基于不动点求解递推数列问题的本源探索

2016-10-28庞梅

数学教学通讯·高中版 2016年7期

庞梅

[摘要] 本文首先借用直线y=x从几何角度对等差、等比数列下定义，然后在此基础上就“不动点求解递推数列y=x相关问题”之思维本源做了系列探索，实现了追根索源，得到了重要结论，对递推数列的教学有一定的指导作用.

[关键词] 不动点；递推数列；本源探索

在高中数列的教学中常借用不动点来求解递推数列问题，学生就其思维本源会提出许多疑问. 对此，笔者想以an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+为例就借不动点求解递推数列问题之思维本源做一些探索，以期能解答学生的疑惑，启发师生对此类问题的再思考.

用直线y=x定义等差数列和等比数列是不动点求解递推数列问题之奠基石

1. 借用直线y=x定义等差数列

定义1：由等差数列递推式an+1=an+d（n∈N+，常数d∈R）可知，点P（an，an+1）是分布在直线y=x+d上的一组点，于是借用y=x可得等差数列的几何定义：当n∈N+时，如果点（an，an+1）分布在与y=x平行或重合的直线上，则数列{an}（n∈N+）是等差数列，其公差d为该直线在y轴上的截距.

2. 借用直线y=x定义等比数列

定义2：由递推式an+1=qan（n∈N+常数q≠0）可知，P（an，an+1）是分布在直线y=qx（q∈R且q≠0）上的一组点，此时可得等比数列的几何定义：当n∈N+时，如果点（an，an+1）是分布在与y=x重合或与之相交于直角坐标系原点的直线（不含x轴和y轴）上，则该数列{an}是等比数列，公比q（q≠0）为该直线的斜率.

3. 提出问题

从上面等差数列和等比数列的几何定义可以看出，当P（an，an+1）（n∈N+）分布在直线y=x上时，数列{an}既是等差数列，又是等比数列；当P（an，an+1）是分布与直线y=x平行的直线y=x+d（d≠0）上时，数列{an}是非等比的等差数列；当P（an，an+1）是分布与y=x相交于坐标原点的直线y=qx（q∈R且q≠0，1）上时，数列{an}是非等差的等比数列. 于是我们联想到如果一个递推数列抽象出的函数与y=x有交点，即：该递推数列抽象出的函数如果存在不动点，是否可以将这个递推数列转化为与之关联的等比或等差数列呢？

基于不动点求解递推式an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+相关问题的本源探索

1. 如果由an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+抽象出的一次分函数f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）有两个相异不动点α，β，则该递推式可变形为与这两个不动点相关联的等比数列.

（1）联想寻路：设一次分函数f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）有两个相异不动点α，β，则过P1（α，α），P2（β，β）两点的直线y=x的方程可变形为：y-α=x-α 或 y-β=x-β或=（x≠α且y≠α）或=（x≠β且y≠β）或=（x≠β且y≠β）等.

在此基础上根据和中定义1和定义2联想到：

要使一次分函数y=（c≠0，ad-bc≠0），既要与y=x有联系，又要与两个相异不动点α，β相关联，于是我们猜想：

f（x）=是否可以转化为：=+d（d为定值，x≠β且y≠β），或转化为：=q· （q≠0，为定值，x≠β且y≠β）型呢？再由P1（α，α），P2（β，β）是y=图象上的两个定点以及f（x）上不同于P1，P2的任意一点P（x，y）这些已知条件构造出含有和（x≠β且y≠β），或含有它们倒数的式子就成了我们当前的最近目标，然后再步步探证得出结论的正确性.

（2）探究推证：

①当P（x，y）与点P1，P2都不重合时，证明过程如下：

记直线PP1的斜率为kPP1、直线PP2的斜率为kPP2，

则直线PP1和直线PP2点斜式方程分别为：

y-α=kPP1（x-α）和y-β=kPP2（x-β），

两式相除得：=·.

猜想：=定值吗？

下证=定值.

因为f（x）有两个相异不动点α，β，

所以α，β都满足方程x=，

将α，β分别代入整理得：

cα2+（d-a）α-b=0？圯b-dα=（cα-a）α，