高中数学学习中学生的思维过程探究

赵娟

[摘 要] 有效教学是以学生的有效学习为基础的. 高中数学教学中，把握学生学习过程中的思维特征，尤其是把握学生的思维细节，可以为有效教学提供坚实支撑. 把握学生思维的策略在于学习过程中的言语表现、学习行为及其课后的问题解决三者.

[关键词] 高中数学；学习过程；思维；有效教学

在有效教学的要求之下，高中数学教学的有效性基础在哪里？笔者给出的回答是学生的学习过程，只要学生的学习过程是有效的，那学生所建构出来的数学意义就是有效的，就能够有效地促进学生应用数学知识去解决数学问题. 问题的关键在于，学生的过程是不是真正的有效呢？更多的时候，学生的学习过程是难以为教师所把握的，教师能够把握的往往只是自己的教的过程，知道哪些是教学重点与难点，知道如何去强调重点与突破难点，但自己的教学策略是否有效，往往无法直接判断，只能根据学生的学习反应（如课堂上的回答与课后的作业情况）去进行判断. 这实际上考验着数学教师另一个重要的能力，即根据学生的学习反应准确地把握学生的学习情况的能力. 笔者以为，在这个过程中，抓住学生的思维过程是最为有效的. 基于这一考虑，笔者对学生在高中数学学习过程中的思维特征进行了研究，在此形成文章，希望给高中数学教学同行一点启发.

学生数学学习过程中的思维示例

学生的学习过程要远比教师所认为的复杂得多，这就是很多时候教师认为自己的“讲功”足够而学生的学习效果却不理想的主要原因. 传统的高中数学教学强调“以教促学”，即通过自身的教去促进学生的学，而现代教育理念强调的则是“以学定教”，以根据学生的实际学习情况去选择最佳的教学方法，这种主体与客体位置的对调，决定了当下的教学研究重心应当落在学生的身上，具体地说就是落在学生的思维上.

在高中数学学习的过程中，学生的思维是怎样的呢？笔者试以人教版“任意角的三角函数”这一内容教学为例进行一些阐述. 在教学引入的环节，笔者设计的思路是通过复习学习原有的锐角三角函数的知识，去引入任意角的三角函数知识. 笔者设计的教学是这样的：给你一个任意锐角α，你能不能借助于一个三角板作出它的正弦、余弦以及正切值？根据笔者的教学预设，这应当是一个较为简单的学习任务，因为只要基于这个角构建出一个直角三角形即可. 事实是不是如此呢？当笔者留心观察学生的学习行为时，结果却发现相当一部分学生在作出了一个锐角之后，就无法继续了. 考虑到如果告诉学生方法，那这一学习过程就没有什么意义了，于是笔者没有急着给出提示，而是让学生通过讨论的方法去解决问题. 结果经过讨论，总算有部分学生理解了构建直角三角形的思路. 笔者思考：学生为什么会在这个环节出现困难？在课后的口头调查过程中笔者了解到，原来学生的思维中，锐角的三角函数就是机械的特殊值的三角函数的记忆，而对于三角函数的由来却忘记得一干二净. 而笔者判断这与学生此前的学习方式有关，他们更多的在乎学习结果而忽视了数学知识构建的过程.

事实上，在后面的学习过程中，学生的思维表现进一步证实了笔者的分析. 因为当笔者引导学生通过函数的观点去看待正弦、余弦与正切时，学生很难从自变量与函数两个角度去构建对它们的理解，这说明学生在学习三角函数的时候，缺少必要的函数思维，而这也成为本知识学习过程中的最大思维障碍. 知道了这一点，后续的教学就有了明确的方向. 同时，这一事例也表明，在学生的数学学习过程中，总有一些具体的思维过程容易为教师所忽视，因此教师不能用自己的想象与知识发生的逻辑关系，去代替学生的真正的思维过程，而应当实际判断学生的学习表现并推理学生的思维过程，这样才能真正做到以学定教.

把握并准确判断学生思维的策略

学生在数学学习过程中思维是内在的，正是因为这种内隐性，使得学生的思维过程难以为教师直接把握. 但是只要学习在发生，就能够寻找到判断学生思维过程的有效办法. 笔者在自身实践的基础上，提出这样的一些策略供同行批评指正.

