数学广角的取与舍

董江飞 陈金波

在一次研修活动中，有3位老师对“烙饼问题”一课进行同课异构，受益匪浅.不管是环节顺序、活动组织，还是问题设计，都反映出执教者对教材的理解，但是对某些教学环节的“取舍”笔者有些个人想法，与大家探讨.

一、舍之有理

1. 教学“一个饼、两张饼的烙法”

学生对一个饼的面数、两个饼的时间推算有多大的困难？在教学中是否真的有必要讨论“一个饼要烙几面？需要几分钟？怎么烙？两个饼怎么烙？需要几分钟？”而且用手势来演示烙两个饼的过程，学生需要这样的帮助吗？

【我的教学片断】

教师出示烙饼要求：每次最多只能烙两个饼，两面都要烙，每面3分钟.

师：这句话告诉我们什么？

生：一次最多只能烙两个饼，而且两面都要烙，每个面都要烙3分钟.

师：一次可以烙3个饼吗？可以烙一个饼吗？

生：每次只能烙一个或者两个饼.

师：那么烙一个饼需要几分钟？烙两个饼又需要几分钟呢？

学生口答

生：烙一个饼需要6分钟，烙两个饼也需要6分钟.

师：为什么饼的个数不一样，所用的时间却一样呢？

生：因为两个饼可以一起烙，所以所用的时间一样.

教师小结：因为锅里一次最多可以烙两个饼.

这个环节通过对烙一个饼、两个饼的处理，使学生对“怎样烙饼最省时”有了进一步的认识，这个认识不是教师告知学生，而是学生结合生活经验，通过观察深入思考逐步获得，这样能用更多的时间来探究3个饼烙法.

2. 教学“6个饼的烙法”

许多老师在教学6个饼烙法时，都会让学生对比6个饼分成2个2个2个烙好，还是分成3个3个烙好.通过两种不同分法的对比，确实让学生感悟到：（1）烙的次数和所用时间相同的情况下，选择哪种烙法更加好.（2）从“优化”角度出发，学生在“省时”的前提下还考虑了“省事”.但本课难点应在3个饼最优烙法上，所以6个饼没有必要大费周章的比较.

【我的教学片断】

师：除了4个饼，你认为还有几个饼也能像这样分成2个2个的同时烙？

生：6个、8个、10个……

（双数的饼）

师：那么烙6个饼需要几次？要用多少时间？

学生口答.

生：需要烙6次，一共需要18分钟.

如果学生在这里回答了6个饼可以分成3个3个烙，那么就快速对比下，如果学生没有说，那么可以快速带过，毕竟学生已经很好掌握了4个饼的烙法，而6个饼只是套用4个饼的烙法，对学生来说是很简单的一件事.

3. 教学“烙饼的规律”

对于“要不要发现烙饼张数与最少时间之间的关系”一直存在争论，是不是没有总结出来烙饼的规律就是一个遗憾？烙饼规律的总结是否有助于学生提升思想方法？而只有“烙饼的最少时间 = 烙的饼数 × 每面需要的时间”这个规律在学生的头脑当中建构，课堂才会更具深度和完整性. 如果学生在这里能顺利得出烙饼规律更加好，如果不能很顺利的出来，我们完全没有必要非要让学生发现不可.因为烙饼问题的核心思想是：理解不同张数饼的最优方案关键是“每次总烙2个饼，不让锅里有空余”.只要在探究的过程中，把饼分为奇数个饼和偶数个饼进行分析，就自然而然地解决了知识上的问题，又能让学生在探索过程中发现认知规律，还可以将大量的时间节省下来，使学生有充足的时间进行教学思考.而且这个规律还有很大的局限性，如果一个锅能烙3个饼呢？所以学生只要知道怎么烙最省时就可以了.

【我的教学片断】

师：请同学们仔细观察这个表格，你有什么发现？

生：每多烙一张饼时间就增加3分钟.

教师在课堂上要充分体现“三讲三不讲”原则，在教学中教师要考虑到学生到学情，有些教学目标就应该舍去，如果教师在教学中做到面面俱到，处处关注，反而导致教学中的目標不够明确， “学生自己能学会的知识不讲”更能体现教师的心中是否装有学生，真正提高机会让学生自己尝试探索.

二、取之有道

1. 教学“3个饼的烙法”

3个饼的烙法要让学生参与知识的形成过程，通过9分钟烙法和12分钟烙法进行比较，让学生进一步体验优化的根源是“每次总烙2个饼，别让锅有空余”.如何来突破3个饼的烙法，让学生能真正理解这种烙法，明白为什么时间会少，少在那里？我觉得很有必要进行两次动手操作探究.

第一次操作：

师：请你猜一猜烙3个饼需要几次，一共需要多少时间？

生2：我的方法只要9分钟就够了.

师：请同学们动手来验证9分钟的烙法是否可行.

（动手验证并且记录）

学生到黑板上演示9分钟到烙法，叙述烙饼的过程.

师：2号饼为什么要放在黑板上？

生2：拿出2号饼，才可以烙1号和3号，这样用的时间就最少.

生3演示烙饼过程

第二次操作：

师：这种方法，请你动手再操作一遍，并重新记录.

生：9分钟的烙法，因为这种方法用的时间少.

师：时间少？少在哪里？

生：12分钟的烙法烙了4次，9分钟的只要3次就够了.

师：为什么次数会不一样呢？

生：12分钟的烙法第3、4次，锅里只烙了一个饼，锅里有空余.

师：那你们觉得怎么烙最省时间？

生：只要每次总烙2个饼，这样所用的时间肯定最少.

从统计表中可以看出：1. 学生能快速说出9分钟烙法的人数很少，大部分学生的想法都是要烙12分钟；2. 第一次讲解后大部分学生已掌握，但这种掌握是模仿的，不是学生主动探索出来的；3. 第二次操作后，几乎全部的学生都会了.所以2次动手操作很有必要，进一步感悟“交叉烙”的优化性，为后面学习打下基础，只有在烙3个饼的时候，舍得花时间，整个课堂才会更有深意.

2. “烙饼问题”的运用

“烙饼问题”是一种数学思考方法，优化思想是我们生活中经常遇到的问题.当学生建立模型后，还应该让学生运用优化思想，利用烙饼问题的模型解决生活中的实例，提高学生运用所学知识解决问题的能力.

【我的教学片断】

出示教材107页的例2.

师：这个题目和我们学过的“烙饼问题”有联系吗？

生：可以把医生看成是“锅”，可以把同学看成是“饼”.

师：怎么检查所用的时间肯定最少？

生：只要每个检查没有空余是节省时间的最有效策略.

检查身体是生活中经常碰到的例子，学生在理解题意以后，一开始很难与刚刚学过的烙饼问题产生联系，这时通过教师的提醒，学生马上联想到了把医生和学生分别看成“锅”和“饼”，运用优化思想来解决这个问题，让学生通过解决实际问题进一步体会优化思想在实际生活中的作用.

烙饼问题在教学中不仅要关注解决问题方法的探究，还要对学生进行数学思想的渗透.如果说“吃饼”是结果的话那么“烙饼”就是过程，如何让学生吃到“饼”呢？我想只有落实烙饼的过程，抓住核心问题，舍去学生已经会的或者对学生促进意义不大的，学生不但能真正吃到“饼”，还能在这个过程中体验到快乐.