李善兰组合思想研究

张必胜

(遵义医学院医学信息工程系，贵州遵义　563000)

李善兰组合思想研究

张必胜*

(遵义医学院医学信息工程系，贵州遵义563000)

基于李善兰传统数学著作中关于组合问题历史文献的研究，得出李善兰组合恒等式与西方数学是保持一致的。李善兰在其著作《垛积比类》得到了一些组合求和的数学表达式。

李善兰；垛积；组合恒等式；求和

李善兰(1811—1882)是我国清末杰出的数学家和数学教育家，其主要关于中国传统数学成果收集在著作《则古惜斋算学》中，这本集大成的著作中主要是整合了李善兰的《弧矢启秘》、《万圆阐幽》及《对数探源》等24卷，13种，这些传统数学理论著述包括了素数理论，分析理论，组合数学等等，而其中特别是李善兰对组合数学理论进行了深入的研究和发展。

1　传统组合思想

14世纪以前，我国传统数学处于世界领先地位，但从此就开始落后于西方近代数学。并且随着西方数学的进入，传统的中算理论开始渐渐地被理论化的符号数学代替。这一时期也出现了一些数学家在坚持传统数学的同时也吸收了西方近代数学。在这样的情况下也得到了一些成果，或者是独立得到，或者是在西方数学的启发下得到的一些代表性成果[1]。李善兰在《垛积比类》(1867)中以“比类”、“数形结合”、“垛积”、“组合三角”等传统数学方法，在该著作中提出了相关的求和公式。

求和思想在我国传统数学中可以追溯到很早的历史，春秋战国时期极限求和思想的论述。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，实际上，这一论述就是对求和的粗糙描述，而且是一种极限求和的思想[2]。到了刘徽(225—295)和祖冲之(429—500)时代，极限求和思想得到了深入的发展和研究[3]。

公元前1世纪的《周髀算经》以及经典巨著《九章算术》中均有关于一般等差级数求和的问题，实际上就是关于级数求和:

这实际上是很简单的等差级数求和问题。公元5世纪的《张丘建算经》中下卷36问给出了自然数级数求和:

到了13世纪，数学家杨辉以体积“比类垛积”的思想，发展了传统的“垛积术”，杨辉在其著作《详解九章算法》中，关于一般的自然数幂和问题进行了具体的解释[4]。他把这各项之间的求和关系看成一种类似垛的比拟。将上式自然数求和关系看成垛，然后求和，再补充，最后得到了求和的垛积公式。

图1　求和

从图1可以看出，S＝1+2+3+…+n，将其补充成为一个方形，补充的部分为S-n，而方形为n2，即有S+S-n＝n2，故有:

杨辉关于幂和12+22+32+…+n2时，将方锥比类果垛，十分形象地转化了问题，并且给出了幂和公式:

朱世杰(1249—1314)在杨辉的基础上，把“垛积术”提高到一个空前的水平，他不仅掌握了一般三角垛的求和公式，还掌握了四角垛:

此公式同杨辉的幂和公式，四角垛又称为“一乘方垛”，类似的还得出了“二乘方垛”:

2　李善兰组合思想

在传统数学中关于组合求和已经有了一定的理论基础和相关的成果，而李善兰是中国古代“垛积求和”的集大成者，他利用垛积术彻底地解决了自然数幂和的相关问题[5]。李善兰关于组合数学著作《垛积比类》共四卷，除“三角垛”公式外，其中给出了六类垛积求和公式。其中的“三角垛”公式为:

该公式是垛积术的基础公式，其余给出的公式都是以该公式为理论基础。《垛积比类》全书四卷，每一卷给出了一个垛积体系:

卷二:乘方垛nm，其各支垛记为

关于《垛积比类》中有一些图(图2)，并且在图的后面有解，除了第六和十两表造表法所给出的定义域其解相同，其他十一类所给定义都是把其中的垛分为若干种垛进行求解。比如三角垛:

图2　三角垛

将这十一类垛解所给出的四十五则具体垛的定义分别归纳课得四个通项公式:

在《垛积比类》前三卷关于支垛系统中，按照李善兰的方法必然可以得到:卷一中的当 p＝m时，即为三角变垛:

如果把n改成n+1，即得著名的“李善兰恒等式”:

李善兰给出的恒等式是“三角自乘垛”的中心，关于“李善兰恒等式”的研究，数学史学者也进行了相关历史研究[6]。李善兰在《垛积比类》中没有详细证明公式来源，但是，从李善兰研究三角垛表和三角自乘支垛各表的数字规律，其制造了非常严格的“造表法”。

