数学建模，从教育理念到教学实践

贾俊

[摘 要] 数学建模是高中数学教学的重要组成部分，数学建模可以深化学生的数学理解，可以提升学生的数学素养. 数学建模来源于实际，并最终指向实际.教学实施的关键在于做真、做实.

[关键词] 高中数学；数学建模；教育理念；教学实践

高中数学教学中，数学建模是一个重要研究方向. 数学建模就是在实际问题解决的过程中，根据数学原理建立数学模型，然后借助于数学模型的分析，完成实际问题的解决. 从思维过程来看，数学建模基于对实际问题的抽象、简化，重点在于模型的建立与数学知识的运用. 在高中数学教学中如果能够高度重视模型的作用，那学生在获得数学知识的同时，还可以获得较高的数学素养，这与课程标准的目标也是一致的. 实际教学中，数学教师一般都是有数学建模的认识的，但由于应试或其他原因的限制，数学建模在实际教学中总难以落到实处. 笔者几经实践，发现在当前的教学实际背景下，数学建模还是有施展的空间的. 总的来说，数学建模的理论到行动的转变，需要关注如下几个方面：

数学建模需要教师的意识先行

通常情况下，学生是不可能自然形成数学建模能力的，只有经过教师的有意识引导，学生的建模能力才有可能实际形成. 因此，数学建模关键在于教师意识的先行. 这里面临的实际问题是，通常情况下呈现给学生的实际问题都是经过初步处理后的实际问题，而并不是生活中实际问题的完全呈现，同时教材上出现的一般材料也并不适宜作为数学建模的直接使用，因此教师有意识地寻找生活中的素材并适当加工，是数学建模得以实现的前置性条件. 而这就意味着教师本身要带着数学建模的思路去寻找教学素材.

比如说在生活中常常有这样的实际问题：将一张八仙桌放在地面上时，通常要试几次才能放平，能否用数学语言描述其中的规律？

这一实际问题对于学生来说并不陌生，而其与数学又没有直接的联系，因此可以作为有效的数学建模教学的对象. 实际分析的时候，需要关注的就是八仙桌的四个脚（抽象成四个点）与地面（抽象成一个平面）的距离是不是能够同时为零的问题. 在这里，笔者以为有必要先思考：教师在什么情况下才能将类似于此的实际问题转换成数学课堂上培养学生数学建模能力的问题呢？

研究表明，实现这一目标的关键在于教师自身是否有用数学眼光研究身边实际事物的意识，归根到底还是一个意识先行的问题. 事实上，我们说数学是研究数与形的学科，那这个时候就可以看身边哪些地方涉及数，哪些地方有形的存在，这些数与形又可以用高中阶段的哪些数学知识来描述. 这个逻辑关系一旦建立，数学建模的意识即告形成，而有了这样的基础，数学建模的教学就有可能顺利展开.

数学建模强调对学生因材施教

数学建模当然是一个重要的能力，但这也并不意味着在整个数学教学的过程中都需要不断地建模. 实际上，如果能够因时、因内容、因人制宜，在恰当的时机进行恰当的建模，对于学生来说反而更容易生成建模能力.

因内容制宜指的是在不同的教学内容中，选择不同的建模教学的思路，因为通常情况下，数学建模并不是简单地让学生看着教师如何将实际问题抽象成数学问题的，而是要遵循一定的程序的. 一般认为数学建模的程序有三个：一是实际问题的抽象，即数学问题的形成过程；二是数学模型的形成过程；三是利用数学模型解决实际问题的过程. 这三个环节中，需要高度关注的是实际问题，只有学生对实际问题具有类似的理解，那在班级授课制的背景下实施数学建模的教学才有意义. 同时，如果教师提供的素材与即时的教学内容存在一定的联系，那数学建模的效果会更为明显. 比如上面提到的八仙桌的例子，当其出现在点与平面关系的学习之后，显然不仅能够让学生对点与面的关系更为清晰，同时还在知识运用的过程中获得了数学建模的能力.

