《概率》教学的几点建议

梁木

概率与统计是高中数学教学中学生难于理解的内容之一。笔者结合多年的教学实践总结了以下教学经验，在教学中这些都是学生容易发生的错误，仅供参考。

一、等可能事件的判断

例1：掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率。

错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，有利于事件A的结果只有3，故 P（A）=。

分析：公式仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这样情况（1，1）才出，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其它的情况可类推。

正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），结果总数为6×6=36。

在这些结果中，事件A的含有两种结果（1，2），（2，1）。

二、等可能事件中事件总数与事件A包含事件数计算方法不一致的问题

例2：从含3件次品的10件产品中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。

错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7个可能的结果。

设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有 种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件），

分析：计算所有可能结果个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。

正解：（1）都用排列方法

所有可能的结果共有个，事件A包含个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有种取法）

（2）都用组合方法

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有个可能的结果，事件A含有种结果。

三、互斥与独立概念不清楚

例3：甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？

错解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为A+B。

分析：本题错解的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和。

正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件AB。

例4：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少：

错解：设电话响第1声时，被接的概率为：P（A1）=0.1

电话响第2声时被接的概率为：P（A2）=0.3，

电话响第3声时被接的概率为：P（A3）=0.4，

电话响第4声时被接的概率为：P（A4）=0.1，

所以电话在响前4声内被接的概率是：P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）

分析：本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑，而电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥。

正解：P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）

分析：以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同。两事件A，B互斥与A，B相互独立，这两个概念有何关系？.A，B互斥，则P（A︱B）=0，P（A︱）= P（A）从而A发生的概率与另一事件B是否发生密切相关。而那种认为“两事件相互独立必定互斥”的认识是错误的。因为在P（A）>0，P（B）>0的条件下，若A，B相互独立，则P（AB）=P（A）·P（B）>0；而若A，B互斥，则P（AB）=0，两个概念出现矛盾，这就说明在P（A）>0，P（B）>0的情况下，相互独立不能互斥。

因此，在一般情况下，互斥与相互独立是两个互不等价，完全不同的概念。

四、混淆互斥与对立的概念

例5：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）

（A）至少有1个白球，都是白球

（B）至少有1个白球，至少有1个红球

（C）恰有1个白球，恰有2个白球

（D）至少有1个白球，都是红球

错误答案（D）。

分析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同

要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。

正解（A），（B）不互斥，当然也不对立，（C）互斥而不对立，（D）不但互斥而且对立，所以正确答案应为（C）。

五、元素相同与不同的判断

例7；将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件A=“某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率”。

错解：将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中，所有可能的结果数为Nn，而事件A含有n！种结果。

分析：这种解法不全面，如果球是编号的（即可辨认的），则答案是对的；若球是不可辩认的，则答案完全错了。因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球。我们在此用符号“□”表示一个盒子，“○”表示球，先将盒子按号码排列起来1 2 3 4 5…N

这样的N个盒子由N+1个“|”构成，然后把n个球任意放入N个盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在这样的放法中，符号“|”和“○”共占有：N+1+n个位置，在这N+1+n个位置中，开始和末了的位置上必须是“|”，其余的N+n-1个位置上“|”和“O”可以任意次序排列。则N-1个“︱”和n个“○”在中间的N+n-1个位置上的可以区别的所有可能结果数是，将n个不可辨认的球放入指定的n个盒子，使每盒恰有一球的放法只有1種，故事件A含1个结果，从而正解：分两种情况：

（1）当球是可辩认的，则 P（A）=n！/Nn

（2）当球是不可辨认的，则 P（A）=1/

以上是学生在学习概率中经常出错的地方，老师在教学中应该针对以上的问题进行教学，希望我们在教学中积极的总结经验，为B版教材的完善做出应有的贡献。