人文气息下的数学归纳法教学

张晓东

[摘 要] 数学归纳法的教学被人说成是世界难题，解决这个难题是我们数学教育工作者所关注的. 我们期盼能否用中华民族传统文化的渗透而为这个问题解决推波助澜. 在本节课教学中，把渗透数学文化和民族文化作为突破数学归纳法教学难点的重要支撑，收到很好的效果.

[关键词] 数学归纳法；人文渗透；突破；瓶颈；学科德育

一点说明

上学期根据区教研员的安排，要求我们上一节在数学教学中渗透人文素养的区级公开课. 接到任务时，我们的教学进度在“数学归纳法”. 按文献1的叙述，“数学归纳法从萌芽到以归纳公理的形式最终确定下来，共经历了两千多年的时间……，数学归纳法的教学是一个世界难题.” 如何突破这个教学难点，又要使人文知识与数学理性相映生辉. 在时间紧、任务重的情况下，我们紧急筹划，广泛采猎，反复推敲，并在教研组老师中逐一征求意见的情况下，形成初稿.再经过两次试教，两易其稿，最终定稿.

教学过程简述

1. 创设情景，引入课题

引例1：

（1）天下乌鸦一般黑，对不对？

学生：很难说.

（2）我们给出这样的数列：数列{an}的递推公式：a1=2，且an+1=a-nan+1（n∈N*），求a2=_____，a3=_____，a4=______，a5=_____，

并由此猜测出{an}的一个通项公式为an=_________（注：猜测结果是an=n+1）.

（3）费马素数猜想（PPT显示费马头像、简介）

法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：设Fn=22n+1，F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537，这五个数是质数，由此提出（费马没给出证明），形如Fn=22n+1的数都是质数的猜想. 但在1732年，欧拉算出F5=641×67900417是合数.

设计意图：先由天下乌鸦一般黑这个有趣的说法引入不完全归纳的思想，引发学生思考，这种思想在数学学习中有没有应用呢？抛出引例1（2），学生完成后追问，猜出来的通项公式一定对吗，然后适时引出费马数，一方面对学生进行数学史的熏陶，另一方面，由这个例子可以看到，连这样数学顶级大师在用不完全归纳的时候，都能犯这种美丽的错误，何况我们凡夫俗子，所以提醒大家：归纳有风险，猜想须谨慎！

请大家思考，对于我们猜想出来的命题，如果要说明他是错误的，应该怎么办？

如果要说明猜想出来命题如引例1（2）是正确的，怎么办呢？进而一种证明引例1（2）的方法呼之欲出. 另外，我们在选择引例1（2）还基于以下原因：就是这个数列的通项公式很好猜，但很难转化为等差数列或等比数列，学生在无计可施的情况下，追求新的方法的意愿会更加强烈！

2. 数学归纳法原理导引

引例2：史书《周礼》中有这样一段记载“在各国从边疆到腹地的通道上，每隔一段距离，筑起一座烽火台，接连不断，台上有桔槔，桔槔头上有装着柴草的笼子，有敌人入侵时，烽火台就一个接一个地燃放烟火传递警报”.

有什么条件可使烽火台依次全部点燃？

（1）第一个点燃；

（2）看到第一个烽火台点绕，第二个烽火台就要点绕，依次第三个烽火台，……，

即在第k个烽火台点燃，能引起第k+1个烽火台点燃.

引例3：上课伊始，跟学生玩如下游戏：按班级同学的学号从小到大再接回，我们班级是38人，一号接二号，依次下去，38号结束后一号再接，无限下去……，如一号说：一马当先，二号接：先人后己，三号接：己所不欲，勿施于人，四号接：人定胜天，五号接：天理不容，六号接：容我好好想想，七号接：乡间小路（短语、谐音语句都可以）……，问学生，这样接下去，能接多久，学生答：要永远接下去…….

