基于传输矩阵方法的一维光子晶体禁带结构分析

赵华

（黔南民族师范学院物理与电子科学学院，贵州都匀558000）

基于传输矩阵方法的一维光子晶体禁带结构分析

赵华

（黔南民族师范学院物理与电子科学学院，贵州都匀558000）

利用传输矩阵的方法，研究了一维光子晶体中光波的传输特征。通过数值计算，讨论了光子晶体的介质的层数、介质层的厚度以及介电常数对光子晶体禁带结构特征的影响，这对于光子晶体的设计具有一定的参考作用。

光子晶体；传输矩阵；禁带

光子晶体的概念在1987年由Yablonotich首次提出［1］，是一种人造周期性结构，由折射率周期性变化的介质组成。光在这种结构中传播时，某些频率的光波将受到抑制，形成光子禁带。光子晶体可以用来制造微谐振腔、品质优良的滤波器和集成光路等，成为光子学和光子技术研究中的一个活跃的课题。光子禁带的结构特点、分布特征及调控方法等都是重要的研究问题。为了实现对光子晶体禁带结构的调控，材料折射率随位置周期性变化［2］以及含特异材料［3］、单负材料［4］组成的光子晶体最近被广泛研究。一维光子晶体是最简单的一类光子晶体，利用分子束外延生长技术，实验上可以将两种或多种折射率不同的材料交替生长形成薄膜结构，理论上近似当作一维光子晶体来研究。

目前，计算光子晶体禁带结构常用的方法主要有传输矩阵法、有限元法、多重散射法和平面波展开法等。王忆锋等基于Matlab计算软件还提出了一种通过求解线性方程组的处理方法［5］。由于光子晶体具有周期性的结构，传输矩阵法是研究此类问题最常采用的方法。周期性势场中运动的电子与折射率周期性变化的光子晶体中运动的光子十分相似。这种方法在介观系统的电子输运问题中也被广泛采用［6］。因此，系统归纳传输矩阵方法，找到计算机编程容易实现的计算方式，对研究此类问题十分重要。

本文基于传输矩阵的方法，研究了ABAB......ABA型结构的一维光子晶体禁带分布特征，给出了传输矩阵法详细的处理过程，讨论了光子晶体的结构周期数和介质的厚度对禁带结构的影响，并给出了一种禁带展宽的方案，这对于相关光学器件的设计具有理论参考价值。

1　模型和方法

图1　一维光子晶体结果示意图Fig.1 Schem atic diagram of one-dim ensionalphotonic crystal

如图1所示，我们选取典型的一维光子晶体模型［5，7］，由两种相对介电常数分别为，厚度分别为的A和B薄介质层交替排列构成一维周期性结构材料。空间周期宽度为；空间周期重复次数为P。光子晶体以介质A开始，同时仍以介质A结束，构成ABAB......ABA型结构。一束频率为ω的光从空气由左向右正入射到光子晶体的各介质层，再重新回到空气介质。整个系统中，不同介质的交接面数N=2P+2，可以分为N+1个区，其中第1和N+1区为空气介质，第2到第N区为介质A和B。

以TE波为例，系统中各个区间传播的一维平面波满足波动方程：

其中：

坐标系的选取如图1所示。

方程（1）的通解为

将（4）代入到（6）中，结果可以写成矩阵形式：

令，

则（7）式可以写为：

（10）式将相邻的区间的透射振幅和反射振幅联系起来。由此可得，

称为系统的传输矩阵。对于第N+1区的空气介质，没有反射波，dN+1=0。因此有：

光在整个系统中的透射率为：

在T=0处对应光子晶体的禁带位置。通过上面的推导可以看出，求解光波对光子晶体的透射率的核心问题是计算传输矩阵M，这可以通过（12）式中一系列具体矩阵相乘求得，与文献［7］比较，此处推导过程直观明了，并且相关计算在计算机编程中是非常容易实现，比如Matlab软件就可以非常方便地处理矩阵计算问题。另外，这个计算方法还可以推广到其他具有周期性结构的问题中。给定介质材料及其厚度，我们可以利用数值计算，做出透射率T随频率ω的变化谱线，分析光子禁带的结构特征，寻找调节光子禁带结构的方案。

2　结果与讨论

如图2所示，我们首先给出了周期数P=5时透射系数T与入射光频率ω的关系曲线图。从图中可以看出，中心频率为ω0的奇数倍时存在光截止区，而ω0的偶数倍处禁带消失。这与文献［5，7］的结果完全一致，由此可以说明本文所采用方法的可靠性。

图2　系统周期数P=5时的透射率谱Fig.2 The spectrum of transm ission coefficients of the system with periodic number P=5

在图3中，我们给出了不同介质层数（周期性结构空间重复次数P分别为6、12、18）时，系统的禁带结构图。从图中可以看出，随着介质层数的增加，系统在导带区域的震荡明显加剧，这是由于光波经过系统时，发生反射和透射次数随介质层数增加而增加导致的。而禁带的分布及其宽度，几乎没有明显的改变，这说明系统不能通过改变介质的层数调节其禁带结构。

图3　系统取不同周期数时的透射率谱Fig.3 The spectrum of transm ission coefficients of the system with various periodic numbers

