索洛经济增长模型理论概述

王笑瑢

摘 要：索洛增长模型认为经济增长存在趋同现象，随着人均资本的增加，人均GDP增长率逐渐减少并趋于零，但是技术的进步可以使一个经济体保持长久的、稳定的GDP增长率。同时，索洛经济增长模型为经济增长贡献率研究提供了思路和方法。学习索洛增长模型对日后分析经济增长方面的课题具有重要作用。

关键词：索洛增长模型；趋同；贡献程度

一、模型的推导

1.假设条件

资本边际产品递减；规模报酬不变；劳动力参与率不变；忽略政府作用；封闭经济；家庭收入储蓄比例S，消费比例1-S；固定的人口增长率n；外生中性技术进步。

2.生产函数的推导

1928年，美国经济学教授道格拉斯与数学家柯布提出了柯布-道格拉斯生产函数（简称CD模型），其基本形式为Y=At·KαLβ，其中α、β分别代表资本弹性和劳动弹性，At表示第t年的技术水平，这个参数在短期内是个常量。

1957年，索洛将技术进步引入生产函数，提出希克斯中性技术进步函数Y=A（t）·F（K，L），具体形式为：Y=A0eλt·Kα·Lβ，其中A0为基期的科技水平，λ为科技进步系数或技术进步率，α、β为资本弹性和劳动弹性。

对上述方程取对数再对时间t求导，得：1/Y·dY/dt=λ+α/K·dK/dt+β/L·dL/dt。

由于实际经济活动及统计数据的非连续性，所以用差分替代微分，且dt=1，得：

ΔY/Y=λ+α·ΔK/K+β·ΔL/L （1）

令y=ΔY/Y，k=ΔK/K，l=ΔL/L，即得索洛增长速度方程：

y=λ+αk+βl （2）

从上式可以看出，索洛模型中认为影响经济增长的因素有技术进步率、资本以及劳动。通过测算出α和β的值，可以得出这三者对经济的贡献程度。

3.增长模型的推导

在上文中，技术进步率可以用ΔA/A来表示，则方程（1）可以写为：

ΔY/Y=ΔA/A+α·ΔK/K+β·ΔL/L （3）

在模型推导过程中，暂定ΔA/A=0。根据规模报酬不变，当ΔL/L=1，ΔK/K=1时，ΔY/Y=1，即α+β=1。因此，公式（3）可写为：

ΔY/Y=ΔA/A+α·ΔK/K+（1-α）·ΔL/L （4）

定义y=Y/L，又Δy/y=ΔY/Y-ΔL/L，Δk/k=ΔK/K-ΔL/L

对公式（4）进行移项，得出ΔY/Y-ΔL/L=α·（ΔK/K-ΔL/L），最终得出：Δy/y=α·Δk/k。

从上式可以看出，Δy/y受Δk/k影响。因此，在接下来的推导过程中，依次计算推导ΔK/K、ΔL/L、Δk/k以及Δy/y。

首先ΔK/K。根据国民收入核算的相关理论，实际国民收入（PI）=实际GDP（Y）-资本存量的折旧（δK）。在简单经济体中，从国民收入支出看，Y-δK=C+S·（Y-δK）；从实际GDP（Y）支出看，Y=C+I，两边减折旧，为Y-δK=C+（I-δK）。综上，C+（I-δK）=C+S·（Y-δK），即I-δK=S·（Y-δK）。又，ΔK=I-δK。所以，ΔK=S·（Y-δK），那么，ΔK/K=S·Y/K-Sδ。

其次ΔL/L。ΔL/L=n。

然后Δk/k。Δk/k=S·Y/K-Sδ-n。又因为Y/K=y/k，所以，该式也可写为Δk/k=S·y/k-Sδ-n，即为索洛增长模型。

最后是Δy/y。由上文可得，Δy/y=α·（S·y/k-Sδ-n）。

以上的分析推导过程是在忽略掉技术水平A的基础上进行的，现在将其加入。根据生产函数Y=A·F（K，L）及规模报酬不变假设，资本L和劳动K同时除以L，则意味着Y也需除以L，用公式表示为：Y/L=A·F（K/L，L/L），即：y=A·f（k），由此得出修正后的索洛增长模型：Δk/k=SA·f（k）/k-Sδ-n

