一道书本习题的探究性学习

季芸洁

[摘 要] “臃肿”的数学课堂需要“瘦身”，数学教师必须紧紧抓住课堂教学是为了学生的思维发展服务这一中心，追求简约的教学过程，让数学教学轻装上阵，以提高课堂教学的实效性.

[关键词] 探究性学习；数学素养；实效性

新课程理念忽如一夜春风，吹遍了大江南北. 数学课堂一改过去的烦琐分析、串讲串问，取而代之的是师生对话、合作交流……我们的数学老师蓦然发现：数学教学应该给予学生全方位的关注与提升. 于是，知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，成为每节数学课都追求的目标. 老师们甚至希望，一节课就使学生的数学素养得到全面的提升. 所以，在课堂堂上呈现的是多元的教学目标、丰富的教学内容、纷繁的教学环节和教学方法，这一切围绕文本展开的数学活动使每个孩子热情高涨、状态颇佳. 然而，一节课结束，学生似乎学会了许多，但又似乎什么也没有真正学会. 反思新课程背景下的数学课堂教学，笔者感到，“臃肿”的数学课堂急需要“瘦身”，我们必须紧紧抓住课堂教学是为了学生的思维发展服务这一中心，追求简约的教学过程，让数学教学轻装上阵，以提高课堂教学的实效性.

笔者最近和学生一起对一道书本习题进行了多角度的探究，这是一次非常愉快的探究过程，以下是笔者的课堂探究过程，写成拙文和同行分享.

[问题] （苏教版必修五P24第6题）如图，已知∠A为定角，点P，Q在∠A的两边上，且PQ为定长，当P，Q处于什么位置时，△APQ的面积最大？

笔者标记了∠A=θ，PQ=a，先让学生独立操作这道题，10分钟后将两位学生的解题过程投影出来一起分析.

学生1的解答过程：

解：设∠AQP=α，由正弦定理可知==，

所以AP=，AQ=，

所以S△APQ=AP·AQ·sinθ=···sinθ=·sinαsin（α+θ）.

因为sinαsin（α+θ）=sinα（sinαcosθ+cosαsinθ）=cosθsin2α+sinθsinαcosα

=cosθ+sinθsin2α=·cosθ+（sinθsin2α-cosθcos2α）

=cosθ-cos（2α+θ），

所以S△APQ=[cosθ-cos（2α+θ）].

当α=（π-θ）时，（S△APQ）==.

学生2的解答过程：

解：设AP=x，AQ=y，由余弦定理可知x2+y2-2xycosθ=a2.

因为x2+y2≥2xy（当x=y时，取“=”），

所以2xy-2xycosθ≤a2，

所以xy≤（当且仅当x=y=取等号），

所以（S△APQ）max==.

教师：谁来点评下这两种解法？

学生3：我是用生2的做法，所以我觉得他的解法比较好. （其他学生哈哈大笑）

教师：你能具体说说你的想法吗？

学生3：因为S△APQ=AP·AQ·sinθ，所以只要求出AP·AQ的最大值就可.

教师：不要都讲好话嘛，我们也要谈谈他们解法中的不足嘛！大家一起来找茬吧！（学生们哈哈大笑）

学生4：学生1的解答中sinαsin（α+θ）的变形可以简单一点.

因为2sinαsin（α+θ）=cos[α-（α+θ）]-cos[α+（α+θ）]，

所以sinαsin（α+θ）=[cosθ-cos（2α+θ）].

教师：很好，能够用辩证的眼光看待角与角之间的关系，有进步. 谁再来谈谈对这两种解法的看法.

学生5：学生1是引进角变量α来分别表示AP和AQ，然后从函数角度求出AP·AQ的最大值，学生2是把AP·AQ看成一个整体，应用基本不等式求出AP·AQ的最大值.

教师：分析得蛮深刻，其他同学还有更好的解法吗？

学生6：我认为当AP=AQ时，△APQ的面积最大，此时PQ边上的高h==，

所以（S△APQ）max=a·=.

教师：你能给大家说说这样做的理由吗？

学生6：我是猜的（下面有几位同学也纷纷表示他们也是这样做的），因为我发现P，Q两点的运动是相互制约的，所以猜测当AP=AQ时，△APQ的面积最大.

教师：非常好，你的这种猜测非常有意义，你这种直觉思维（伊恩·斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”，许多重大的发现都是基于直觉）非常值得我们其他同学学习！（我连用了三个非常来表扬这位同学，是因为我发现我们很多时候的数学探究过程抛弃了直觉思维，而直接进入推理演绎阶段. 我个人认为脱离直觉思维的探究过程是一个失败的探究过程！）但是，在解答题中用这种方法理由肯定是不充分的. 请大家思考下，谁能够帮助学生5找出一个充分的理由呢？

5分钟过去了，教室里面依然非常安静，但每个人都在积极地思考着. 似乎进展很不顺利！

教师：大家有什么好的想法了吗？（没有回应）那大家感觉麻烦在什么地方？

学生：P，Q两点都在运动.

教师：大家注意到PQ为定长了吗？要使得△APQ的面积最大，其实只需要哪个量最大？

学生：只要求出PQ边上的高的最大值.

教师：对于两个不同状态下的△APQ和△AP1Q1，他们除了都是同角对等边，还有什么共同特征？

学生7：由可得△APQ和△AP1Q1的外接圆半径相同.

教师：非常准确！既然外接圆的半径是相同的，那么这个问题能不能转化在圆内进行研究的问题，请大家讨论下.

经过3分钟左右的讨论，有成绩比较好的学生已经发现这个问题的本质.

学生8：已知PQ是圆O的一条定弦，点A在优弧PQ上运动，求△APQ面积的最大值.

教师：学生8提出的问题和本题本质相同吗？有没有地方需要修正的？

学生9：我觉得圆O的半径必须要定下来，这样才能保证∠A为定值.

教师：那半径是多少呢？

学生9：半径应该是.

教师：你能把今天我们研究的这个问题完整地叙述出来吗？

学生9：已知PQ是半径为（θ为锐角）的圆的一条弦，且PQ=a，点A在优弧PQ上运动，求△APQ面积的最大值.

教师：请你把过程在黑板上写出来.

若θ∈0，，则由图3易知，（S△APQ）max=a·+cosθ=.

教师：学生9完成得非常出色，其他同学觉得还有需要补充的吗？

学生10：学生9只讨论了点A在优弧PQ上运动，如果点A在劣弧PQ上运动，应该是另外一种情形.

已知PQ是半径为（θ为钝角）的圆的一条弦，且PQ=a，点A在劣弧PQ上运动，求△APQ面积的最大值.

若θ∈，π，则由图4易知，（S△APQ）max=a·-cos（π-θ）=.

教师：很好，考虑问题很全面，已经有发散性思维了！数学意识增强了嘛！

课后感悟

简单，意味着在课堂上我们要放弃一切与学生思维无关的行为；简单，意味着我们的教学要确定简明的教学目标，选择简约的教学内容，设计简洁的教学环节，采用简便的教学方法；简单，意味着学生因喜欢而轻松愉快、积极主动地欣然接纳！而数学教学也只有简约、沉静下来，我们才能够看清数学教学的庐山真面目. 所谓“大道至简”，大概就是这种境界！