1＝0.05，λ2＝0.04，μ＝0.05，ν＝0.06。

4　结论

本文通过在网络上建立SI传染病动力学模型来研究媒体报道对疾病传播的影响。首先，我们对模型进行数学分析，得到了基本再生数，并证明了当R0<1时，无病平衡点全局渐近稳定；当R0>1时，存在惟一的地方病平衡点。最后，通过数值模拟得到了相同的结论。

我们就基本再生数与文献[7]进行比较。本文和文献[7]的基本再生数分别为

图4　参数G和κ分别对R0的影响

当α＝0，λ2＝0时，；而在其他情况下，。这说明不能忽略α和λ2对R0的影响，也就是说，把α和λ2考虑在模型中，更符合实际。

除此之外，我们还发现

即R0关于M0是单调递减的，并结合图3，我们可以增大G，减小κ，使M0尽量变大，从而减小R0，使疾病得到有效控制。同时，由R0的定义可得将其定义为媒体报道对疾病传播的影响的阈值。当M0>Mc时，R0<1，表明疾病不流行。

[1]Naresh R，Pandey S，Misra A K.Analysis of a vaccination model for carrier dependent infectious diseases with environmental effects [J].Nonlinear Analysis Modelling and Control 2008，13(3):331 -350.

[2]Cui J，Sun Y，Zhu H.The impact of media on the control of infectious disease[J].Journal of Dynamics and Differential Equations，2008，20(1):31-53.

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(责任编辑:周晓南)

The Analysis of SI Epidemic Dynamics Model Based on Media Coverage

YI Zhibin，ZHAO Aimin*
(Department of Mathematics，Shanxi University，Taiyuan 030006，China)

Media reports affect people′s defense consciousness to the disease.The effect of consciousness on the spread of disease was investigated for SI model with birth and death on scale-free networks.Through the analysis of the dynamics characteristic of model，the basic reproduction numberwas obtained and the stability of diseasefree equilibrium and the existence of the endemic equilibrium were proved.Further numerical simulations about the model were conducted to validate these theories.

media coverage；scale-free networks；epidemic model；reproduction number；equilibrium stability

O193

A

1000-5269(2016)01-0016-07DOI:10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.01.05

2015-09-07

山西省自然科学基金项目资助(2014011005-1)

伊质斌(1989-)，女，在读硕士，研究方向:网络传染病，Email:272975255＠qq.com.

赵爱民，Email:zhaoam＠sxu.edu.cn.