多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向弯曲振动频率的计算

冀　伟， 邓　露， 刘世忠, 蔺鹏臻

(1.湖南大学 土木工程学院，长沙　410082； 2.兰州交通大学 土木工程学院,兰州　730070)



多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向弯曲振动频率的计算

冀伟1，2， 邓露1， 刘世忠2, 蔺鹏臻2

(1.湖南大学 土木工程学院，长沙410082； 2.兰州交通大学 土木工程学院,兰州730070)

为合理计算多跨(跨度相等)等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥的竖向弯曲振动频率，运用能量变分原理、Hamilton原理及力法方程,建立了该类型箱梁在发生自由弯曲振动时考虑箱梁剪力滞效应、波形钢腹板剪切效应及两者耦合效应的频率方程。求解该频率方程获得了多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向弯曲振动频率的求解公式，所得计算公式的正确性得到了室内模型试验实测值、已建实桥实测值和三维有限元值的验证。随后分析了箱梁剪力滞效应、波形钢腹板剪切效应、波形钢腹板剪切模量修正、箱梁宽跨比变化以及不同波形形状对等截面波形钢腹板PC连续箱梁竖向弯曲振动频率的影响。所得结论可为同类型桥梁的竖向弯曲振动频率的计算提供参考。

波形钢腹板；竖向弯曲振动频率；能量变分法；桥梁工程；组合箱梁

波形钢腹板PC箱梁桥是一种新型的钢-混组合结构桥梁，该类型桥梁具有自重轻，预应力施加效率高，腹板抗剪强度高等优点，已经在国内外的桥梁建设中得到了广泛使用。

现有的研究文献表明，国外学者对波形钢板及波形钢腹板Ⅰ型钢梁的研究较多，研究内容主要集中在这两种结构的抗剪、抗弯和屈曲性能方面[1-9]；国内学者则对波形钢腹板PC箱梁桥的研究较多，研究内容主要集中在波形钢腹板PC箱梁抗弯、剪切及抗扭等力学性能方面[10-15]。

“公路桥涵设计通用规范:JTG D60—2015”[16]中规定桥梁结构的冲击系数可由桥梁结构的竖向基频获得，但规范中却没有针对波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向弯曲振动频率的计算公式。为此，本文为合理计算多跨(均指跨度相等的多跨)等截面波形钢腹板PC连续箱梁的竖向弯曲振动频率，运用能量变分原理、Hamilton原理及力法方程，推导出了该类型结构连续箱梁桥竖向弯曲振动频率的计算公式；采用室内模型试验实测值、已建实桥的实测值和三维有限元计算值验证了所得计算公式的正确性，在此基础上分析了箱梁剪力滞效应、波形钢腹板剪切效应、波形钢腹板剪切模量修正、箱梁宽跨比变化以及不同波形形状对多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁竖向弯曲振动频率的影响。本研究结论可为实际工程多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向弯曲振动频率的计算提供参考。

1　波形钢腹板的形状构造与剪切模量修正

波形钢腹板的形状见图1。由于波形钢腹板的特殊形状使其在桥梁纵向的有效弹性模量(抗拉、抗弯)很小，几乎不能承受轴力与弯矩，可以忽略其在纵向抗弯刚度[17]。

波形钢腹板剪切模量的计算与其波形的几何形状有关[18]，其剪切模量Gs相应的计算公式见式(1)。

(1)

式中：α=(L1+L3)/(L1+L2)为剪切模量的修正系数；Es与vs分别为钢材的弹性模量和泊松比；L1、L2与L3分别为波形钢腹板的平板段长度、斜板段的投影长度及斜板段长度(见图1)。国内外实际工程中最常用的波形钢腹板形状及相应的修正系数见表1。

图1　波形钢腹板的几何形状示意图Fig.1　Geometric shape of CSW

表1　 波形钢腹板形状与修正系数

由表1可知，波形形状对波形钢腹板剪切模量的影响显著。1600型波形钢腹板的波形形状对其剪切模量影响较小，1000型波形钢腹板的波形形状对其剪切模量影响较大，但是否考虑剪切模量的修正对波形钢腹板PC连续箱梁竖向弯曲振动频率的影响是未知的，因此在随后的分析中给出了剪切模量修正与否对该类型桥梁竖向弯曲振动频率的影响。

2　弯曲振动方程的建立

2.1基本假定

(1) 由于波形钢腹板在桥梁纵向具有手风琴效应，忽略其在纵向的抗弯作用。

(2) 波形钢腹板PC箱梁桥在纵向弯曲受力时，横截面的“拟平截面假定”成立[19]。

(3) 在图2所示坐标系下，在计算波形钢腹板PC箱梁上、下翼板的应变能时，假定上、下翼板的竖向应变、横向应变及板平面外的剪应变可忽略不计，即εy=εz=γxz=γyz=0，只考虑上、下翼板的纵向应变εx与横截面面剪切应变γxy。