因时制宜强调的是对学生建模能力形成时间的关注，并不是说学生有了相应的知识就可以实施数学建模的教学的. 比如说结合当前信息社会的特点，可以让学生去分析不同移动公司的话费套餐背后的数学问题，这是一个很好的数学建模的素材（具体地可以给学生提供两个不同的套餐，让学生基于话费的不同算法去进行比较）. 但这个素材只有在学生具有了函数知识，同时具有对函数定义域与值域进行细致分析能力的基础上才能提供. 又如在解三角形知识的学习中，学生首先会学到正弦定理与余弦定理，那在学生掌握了这部分知识并形成初步解题（此指数学习题而非实际问题）能力之后，结合教材上给出的测量河两岸A、B点距离的例子，教师可以将此例进一步向生活还原，比如说将其中的河、点等进一步还原成学生身边熟悉的具体事物，将题目中的具体数据略去，将题目中给出的条件也略去. 这样实际问题就可以这样的形式出现：在河的两岸居住着两户人家（连线不与河垂直），现要测量两户人家之间的距离，那可以想出什么办法？这个问题的解决，学生是很难自然想到正弦定理的运用的，因此需要进行数学抽象.而数学抽象的过程，首先就是将以文字呈现的题目变成图形的过程，在图像化处理的过程中，学生会发现两户人家可以抽象成两个点，而当学生意识到距离的求取只能借助于某个三角形时，三角形的构造又成为本建模过程中的新的重点. 而这个思路一旦打开，学生自然就意识到这个过程中需要测出三角形某边（河的同一边）的边长，与两个角度. 于是问题就迎刃而解.

因人制宜是笔者的一个教学经验，因为笔者发现通常教学中容易形成的一种现象，就是将之前成功的教学经验移植到后面的学生身上来，这个时候又常常发现有些地方并不尽如人意，因此总感觉现在的学生不如以前的学生.事实上这是忽视了学生基础的缘故. 数学建模是一个综合性很强的教学过程，而班级建制中数十个学生往往存在着数学知识基础与逻辑思维能力、推理能力的差异，因此不能要求每个学生都能顺利地完成数学建模. 事实上，利用数学建模的教学，提高基础较好的学生的数学思维能力，提高基础中等及偏上学生的数学兴趣，促进基础一般的学生对数学知识的理解，可能是更为现实的教学目标.

数学建模须坚持核心能力形成

数学建模的关键有二：一是让学生体验数学建模的过程，二是让学生形成核心建模能力（对于基础较好的学生而言），而这两个关键都是指向学生的能力形成的，因此在数学建模教学的过程中要善于抓住能力这个核心. 仍然需要强调的是，这里所强调的能力形成仍然需要关注个体差异性，并不是对每一个学生都要提出同样的能力要求，从动态的角度讲，只要学生在数学建模方面有能力与自身能力基础相适应的进步，那教学就是有效的.

笔者这里仅从两个方面来阐述数学建模中的能力形成：

一是掌握数学建模的基本思路与方法. 即在数学建模的过程中，要认识到建立恰当的数学模型，可以让学生更迅捷地解决实际遇到的问题，上面所提到的数学建模三环节，实际上也是一种建模思路，必须让学生明确，而基于具体的数学知识积累一定量的数学建模实例，则是建模能力形成的另一关键. 事实上，学生对实际问题往往有着天然的有效记忆，譬如上面提到的八仙桌放在地面上的问题，学生在很长时间之后还能完整地重现，这说明具体的实例及其抽象并最终建立模型，在学生的思维中是根深蒂固的. 而教师则需要利用学生的这一思维特点，在数学建模的过程中加强学生对高中阶段的重要数学知识的累积性记忆.

二是数学抽象能力. 数学抽象是数学建模的关键，经过科学的数学抽象才可以得到科学的数学模型，事实上无论是从笔者的实践来看，还是从同行的经验来看，真正的数学建模过程常常是一个螺旋式上升的过程，也就是学生很有可能在初步的建模过程中由于数学抽象过程不太科学，而导致刚开始的数学模型并不合理，这个时候需要回过头去重走数学抽象之路. 也正是由于这个原因，高中阶段的数学建模实际上是比较费时的，这也是笔者强调不宜大规模使用的原因之一. 但是一旦决定了实施数学建模的教学，那就要做得彻底，必要的螺旋式过程是必须经历的，只有这样才能培养学生的数学抽象能力. 在点与面的关系构建中，笔者给出八仙桌实例，事实上一开始就有部分学生将之与“三角形的稳定性”联系在一起，然后就搞不清楚四只桌脚如何与三角形稳定性这一数学模型结合在一起，在后来笔者适当提醒之后，学生才转换了思路，进而正确构建出了另一个新的模型.

数学建模应实现数学生活统一

数学建模的起点是实际生活，终点在哪里却值得研究. 现实评价的压力之下，数学教学往往指向学生的解题（习题）能力，因此即使是数学建模，难免带有强烈的应试色彩. 但从学生的数学素养提升角度来看，众所周知的是学生进入社会之后，真正从事纯粹数学研究的极少，而数学学习过程中形成的能力才是数学教学的本质目标.

因此，笔者以高中数学建模的最终指向也应当是实际生活，待到学生的数学建模意识与能力能够支撑起其对现实生活的研究时，我们认为这样的建模教学就是有效的.

总之，高中数学教学中数学建模不能缺位，需要做真、做实，这样的过程不仅能够提升高中学生的数学素养，也能促进数学教师自身的专业认识与成长.