策略一：根据课堂上学生的言语信息即时判断学生的思维过程. 学生在学习过程中，总要通过语言与教师或同学交流，总要通过语言来表达自己的学习思考，因此学生语言是判断学生思维过程的第一要素. 在“任意角的三角函数”一课的教学中，当笔者提出一个直角三角形中理论上有几个三角函数的时候，有学生直觉性地回答“三个”，也有学生迟疑一刻之后在下面轻声地说“不会吧，老师怎么会问这么简单的问题”，还有学生则在思考片刻之后回答“六个”. 这样的语言表达通常情况下都会被教师忽视，但事实上如果仔细分析，可以发现不同回答背后的思维过程是不一样的：回答“三个”的学生是根据原来的经验给出的判断，属于原有知识基础上的隶属于数学本身的直觉思维；回答“不会吧，老师怎么会问这么简单的问题”实际上反映的是一种学习习惯或者说学习品质，他们对“三个”的答案表示怀疑，但又琢磨不出确信的答案，这属于一般性思维；回答“六个”的学生，往往是在对原来的正弦、余弦和正切函数的具体分析上，通过进一步思考，认识到正弦函数是对边与斜边的比值，那反过来必然就可以得到另一个三角函数，尽管这个函数的名称是什么并不清楚，但理论上是存在的，这是基于三角函数定义并经由逻辑推理得出的结果. 那么，在教师的教学中，根据不同学生的思维，即时设计好这一教学环节，就可以取得有效教学的效果.

策略二：根据课堂上学生的学习行为即时推理学生的思维过程. 这里所说的学习行为，主要是指学生在学习过程中的即时表现. 在任意角的三角函数教学中，当笔者让学生判断、、、-的大小时，不少学生在自己的草稿纸上去逐个判断四个角，显然，这些学生还没有明白三角函数的周期性特征. 另有一部分学生就没有急着画图，而是坐在位置上盯着这四个角去判断，当他们露出会心的笑容时，笔者就几乎肯定他们已经发现了这四个角的规律. 需要注意的是，教师在实际教学中千万不能过于表扬后者而轻视前者，这实际上只是两类学生不同的思维方式与思维水平而已，有效的教学策略应当是先让前一类学生去说说他们的思路与发现，然后再让后一类学生去说说他们的思路，这样就可以彰显分层教学的效果.事实也证明，经过这样的教学过程，学生对sin（α+2kπ）=sinα、cos（α+2kπ）=cosα、tan（α+2kπ）=tanα（其中k∈Z）的规律记忆效果非常好.

策略三：根据课后学生的问题回答与解决情形反推学生的思维过程. 这实际上是传统数学教学中的重要动作，但笔者这里要强调的是，根据学生的解题过程去判断学生的思维，要防止情绪化的倾向. 很多时候当我们看到学生在问题解答过程中的一些匪夷所思的答案时，常常认为学生“笨”，事实上很多时候这些现象暴露出的是学生起始思维困难，或者思维不够缜密等不足. 有了平和的心态，往往可以发现其中蕴含的思维因素. 关于这一点，不赘述.

提升学生数学学习思维的有效性

要提升学生在高中数学学习中的思维有效性，最终还是需要教师把握学生的学习规律，只有按规律办事，学生才能学得轻松，有效教学也才有可能真正实现. 而按规律办事，就意味着教学不是按教师的想象办事.

具体来说，提升学生在数学学习中思维的有效性，关键在于学生的数学意识.很多时候，学生数学学习不理想，缺少的就是从数、形及其描述数形的规律角度去思考问题. 譬如“任意角的三角函数”一课中，对于任意角α的三角函数的定义域的教学，要引导学生生成“凡是函数都应当存在定义域”的认识，在此基础上再引导学生从弧度制的角度去思考函数实际上就是角与实数的集合的一种对应关系，这样从弧度与实数结合的角度去描述不同三角函数的定义域，就可以顺利得出正弦、余弦和正切的定义域. 从笔者的视角来看，这里的数学思维主要集中在两个层次：一是定义本身的数学含义，这是传统教学中强调的重点；二是弧度制与实数集合之间的对应关系，学生一旦形成这种意识，就可更好地理解弧度制（事实上这本身就是一个难点），并在以后的三角函数学习中更好地利用这种理解去构建新的三角函数知识.

同样需要指出的是，在数学教学中促进学生的数学思维，还可以借助于学生的反思性学习，如让学生比较任意角三角函数学习中的不同建构方法，学生可以认识到此前是借助于直角三角形来建构特殊角的三角函数的，而现在则是借助于坐标系中单位圆及其终边的坐标及其比值来学习三角函数的. 这样的发现，对于学生来说实际上意味着数学学习思路的转变，而这样的转变对于催生新的数学思考而言，有着积极的意义.

综上所述，高中数学学习的过程中，从学生学习的角度研究有效教学的可能性，可以更好地把握学生在数学学习中的思维特征，可以真正实现以学定教的教育理念.