力学问题和光学问题的关联：由悬链线和海市蜃楼说起

2016-10-15赵虎，王棋

大学物理 2016年8期

关键词：链线力场折射率

赵　虎，王　棋

(北京师范大学物理学系，北京　100875)

力学问题和光学问题的关联：由悬链线和海市蜃楼说起

赵虎，王棋

(北京师范大学物理学系，北京100875)

首先简要介绍了悬链线和海市蜃楼问题的数学模型和传统解法，随后讨论了如何利用折射定律求解悬链线方程和利用拉氏量来描述海市蜃楼的形成.在分析二者之间的数学模型相关联的基础上，重新强调了在大学物理教学中重视哈密顿原理与费马原理之间密切联系的必要性.

悬链线；哈密顿原理；海市蜃楼；费马原理

悬链线问题曾经是经典力学中著名的难题，因伽利略、伯努利等人的推崇而闻名于世；海市蜃楼则是几何光学中的一种典型现象，可以用地表附近空气折射率的变化进行理论解释.乍看起来，二者之间似乎风马牛不相及.本文采取不同常规的数学手段，利用光学方法解出悬链线方程，又利用力学方法求解海市蜃楼，揭示了隐藏在力学问题和光学问题之间的一条“捷径”.

1　悬链问题

悬链问题是雅可比·伯努利在1690年提出来的，他的原话是：“现在提出这样一个问题：找到一条两端悬挂于固定点的松弛的弦所形成的曲线.”也就是：一段长度确定的绳子，两端固定，在重力场下让其自然下垂，求绳子的曲线方程，我们把这个曲线方程称为悬链线方程.雅可比·伯努利提出此问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯与约翰·伯努利用3种不同的数学方法各自得到了正确答案.以下我们给出分析力学的一般解法.

首先我们考虑一条均匀、柔软的悬链(即线质量密度为ρ)，处在竖直方向上的Oxy坐标系(即y轴沿重力加速度g的反方向)中，并假设重力加速度恒定，记在这个体系中重力势能零点高度的纵坐标为h，则其势能可以表达为

W=∫ρg[y(s)+h]ds

(1)

其中y(s)为以曲线弧长s为自变量的函数.将上述公式转化为为横坐标的积分，我们进而得到该系统的拉格朗日量为

(2)

上式中y′表示对x求导.根据拉格朗日-欧拉方程

(3)

可以得到悬链线方程：

(4)

满足该方程的悬链其势能最小.

2　海市蜃楼问题

海市蜃楼是光线经过密度不均匀的空气层时，因折射而不沿直线传播，轨迹发生弯曲，把远处景物显示在空中或地面的一种光学现象.在文献[1]中，曾经刊登过用线性变折射率模型解释海市蜃楼[1]的文章，作者假设地面附近大气折射率随高度y线性地变化，即有

n=n0(1-ky)

(5)

(6)

将式(5)代入式(6)可以得到海市蜃楼满足的光线方程：

(7)

3　利用折射定律求解悬链线方程

密度为ρ的悬链线系统的拉氏量为

(8)

n(x)=y(x)+h

(9)

图1　悬链线模型

现在我们假设悬链线上有一点P，P点两段的无穷小区域内的情况如图2所示，等效为折射现象，

图2　　悬链线的光学求解模型

记入射角与折射角分别为θ1与θ2，由图2可得：

(10)

容易验证此微分方程的解即为双曲余弦函数解.

4　海市蜃楼问题的力学方法求解

根据折射定律，入射光线与折射光线处在同一平面内.因而可以直接考虑空气折射率函数在一个平面内变化的情形.设大气对光的折射率为

N(x，y，t)=n(x，y)T(t)

(11)

当形成持续的、较为稳定的海市蜃楼现象时，大气的折射率变化范围很小，可以忽略不计，因此折射率函数中的时间演化项可以表达为一个常数，为了与此前的推导保持一致，我们把这个常数记为1/c.

在竖直平面内建立直角坐标系Oxy，其中x轴沿水平方向，y轴沿竖直向上方向.此时，上式应被写作

当我们准备将一个光学问题转化为力学问题来求解时，为了直观上更容易让人接受，设想这样一种场景：一条均匀的悬链处在一个力场中，悬链微元所受到的力在空间中的变化函数可以用f(x，y)来表示，悬链两端固定，求解悬链在力场中的形状函数.