(4) 波形钢腹板与混凝土上、下翼板在弹性范围内完全共同工作，不产生相对滑移。

(5) 波形钢腹板承受全部剪力，在运用能量变分法时，需要考虑其剪切应变能。

在图2所示坐标系下，hu与hl分别为混凝土上、下翼板中心到中性轴距离；b与ζb分别为箱中混凝土翼板净跨的一半和悬臂板长度。

图2　波形钢腹板PC箱梁的横截面示意图Fig.2　Cross section of the PC box girder with CSWs

波形钢腹板PC箱梁桥发生自由竖向弯曲振动时，由于剪力滞效应已不服从初等梁理论的平截面假定，因此引入两个动挠度的概念来描述其位移模式，即梁的竖向动挠度W与纵向动位移函数U[20]：

W=W(x,t)

(2)

(3)

(4)

2.2控制微分方程及自然边界条件

波形钢腹板发生自由竖向弯曲振动时的剪切变形计算见式(5)：

γ(x,t)=W′(x,t)-φ(x,t)

(5)

式中：W′(x,t)为自由竖向弯曲振动时整个箱梁横截面的角位移。

(6)

式中：As为波形钢腹板的横截面面积。

(7)

(8)

式中：Isu与Isl分别为箱梁上翼板和下翼板对中性轴的惯性矩；Ec与Gc分别为混凝土材料的弹性模量与剪切模量。

(9)

式中：I=Isu+Isl为波形钢腹板PC箱梁上、下翼板对截面形心轴的惯性矩之和。

在我国现行的桥规中，主要关注于桥梁的竖向基频，即桥梁的竖向弯曲振动频率用于计算桥梁所受到的冲击力。因此，本文也主要关注于波形钢腹板PC箱梁桥的竖向弯曲振动频率，因此箱梁发生竖向弯曲振动时的动能T可表示：

(10)

由Hamilton原理[21]：

(11)

可得：

GsAs[W′(x,t)-φ(x,t)]=0

(12)

GsAs[W″(x,t)-φ′(x,t)]-

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式(12)、式(13)与式(14)为波形钢腹板PC箱梁桥发生竖向弯曲振动时的控制微分方程；式(15)、式(16)与式(17)为相应的自然边界条件。

2.3波形钢腹板简支梁自由振动方程的解

设：

W(x,t)=W(x)sin(ωt+φ)

(18)

ξ(x,t)=ξ(x)sin(ωt+φ)

(19)

φ(x,t)=φ(x)sin(ωt+φ)

(20)

式中：ω为圆频率；φ为初始相位角。将式(18)、式(19)及式(20)代入式(12)、式(13)与式(14)可得：

(21)

因sin(ωt+φ)不恒为零，所以上式可改写为：

(22)

式中：W(x)的上标2，4，6分别代表对x的二阶、四阶及六阶导数。

(23)

(24)

式中：a1为考虑波形钢腹板剪切变形、箱梁剪力滞效应及两者耦合效应的影响系数。

2.4多跨等截面波形钢腹板连续梁自由振动方程的解

对于多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥可采用力法计算其自由振动频率方程。当连续梁按某一频率ω振动时，其梁上各点均作同步的简谐振动，此时，梁上各截面的位移和内力均为按频率ω变化的简谐函数，所以连续梁的力法基本结构见图3，图3中i为连续梁的中间支座数目。

图3　多跨等截面波形钢腹板PC箱梁桥力法基本结构Fig.3　Schematic plots of multi-span continuous box girder bridges

根据变形连续条件θn,n-1=θn,n+1，θ为弯矩M引起的转角，可得波形钢腹板PC连续箱梁桥的力法方程：

(25)

式中：α=(cothλl-cotλl)/2；β=1/sinλl-1/sinhλl。

将式(25)写为矩阵形式，见式(26)，

(26)

式(26)为线性齐次代数方程组，将此行列式展开，便可得到多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向弯曲振动的频率方程，对频率方程进行求解便可获得其各阶竖向弯曲振动频率。表2列出了多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向弯曲振动频率的计算式，限于篇幅，这里仅列出了该类型桥梁2跨～5跨前四阶竖向弯曲振动频率的计算公式。

表2　多跨等截面波形钢腹板连续箱梁桥弯曲振动频率

3　算例验证

3.1室内模型试验梁验证

在室内实验室制作了两跨等截面波形钢腹板PC试验梁，跨径布置为3 m+3 m，截面尺寸选取已建鄄城黄河特大桥箱梁跨中截面的横截面尺寸，并按1：10的比例缩尺制作成等截面梁(见图4)。制作完成的模型试验梁见图5。

