数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用研究

韦文珍

【摘 要】本文主要就在初中数学问题解决教学中，数形结合、方程与函数、分类讨论、化归与转化这四种数学思想方法展开相关的研究，最终希望借助于本次研究，能够为数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用，提供一些可供参考的内容。

【关键词】数学思想方法；初中数学教学；问题解决

在初中数学的教学中，教师要教会学生学习数学的方法而不是教会学生怎样求解这导题，要“授之以渔”。但是大多数的初中数学教师都注重教授学生数学的定理、概念及公式，往往忽略了对学生进行数学解题思维的训练。在初中数学的教学中，主要有数形结合、方程与函数、分类讨论、化归与转化这四种数学思想方法，教师应该结合具体的教学内容，以数学思想方法对学生教学。据此，下文将就数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用，展开相关的分析及研究。

一、数形结合思想

数学是一门研究空间形式和数量关系的学科。“数”与“形”是数学学科中的两个最基本的概念，数量可以通过几何图形表现出来，几何图形中也蕴含着某种数量关系。在初中数学的教学中应该突出数形结合的思想，帮助学生培养这种数形结合的解题思维，有利于学生将复杂的题目简单化、便于理解；有利于学生对相关数学知识的记忆；有利于学生对于相关问题进行思考及找到便捷的解决方法。

（一）由“数”推“形”

在初中数学问题进行讲解时，教师可以将复杂的代数问题用几何图形表示出来，从中找取相应的数量关系，进行解答。尤其是对于相反数、绝对值的概念、有理数的大小的比较、函数等知识的教学时，可以充分利用数形结合的思想，帮助学生理解相关的概念，优化解答的方法。

例1：△ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状。

解：∵a2+b2+c2-ab-ac-bc=0

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2ac+c2=0

（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0

∴（a-b）2=0，（a-c）2=0，（b-c）2=0

∴a-b=0，a-c=0，b-c=0

∴a=b=c

∴△ABC是等边三角形。

（二）以“形”表“数”

初中教师对于一些从题目看起来十分复杂的代数问题在进行讲解时，可以利用已知的条件去构造相关的图像，在根据图形的特征去寻求答案。这种解题的思路有助于培养学生的画图能力，并考察学生对于几何图形的知识掌握情况。

例2：若m，n（m

分析：本题若直接从方程的角度去求解，难度较大且运算容易出错。若将其转化为求函数y=1和y=（x-a）（x-b）的焦点坐标，画出这两个函数的图像，就可以利用函数图像求其解。

依據图像可知m，n，a，b的大小关系是m

二、方程与函数思想

方程与函数是初中数学教学的主要及重点内容，方程思想是把一系列数值通过找取关联列成等式，从中求解的思想，而函数思想则是把数学问题中各数量间的联系用函数表述出来的思想。在初中数学教学中，教师需要将函数与方程的思想紧密联系，在两者之间寻求联系进行相互的转化，从中求得解决问题的方法。

例3：已知：等腰直角三角形△ABC中，AB=BC=6，若点P为线段BC边上的一个动点，PQ∥AB交AC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点C与线段MN不在线段PQ的同侧，设正方形PQMN与△ABC的公共部分的面积为S，CP的长为x.

（1）试写出S与x之间的函数关系式；

（2）当P点运动到何处时，S的值为8.

解：（1）①当0

②当3

（2）①当0

②当3

x=2（舍去）或x=4

三、分类讨论思想

分类讨论的思想是我们日常的生活中经常用到的一种方法，也是解决数学问题最常见的方法之一。在初中数学教学中，需要将分类讨论思想分为“分类”和“讨论”这两个层面来进行教学。让学生先确定分类的对象以及如何分类，其次让学生确定分类的标准，再让学生掌握分类的方法，锻炼学生进行科学分类，最后对分类的结果进行讨论。在进行分类讨论思想的教学时，需要教师坚持由浅及深、循序渐进的原则。在初中数学中分类讨论的思想不仅使学生掌握相关的分类方法，而且对“分类”的认识与理解更加深刻。掌握分类讨论思想方法，能够帮助学生更加准确、全面的看待问题。

例4：直角三角形的任意两条边长分别为3和4，求这个三角形的外接圆半径等于多少？解：注意题中给出的是任意两条边长，所以分两种情况讨论。

（1）当3、4是直角三角形的两条直角边时，斜边长为5，此时这个三角形的外接圆半径等于12×5=2.5

（2）当3是这个三角形的直角边，4是斜边时，此时这个三角形的外接圆半径等于

12×4=2。

从以上示例中能够看出合理地使用分类讨论思想对于初中数学问题有效解决的重要性。在分类讨论思想的指导下，学生可以将一些复杂的问题变得简单化，在提高问题处理效率的同时，也会加深学生对部分数学知识点的理解，对于他们学习成绩的提高及数学思维模式的转变具有重要的保障作用。

四、化归与转化思想

“化归”是转化和归结的意思，是将新的问题通过转化，归结到一类已经学过的类型中去解决的方法。化归与转化思想在初中数学教学解题中十分常见，是分析解决初中数学问题最有效的方法。利用化归与转化的思想进行初中数学的教学，可以化难为易，化繁为简，运用所学知识来解决复杂的难题。教师通过在初中数学中讲解化归与转化的思想，可以帮助学生加深对于相关知识的理解与记忆。

例5：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC，DB相交于O点，且AC⊥DB，AD=6，BC=10，求AC.

分析：（1）根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，从而解决问题。

（2）此题也可证△AOD和△BOC是等腰直角三角形，进而分别求出AO、OC的长，

则AC=OA+OC.

最终求得AC=8

通过对以上例子的有效分析，可知化归与转化的思想对于初中数学教学质量提高的重要性。对于一些复杂的、抽象的数学问题，老师应正确地引导学生加强对这种思想的理解，促使学生们在较短的时间内可以顺利地解决问题，学会运用化归与转化的思想的同时及时地掌握这些问题中所包含的数学知识点。与此同时，化归与转化的思想在初中数学各种复杂问题解决过程中的有效使用，有利于推动初中数学教育体制的改革，提高课堂教学效率的同时能够更好地转变老师传统的教学思路。

五、结束语

本文主要就数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用，进行了相关的分析与探讨。依次就数形结合、方程与函数、分类讨论、化归与转化这四种数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用进行了相关的分析与研究。最终希望通过本文的分析研究，能够给予的数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用，提供一些更具个性化的参考与建议。

参考文献：

[1]钱珮玲.中学数学思想方法[M].北京师范大学出版社，2002.

[2]代钦，斯钦孟克.数学教学论[M].陕西师范大学出版社，2009.

[3]江兴代.初中数学思想方法教学初探[J].中学数学教学，1994（5）.