由上文的设定可知，系统的等效拉氏量L为坐标与速度的函数，此时光程即可理解为系统的等效势能，满足最小等效势能的轨迹即满足最短光程.为了简化计算过程，把势能表达式中的常数项等效到力场函数内，继续用y(x)表示悬链的曲线轨迹函数.这样，系统势能表达式可以写作

(12)

等效拉氏量为

(13)

写出系统的拉格朗日-欧拉方程[2]：

(14)

因此只要给定了力场函数f(x，y)的形式我们就可以求出悬链的曲线形状函数，从而得到光线传播轨迹的曲线方程.

根据重力势能随高度y变化的规律，在考虑远距离光线传播途中重力的变化时，我们可以假设力场函数为

(15)

这里的n0为稠密空气的折射率，即，当r→∞时，n0=1，因而n0为y=0处空气的折射率.

此时系统的等效拉氏量为

(16)

整理得到系统的欧拉-朗格朗日方程为

(17)

结合物理意义得到方程可能的解为

(18)

令r=2，C1=1，得到满足等效最小势能函数的光线传播路径如图3所示.

图3　折射率(力场函数)随高度y变化时的拉氏方程解

一般情况下我们需要考虑温度、高度对折射率的影响，假设大气在局部区域内处于一个热平衡状态时，则空气的密度随高度的变化满足玻尔兹曼分布.设地面处空气的密度为ρ0，高度为y处空气密度为

ρ=ρ0e-Mgy/RT

(19)

其中M为空气的平均摩尔质量，R为普适气体常量，且R=8.314 J/(mol·K)，g为重力加速度(在这里我们不考虑重力加速度随高度的变化)，T为高度y处的温度.由此我们可以设力场函数为

f=n0e-Mgy/RT

(20)

写出系统的拉氏量为

(21)

(22)

令t=1、2、3，C1=0，C2=1，可以得到随着温度和摩尔质量的比值变化时满足拉格朗日-欧拉方程的光线传播路径如图4所示.

图4　不同t取值下光传播路线图

图4中的几条曲线分别表示给t赋值不同时所得到的函数图像，越下边的曲线所对应的t值越大，当光线传播的起始点与结束点确定时总的传播路径长度也越短，光线在传播过程中由于吸收与散射所造成的损失也就越小；同时光线传播所经过的高度变化也越小，这样的情况更符合我们在计算中所做的假设——不考虑重力加速度随高度的变化.这就说明了在温度越高、水汽越重的地方(水汽重的地方大气的平均分子质量较大)越容易出现海市蜃楼.

5　悬链和海市蜃楼问题的数学模型对比

对于悬挂于A、B长度为L密度为ρ的匀质悬链线，通过变分法使其重力势能最小，即

(23)

比较式(4)和式(23)，我们可以清楚地得到二者的数学模型具有一致性.

6　总结：重温哈密顿原理与费马原理的内在联系

通过以上对于悬链线和海市蜃楼问题的讨论，我们可以清楚地看到静力学问题和光学问题的在数学模型上的相似性，进一步加深对于哈密顿-拉格朗日原理和费马原理存在紧密联系的认识.追述物理学的发展历史，很多杰出的物理学家都非常敏锐地认识到了这点并由此发展出了卓越的理论，他们其中的代表人物就是薛定谔[3]和费恩曼，薛定谔方程和路径积分理论就是这两大原理相互融合后的结晶.

由于目前物理领域的精细划分，不少教科书往往注重以专业领域来区分和描述相应的模型，比如在光学中仅仅会提到费马原理，而在理论力学中介绍哈密顿-拉格朗日原理时，较少甚至完全没有提及费马原理.同样不少教师也往往会忽略这两种原理之间的内在关联，

本文通过悬链线和海市蜃楼问题求解过程的对照，揭示了不同表象的物理问题可以有相同的数学模型来解释，希望藉此能够唤起大家在教学时对于物理学基本理论及内在关联的重视.

[1]王忠纯. 用线性变折射率模型解释海市蜃楼[J]. 大学物理， 2001，20 (9): 24-27.

[2]卢圣治，管靖.理论力学基本教程[M].2版.北京：北京师范大学出版社，2007: 60-77.

[3]E·薛定谔.薛定谔讲演录[M].范岱年，胡新和，译.北京：北京大学出版社，2007：25-88.

The connections between optical and mechanical problems:by talking about catenary and mirage

ZHAO Hu， WANG Qi

(Department of Physics， Beijing Normal University， Beijing 100875， China)

. The mathematical model and conventional solution of catenary and mirage are briefly introduced at first.Then,the catenary equation is discussed in terms of Snell’s Law，and the forming of a mirage is described on the basis of Lagrangian. Based on the analysis of the relations between these two mathematical models,the value of the connections between Hamilton’s principle and Fermat’s principle is re-emphasized for the physics education at university.