含余弦三角函数的不定积分解题方法研究

沈秀娟

摘 要：含三角函数的不定积分是一种常见而重要的积分，由于三角函数的导数仍然是三角函数，其计算过程都比较繁琐。本文对三角函数有理式的积分进行归纳、总结、探讨其规律， 以减少在对三角函数有理式积分时所遇到的困难，将含的三角有理函数的不定积分进行分类，归纳每一类的解法，从而达到更快更方便求解这一类题。

关键词：余弦三角函数；不定积分；凑微分法；分部积分

三角函数有理式积分，并不存在能对一切情况都适用的固定方法，灵活性很大，因此是不定积分中较难掌握的一种积分.文章主要对含的三角有理函数的不定积分的计算做了以下分析和归类.

一、形如的不定积分

（1）当m为奇数时，可利用变量变换，提出后，再利用恒等式

即，一般将化作，又可化为，因此可化为来进行计算.

再利用幂函数之积分公式即可.

（2）当m为偶数时，即当时，一般利用倍角公式逐次降幂来进行计算.

二、形如的不定积分

三、形如

四、结论

在对三角函数有理函数积分时， 应该先观察被积函数的特点， 根据被积分函数的特点选择较为方便的解法进行积分以简化运算. 当不定积分中的被积函数为余弦三角函数时，其积分比较复杂.一般说来，不易直接看出求解方法，往往需先对被积函数作恒等变形，至于如何变形，则需从实践中不断总结经验，变形过程中常用到三角函数的基本关系式、积化和差公式、倍角或半角公式等.

参考文献：

[1]丁家泰.微积分解题方法[M].北京师范大学出版社.1981，8：248-275.

[2]張又林.微积分典型题解析及自测试题[M].西北工业大学出版社.第二版.2000，8：95-127.