排列组合问题的解题技巧与策略

周玉梅

解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列（有序）还是组合（无序），还是排列与组合混合问题.其次，抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行分类与分步.加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足类与类必须互斥（不相容），总类必须完备（不遗漏）；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性.分类与分步是解决排列组合问题的最基本思想策略.本文就排列组合问题的常用解题技巧与策略，做一例释.

一、特殊元素的优先安排法

对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排.操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”.

例1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）

二、相邻问题的捆绑法

对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看做一个元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.

例2.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）

A.60 B.48 C.42 D.36

解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记做A，（A共有6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记做甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端.则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求），此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左），最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以共有12×4=48种不同排法.

三、不相邻问题的插空法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可.

例3：马路上有编号为1、2、3…9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有种.

四、顺序固定问题的选位不排法

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数.或先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列.也可先放好顺序一定元素，再一一插入其他元素.

例4：5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

六、分排问题的直排法

把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法处理.

例6：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法.

解：7个人，可以在前后两排随意就座，没有其他的限制条件，故两排可以看成一排处理，所以不同的坐法有.

七、允许重复排列的住店法

解决允许重复排列的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复.把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”.

例7：7名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是多少种.

解：因同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将7名学生看成7家“店”，五项冠军看成5名“客”，每个客有7种住宿方法，由分步计数原理得N=八、分配问题的先分堆再排列法

对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入.

例8.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有？摇？摇 ？摇？摇种（用数字作答）.