二、稳态及有条件趋同

1.稳态

索洛增长模型表明，在长期经济增长过程中，资本积累无法保证经济持续发展。只有持续不断的技术进步，才能使经济保持稳定GDP增长率。因为随着人均资本的增加，人均资本增长率在逐渐下降并趋于零，导致人均GDP增长率也下降并趋于零，经济增长存在稳态现象。

索洛增长模型中的Δk/k受两部分影响，一是SA·f（k）/k，向下的曲线；二是Sδ+n，一条直线，Δk/k为二者的差。人均资本增长率Δk/k的大小受储蓄率S、技术水平A、人均资本k，折旧率δ以及人口增长率n的影响。

当固定除人均资本以外变量时，随着人均资本k的增长，Δk/k逐渐减少，并最终为零，此时的人均资本k达到稳态水平k*。

现在，放开对技术水平A、储蓄率S、折旧率δ以及人口增长率n的限制，考察它们对Δk/k的影响。

A、S及δ的变化影响曲线部分。当A、S或者δ有所提升时，在初始资本k（0）下，它们分别对应更高、更高、更低的Δk/k，随着k的不断增加，Δk/k逐渐减少，最终为零，此时K*也更高。同时，n的变化影响着直线部分。当n所提升时，在初始资本k（0）下，对应有更低的Δk/k，随着k的不断增加，Δk/k逐渐减少，最终为零，此时K*也更低。

综上，短期内，人均资本k、储蓄率S、技术水平A、人口增长率n以及折旧率δ的变动都会导致人均资本增长率Δk/k以及人均稳态资本K*或高或低的变化；长期内，无论这些因素如何变化，最终人均资本增长率Δk/k和人均GDP增长率Δy/y均为零，人均资本k达到稳态水平K*。但是当我们重新定义索洛模型中技术进步的定义时，会发现经济体可以实现持续的GDP增长。

2.有条件趋同

对于两个经济体或者多个经济体来说，索洛模型认为它们之间存在趋同，即经济落后的国家可以追赶上经济发达的国家。趋同现象的存在仍然是建立在之前关于稳态的分析基础之上的。

根据上文阐述，影响稳态人均资本K*的因素有S、A、δ及n。现在假设存在两个相互独立、封闭的经济体1和2，它们的初始资本k（0）不同，但是它们拥有相同的以上四个因素的数值，即它们的K*是一样的。

因此，虽然经济体1的初始资本较低，但是其因此而具有较高的Δk/k，使得k1逐渐接近k2，即经济体1向经济体2趋同。

当不同经济体的K*相同的时候，上述趋同存在。一旦该假设不成立时，则该趋同也不存在。

比如储蓄率s的不同导致两个经济体存在不同的K*。经济体1拥有较低的S和k（0），对应着较低K*；经济体2拥有较高的S和k（0），对应着较高K*。在这种情况下，两个经济体谁增长更快一点是不确定的，即他们各自的曲线与直线间的距离无法判断谁更长。因此，趋同失效。对于A、n及δ的变化，会导致相同结果--趋同失效。

在K*固定的情况下形成的趋同为有条件趋同。即较低的k（0）预期会带来较高的Δk/k，但要取决于K*。当存在较低的k（0）和较高的K*时，则会有较高的Δk/k；当存在较低的k（0）和较低的K*时，则会有较低的Δk/k。其中，K*与S、A同向变化，与n、δ反向变化。

三、结论

综上，索洛经济增长模型在两方面为今后经济增长研究提供思路和方法，一是贡献率，当掌握了劳动力、资本和技术与经济增长的关系之后，通过实证软件，可以明确三者对经济增长的影响程度；二是经济趋同，当一地区经济增长逐渐放缓，有趋同趋势时，是否人均资本出现问题是一个研究思路。

参考文献：

罗伯特·J·巴罗，沈志彦，陈利贤译.宏观经济学：现代观点[M].2008.