图4　试验梁的基本尺寸(mm)Fig.4　Main dimensions of test girder (mm)

图5　制作完成的试验梁Fig.5　The completed test girder

在实验室测得试验梁顶、底板混凝土28 d龄期的抗压强度平均值为51.2 MPa，按规范规定为C50混凝土。波形钢腹板采用Q235钢，厚度为1.2 mm，弹性模量为206 GPa。频率测试见图6，采样频率为512 Hz。

图6　试验梁加速度传感器测点(mm)Fig.6　Measurement locations on the bridge deck (mm)

采用MIDAS有限元软件中自带的波形钢腹板组合空间梁单元建立了试验梁的有限元模型(见图7)。

图7　试验梁的MIDAS有限元模型Fig.7　MIDAS finite element model of test girder

将本文理论公式计算值与模型试验的实测值及有限元计算值进行了对比分析，对比结果见表3。

表3　不同方法所得试验梁竖向弯曲振动频率对比结果

由于试验梁的制作误差，实际尺寸偏大，造成实测值与本文所得公式计算值与MIDAS有限元值有一定的偏差，但总体而言吻合情况良好，验证了本文计算方法的正确性。表3中本文所得公式的计算值要略小于MIDAS有限元值，是由于MIDAS有限元软件中自带的波形钢腹板组合梁单元中仅考虑了钢腹板的剪切效应，而未考虑剪力滞效应和耦合效应。

3.2已建等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥验证

2005年，我国河南省光山县境内修建的泼河大桥为国内首座装配式波形钢腹板PC连续箱梁公路桥，该桥为4 m×30 m等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥。横截面采用4片波形钢腹板PC箱梁截面，图8为泼河大桥单片梁示意图。泼河大桥上、下翼板的混凝土材料为C50，波形钢腹板采用Q355C级低合金结构钢板，厚度为8 mm。

图8　泼河大桥单片梁的横截面示意图(mm)Fig.8　A single girder cross section of the Pohe bridge (mm)

采用本文的计算公式计算了泼河大桥前4阶竖向弯曲振动频率，并与实测值[23]及ANSYS三维有限元计算值进行了对比，对比结果见表4。

表4　不同方法所得泼河大桥竖向弯曲振动频率对比结果

由表4可知，采用本文计算方法所得的泼河大桥竖向弯曲振动频率与三维有限元模型计算值及实测值吻合良好，验证了本文计算方法的正确性。

4　参数分析

以本文“3.1”节中所示的波形钢腹板PC试验梁尺寸进行参数分析，将本文计算方法按照是否考虑波形钢腹板剪切模量修正求得试验梁的前六阶竖向弯曲振动频率，两者的对比结果见图9。

图9　是否考虑剪切模量修正所得竖向弯曲振动频率对比图Fig.9　Comparison the results obtain by considering shear modulus of elasticity correction or not

由图9可知，是否考虑波形钢腹板剪切模量的修正，对两跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁竖向弯曲振动频率的计算结果影响较小，但两者的差值随着频率阶数的上升而增大。

将试验梁分别按本文计算公式、欧拉梁理论以及仅考虑剪切变形的铁木辛柯梁理论求得其竖向弯曲振动频率，并进行对比分析，对比结果见图10。

图10　不同公式所得试验梁竖向弯曲振动频率对比图Fig.10　Comparison results obtain by the different formulas

由图10可知，试验梁按照欧拉梁理论所得的频率值与本文计算所得频率值相差较大，这是由于本文理论计算方法考虑了等截面波形钢腹板PC箱梁桥的剪力滞效应、波形钢腹板的剪切变形及两者的耦合效应，而欧拉梁理论未考虑以上的三种影响因素，这三种影响因素会降低波形钢腹板PC箱梁桥的弯曲刚度，因此欧拉梁理论所得结果要大于本文理论计算值。铁木辛柯梁理论仅考虑了波形钢腹板PC箱梁桥的波形钢腹板剪切变形，但所得结果却与本文理论计算值较为接近，说明波形钢腹板PC连续箱梁的竖向弯曲振动频率受波形钢腹板剪切效应的影响较大，而受剪力滞效应与耦合效应的影响较小。

4.1宽跨比的影响

通过改变试验梁的跨径l，给出了不同宽跨比(2b/l)情况下，本文理论公式计算值与仅考虑剪切变形的铁木辛柯梁理论所得值的分析比较。假定试验梁波形钢腹板的高度不变，跨径l分别取1 m，2 m，3 m，4 m，5 m，6 m，相对应的宽跨比(2b/l)为0.650，0.325，0.217，0.163，0.130，0.108。由于试验梁是按已建实桥1∶10的比例缩尺制作的，当宽跨比为0.650～0.108时，对应实桥的跨径为10～60 m。文中对比了试验梁前六阶竖向弯曲振动频率随宽跨比变化的情况，对比结果见表5。