3　国外组合思想

公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580—约前500)在讨论行数的时候给出了自然数和的公式，而且还给出了平方数和的公式。公元前3世纪，阿基米德(Archimedes，公元前287—前212)和公元前1世纪的尼可马克分别得出了平方数和立方数求和公式。15世纪数学家阿尔卡西(Al-kashi，1380—1429)提出了4次方求和公式；17世纪日本合算家关孝和(1642—1708)给出了从1到11的自然数幂和公式，这里指出的是关孝和所使用的方法与我国传统数学中的垛积术完全一样。

17世纪末数学家雅克比·伯努利(Jacob Bernoulli，1654—1705)给出了无穷幂级数求和公式:

4　中外组合比较

从我国传统数学中极限思想的发展史来看，求和思想有着悠久的历史。李善兰在《垛积比类》卷一中提到了郭守敬(1231—1316)、朱世杰(1249—1314)、汪莱(1763—1813)和董祐诚(1791—1823)等相关数学家在垛积术上的成就，并且参考了他们的论著。从《垛积比类》中可以看出，李善兰运用了天元术等传统数学理论。从西方组合理论的发展历史可以看出，西方组合求和方面，特别是日本数学家关孝和的求和思想与我国传统数学中的组合求和有着相同的地方。雅克比·伯努利给出了一般的求和公式:对于任意关于x的实函数f(x)，有下列公式:

雅克比·伯努利求和公式好处在于，如果一个函数f(x)是一个m次的多项式，那么对于任意的x，都有Δm+1f(x)＝0，所以，不论n是多大，以上的求和公式包含了m+1个项，计算方便。根据求和公式，有李善兰利用垛积术彻底解决了自然数幂和问题，李善兰的各类垛积数表不仅是从观察归纳的基础上发展起来的，还有一定的组合意义，并且创立了相关的乘方垛各廉表(图3)。

图3　廉表

在关于幂和问题，从宋元时期就有了一定的理论基础，朱世杰的四角垛公式(1303):

数学家杨辉也有该结论，这一结论还可以追溯到沈括(1031—1095)的研究。到了清代的陈世仁(1676—1722)使一、二、三次幂和公式更系统化了，但是没有向高次发展。李善兰通过用组合级数和欧拉数解决了这一问题。由于组合数学的发展，这一问题吸引了一些数学家的兴趣，其中 J. Riordan[7]，J.L.Paul[8]，B.Turner[9]等人都有相关研究。

5　结语

从组合思想的中外发展史可以看出李善兰是在传统组合数学思想的基础上独立地得出了李善兰组合理论的相关结论。组合理论在西方经过数学家们的不断发展和完善。我国传统数学中较早的组合思想到朱世杰、汪莱等人运用组合解决了一些几何和代数的相关问题，从这个层面上来说，组合理论也是相对成熟。到了李善兰的时代，传统数学经由宋元时期的数学家发展高峰后，传统组合思想还是停留在以往的数学表现形式上。李善兰是继承了传统组合思想加上他对其深刻理解。在传统思想的基础上得到了相当于组合中一些基本公式的表达式，如“李善兰恒等式”等。说明其对组合思想的进一步理解和运用。

[1]张必胜.李善兰微积分思想研究[J].贵州大学学报(自然科学版)，2013，30(6):1-5.

[2]张必胜.李善兰与伟烈亚力合译《代数学》的主要内容研究[J].西北大学学报(自然科学版)，2013，43(6):1021-1026.

[3]张必胜.李善兰极限思想研究[J].贵州大学学报(自然科学版)，2015，32(3):7-9，13.

[4]李兆华.李善兰垛积术与尖锥术略论[J].西北大学学报(自然科学版)，1986，16(4):109-125.

[5]钱宝琮.中国数学史[M].北京:科学出版社，1964:68.

[6]罗见今.李善兰恒等式的导出[J].内蒙古师范学院学报(自然科学版)，1982，10(2):89-105.

[7]Riordan，J.Cominatorial identities[M].New York:R.E.Krieger Pub，1968:160.

[8]Paul，J.L.On the sum of the kth powers of the first n integers[J]. Amer.Math.Monthly.1971，78:271-272.

[9]Turner，B.Sums of powers of integers via the binomial theorem[J]. Math.Magazine，1980，52(2):92-96.

(责任编辑:曾晶)

Research on Li Shanlan's Combinatorial Thought

ZHANG Bisheng*
(Department of Medical Information Engineering，Zunyi Medical University，Zunyi 563000，China)

This paper reviews Li Shanlan traditional mathematics works on combinatorial problems of historical documents，obtained Li Shanlan combinatorial identities and Western mathematics is consistent.Li Shanlan in his book"DuoJiBiLei"got some mathematical expressions combination summation.

Li Shanlan；DuoJi；combinatorial identities；summation

O11

A

1000-5269(2016)01-0005-04DOI:10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.01.02

2015-12-24

贵州省哲学社会科学规划课题(14GZQN26)

张必胜(1980-)，男，副教授，理学博士，研究方向:数学史，Email:snxzbs＠163.com.

张必胜，Email:snxzbs＠163.com.