设计意图：（1）以上两例的共同特点是什么？总结出数学归纳法的两个步骤. （2）渗透德育教育，弘扬民族传统文化的育人价值. （3）按传统方法，多数教师用多米诺骨牌，但有人做过调查，要使所有骨牌都倒下，学生想的条件并不是我们所想象的那样简单地给出数学归纳法两个步骤，况且多米诺骨牌是有限多个的，而引例3中传递会无限地传下去，这样就突破了数学归纳法实际引例中总是“有限”的瓶颈（有用集合元素的任意性以及直线与平面垂直的直线的任意性等，而这里直接就是无限的问题）. 实践证实，这样的举例便于学生认识数学归纳法的两个步骤. （4）在烽火台点燃的问题中，学生说道前一个烽火台点燃，可引出后一个烽火台点燃，教师追问，“前”一个是指哪一个，可以指第1个，也可以指第2个，还可以指第3个，一般情况下，你应当怎样表述，学生自然会想到：可以用一个字母（比如k）来表示，那后面一个就是第k+1个. 自想：“好，火候到了，要的就是这个效果！”

3. 探究数学归纳法

（1）请同学们结合上面的引例2完成下列表格的第一列（师生共同完成）.

（2）请你设计一个证明引例1（2）的思路，完成第二列（学生思考讨论）.

（3）提炼数学归纳法（师生共同完成第三列）.

设计意图：考虑到数学归纳法的抽象性，及学生的接受能力，没有直接给出数学归纳法.为了避免一言堂，给学生腾出思考的空间，让学生动起来，在完成表格第一列之后，教师设问：同学们能不能由烽火台依次点燃原理，迁移一下，设计一个证明引例1（2）的思路，给学生一个探究的空间，动手的机会. 然后师生共同完成第三列，完成用数学归纳法证明引例1（2）中的猜想. 不知不觉中，学生已经走进了数学归纳法，教师趁热打铁，完成数学归纳法的证明步骤.

自此，表格的使命还没有完成，在完成整个表格之后，再回到第一列烽火台依次点燃的原理上去，让学生在此感受一下两个条件即奠基和递推缺一不可，然后再回到第三列，引导学生发现，在证明n=k+1命题成立时，一定要用到n=k时命题成立这个假设. 将生活的事实迁移到数学原理，既直观浅白又寓意深刻，表格的使命完成.

4. 熟悉方法，简单应用

例1 （1）小明想用数学归纳法证明：1+2+3+4+…+n=+100，证明方法如下，请同学们思考一下是否合理，并说明理由.

（Ⅰ）假设n=k （k∈N*）时，等式成立，

即1+2+3+4+…+k=+100成立.

那么，当n=k+1时，

左边=1+2+3+4+…+k+（k+1）=+100+（k+1）=+100=+100，

右边=+100，？摇？摇？摇

所以当n=k+1时等式也成立.

所以等式对一切正整数都成立.

（2）小红想用数学归纳法证明1+2+3+4+…+n=，证明方法如下，请同学们思考一下是否合理，并说明理由.

（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.

（2）假设n=k（k∈N*，k≥1）时，等式成立，

即1+2+3+4+…+k= 成立.

当n=k+1时， 左边=1+2+3+4+…+k+（k+1）= =，

右边=，

所以当n=k+1时等式成立.

由（1）（2）知，对n∈N*公式都成立.

设计意图：反复紧扣数学归纳法的两个条件，第一小问缺少了奠基，结果用“数学归纳法”证出了一个假命题，引起学生认识冲突，让学生深刻理解奠基的作用（否则将以讹传讹）；第二小问突出第二个条件：传递性，刚开始学生可能认为第二小问的证法是正确的，在教师点拨后学生幡然醒悟，传递性也更加深入人心. 两个反例对学生正确认识数学归纳法起到警示作用.

例2 如图5所示：

第1层放1小球，

第2层放1+2=3个小球，

第3层放1+2+3=6个小球，

第4层放1+2+3+4=10个小球，

……

第n层放1+2+3+…+n=个小球，

求证：小球的总数为，

即要证：1+3+6+10+…+=.

设计意图：其一，通过前面的探讨，学生对数学归纳法有了一定的认识，接下来乘胜追击，让学生完成例题2的证明，是对数学归纳法的巩固；其二，这个例题是三角堆积里面的一个例子，早在我国元代，数学家朱世杰完成对上式的证明，并且给出了四角垛、六角垛等的求和问题，比西方相应的成果早400多年. 朱世杰所著《四元玉鉴》是“中国数学著作中最重要的一部，同时也是整个中世纪最杰出的数学著作之一”，由此渗透民族精神的教育.

通过我们艰苦细致的工作，这节课得到听课老师的广泛认可. 课后与学生交流，并把准备的过程也与学生说明，学生感觉很兴奋，原来数学可以和这么多的内容联系，对促进学生学习数学的热情有很大帮助.我们投寄到贵刊，渴望与读者共享.