表5中①代表本文理论公式计算值；②代表仅考虑剪切变形的铁木辛柯梁理论所得值。由表5可知，当两跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁的宽跨比(2b/l)在0.108～0.650时，仅考虑剪切变形的铁木辛柯梁理论所得的竖向弯曲振动频率与本文理论公式所得结果吻合良好。因此在实际工程中当两跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁宽跨比(2b/l)在0.108～0.650时，计算其竖向基频时仅考虑波形钢腹板的剪切效应即可。

表5　竖向弯曲振动频率随宽跨比变化对比图

4.2波形形状的影响

假定试验梁的截面尺寸不变，采用本文计算公式分别计算了试验梁在采用不同型号波形钢腹板情况下的竖向弯曲振动频率，并进行对比分析，见表6。

表6　 不同的波形形状下试验梁竖向弯曲振动频率对比

由表6可知，波形钢腹板的型号选择对波形钢腹板PC连续梁竖向弯曲振动频率的影响较小

4.3与现行规范比较

按照“公路桥涵设计通用规范:JTG D60—2015”里关于连续梁桥竖向基频的估算公式见式(27)与式(28)，符号的意义详见规范。

(27)

(28)

当计算连续梁的冲击力引起的正弯矩效应和剪力效应时，采用f11；计算连续梁的冲击力引起的负弯矩效应时，采用f12。以本文制作的两跨波形钢腹板PC连续箱梁为例，采用式(27)与式(28)分别计算了f11与f12，并与本文计算方法所得结果进行了对比，对比结果见表7。

表7　两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向基频对比

由表7可知，f11、f12与本文计算方法所得竖向基频差值较大，因此“公路桥涵设计通用规范:JTG D60—2015”里关于连续梁桥竖向基频的估算公式不适用于波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向基频的计算。

5　结　论

(1) 本文所得多跨等截面波形钢腹板PC箱梁桥竖向弯曲振动频率计算公式的正确性得到了室内模型试验值、已建实桥实测值及三维有限元数值模拟的验证，对于实际工程具有一定的参考价值。

(2) 波形钢腹板剪切模量的修正与否对多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥低阶竖向弯曲振动频率的影响较小，但随着频率阶数的增加，两者的差值有增大的趋势。

(3) 多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向弯曲振动频率受波形钢腹板剪切效应的影响较大，受箱梁剪力滞效应与耦合效应的影响较小。在实际工程中，若该类型桥梁宽跨比(2b/l)为0.108～0.650时，计算其竖向基频时可仅考虑波形钢腹板的剪切效应。

(4) 在箱梁截面不变的情况下，波形钢腹板型号选择对多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向弯曲振动频率的影响较小。

(5) 多跨等截面波形钢腹板PC连续箱梁桥竖向基频的计算不宜采用现行桥梁规范中给出的连续梁竖向基频的计算公式。

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Calculation of the vertical bending vibration frequencies of multi-span PC continuous box girder with corrugated steel webs of uniform cross-section

JI Wei1,2, DENG Lu1, LIU Shizhong2, LIN Pengzhen2

(1. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;2. College of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

In order to calculate the vertical bending vibration frequencies of a multi-span PC continuous box girder with corrugated steel webs (CSWs) of uniform cross-section, using the energy variation principle, Hamilton principle and force method equations, the equations of vertical bending vibration frequency were established. The influences of shear lag effect, shear deformation effect of CSWs and their coupling effect were considered in the equations. By solving the equations, the calculation formulas for the bending vibration frequencies of PC continuous box girder with CSWs were presented. Comparing the results with those of the finite element analysis and the measured values obtained in the tests of an indoor model and built bridges, the validity of the formulas was proved. The influences of the shear lag effect, shear deformation of CSWs, shear modulus correction, variation of width-span ratio and different wave patterns of CSWs on the vertical bending vibration frequencies of this type of bridges were also analyzed. The conclusions can provide valuable

to the calculation of vertical bending vibration frequencies of multi-span PC continuous box girders with CSWs of uniform cross-section in practice.

corrugated steel web; vertical bending vibration frequency; energy variation principle; bridge engineering; composite box girder

国家自然科学基金(51368032)；中国博士后科学基金(2014M562103)；甘肃省高等学校科研项目(2015A-053)；甘肃省基础研究创新群体项目资助(1506RJIA029)

2015-03-31修改稿收到日期：2015-09-07

冀伟 男，博士，副教授，1982年生

邓露 男，博士，教授，1984年生

U441+.3

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.023