系统的透射率T取决于Kj和Xj，即依赖于介质的折射率（介电常数）、入射光波的频率以及各介质层的厚度。在实际的光子晶体的制备中，介质层的厚度往往是比较容易调控的量。我们可以考虑通过调节介质层的厚度对光子晶体的禁带结构进行调控。在图4中我们给出了周期结构重复次数P=10时，保持B介质层厚度不变，增加A介质层厚度时，系统的禁带结构图。从图中可以看出，系统禁带的结构随介质A厚度的改变而明显改变。当介质层A厚度增加50%时，在中心频率为2ω0和4ω0处出现了新的光波截止区，当介质层A的厚度增加100%时，中心频率为3ω0处变成了导带区。因此，改变介质层的厚度，是一种调控光子晶体禁带结构的有效手段。

图4　系统取不同介质层厚度时的透射率谱Fig.4 The spectrum of transm ission coefficients of the system w ith different thickness of the dielectric layers

在光子晶体的应用中，往往要求光子禁带的结构越宽越好。在不改变光子禁带结构的前提下，即不改变各介质层的光学厚度，可以通过改变介质层的厚度及相应的介电常数来实现光子禁带结构的展宽或者收窄。图5中选取参数为周期结构重复次数P=10， εb=1.9044，b=1260nm保持不变。图（a）、（b）和（c）分别对应εa=5.5225，a=740nm、εa=16/9*5.5225，a=3/4*740 nm和εa=4*5.5225，a=1/2*740nm时系统的禁带结构图。通过图5可以看出，由于介质A的光学厚度并没有发生变化，光子晶体的禁带分布情况保持不变。但随着介质A的介电常数（折射率）的增大，光子禁带的宽度显著增宽。这是由于介质A、B折射率差值增大导致的［8］。因此，通过选取合适的材料，调整材料的相应厚度，可以在不改变光子晶体禁带结构的前提下，在一定程度上实现对禁带宽度的调节。这对于光子晶体的设计和制造具有一定的参考意义。

图5　系统选取不同A层介质时的透射率谱Fig.5 The spectrum of transm ission coe fficients of the system w ith differentA layer dielectrics

3　结语

本文采用传输矩阵的方法，分析了一维光子晶体的禁带结构特征。文中给出了简单直观的传输矩阵的推导过程，并且易于实现计算机编程的数值计算，可以推广到其他具有周期性结构的问题中。通过计算发现，改变光子晶体中介质的层数并不能改变其禁带分布情况，而改变介质的厚度是一种方便有效的调节光子晶体禁带结构的方法。在不改变A层介质层光学厚度的前提下，将其更换为折射率更高的介质，可以显著增加光子晶体禁带的宽度，并且不改变光子晶体原有的禁带分布情况，这对于光子晶体器件的设计具有一定参考价值。

［1］Yablonovitch E.Inhibited spontaneousemission solid state physicsand electronics［J］.Phys.Rev.Lett，1987，58（20）：2059-2061.

［2］王光怀，王清才，吴向尧，等.一维函数光子晶体的研究［J］.物理学报，2015，61（13）：134208.

［3］武继江，高金霞.含特异材料一维超导光子晶体的带隙特性研究［J］.物理学报，2013，62（12）：124102.

［4］康永强，高鹏，刘红梅，等.单负材料组成一维光子晶体双量子阱结构的共振模［J］.物理学报，2015，64（6）：64207.

［5］王忆锋，唐利斌.一维光子晶体禁带结构的MATLAB分析计算［J］.红外技术，2011，33（1）：21-26.

［6］夏建白，朱邦芬.半导体超晶格物理［M］.上海：上海科学技术出版社，1995.

［7］刘鸿娟，叶志清，邓海东，等.用传输矩阵方法计算一维光子晶体的禁带结构［J］.江西师范大学学报（自然科学版），2003，28（2）：105-109.

［8］陈慰宗，忽满利，李绍雄，等.一维光子晶体禁带的特点及增宽［J］.西北大学学报（自然科学版），2002，32（6）：625-628.

Analysis of the forbidden band structure of one-dim ensional photonic crystal based on transform m atrix m ethod

ZHAO Hua
（Department of Physicsand Electronics，Qiannna Normal College for Nationalities，Duyun 558000，China）

Using the method of transform matrix， the light transfer characteristics of one- dimensional photonic crystal were studied. By numerical calculations， the effects which were bought to the photonic crystal's forbidden band structure by layers of dielectric and the thickness and the dielectric constant of the medium were discussed. This research has a certain reference value to the designing of the photonic crystal.

Photonic crystal；Transfermatrix；Forbidden band

O436

A

1674-8646（2016）18-0001-03

2016-08-06

贵州省普通高等学校创新人才团队项目（黔教合人才团队字［2013］29）；贵州省科学技术基金项目（黔科合J字［2012］2311）；贵州省高校优秀科技创新人才支持计划项目（黔教合KY字［2013］154）；黔南民族师范学院院级科研项目（qnsy2011qn11）

赵华（1982-），男，山东山亭人，硕士，副教授，主要从事介观输运问题研究。