水波波速与其表面张力关系的实验研究

大学生园地　

张志刚，张　希，张丽苗，陈　菁

(北京林业大学 理学院，北京　100083)



大学生园地

水波波速与其表面张力关系的实验研究

张志刚，张希，张丽苗，陈菁

(北京林业大学 理学院，北京100083)

根据水波波速与其表面张力的理论关系，自行设计实验于不同温度下测量多组数据进行验证，并分析实验结果.实验中自制U型管测量液体表面张力，并通过录制视频的方式来记录水波传播过程，且创新地将正在计时的秒表一同录入视频中，提高了测量精度.在电脑上单帧播放视频，在每帧画面中读出水波波峰的位置以及当前时刻，用波峰前进距离除以时间得到波速.该实验改良了传统测量方法，思路清晰，设计新颖，具有操作简单，测量精度高的优点.

U型管；表面张力；录制视频；水波波速测量

水波是生活中常见的一种物理现象，其性质的研究更是大学物理实验中重要的组成部分.通过研究水波的性质，可以比较容易地观测和研究干涉、衍射等波动特性.但在实际的实验操作中，由于水波的传播速度不易测量、水波中质元的运动情况较为复杂，使目前对水波波速的研究相对较少，在大学物理教学中也浅尝辄止.众所周知，水波的传播速度与介质的特性有着密切的关系.对于水的表面波，主要由水的重力和表面张力为其提供回复力[1].当波长较小时，回复力中表面张力起主要作用[2].所以水波的传播速度与其表面张力息息相关，研究两者的关系可以使对水波的性质有进一步的了解.目前大学物理实验中主要采用拉脱法测量液体表面张力，该方法测量原理简单，测量装置容易获得.但测量过程中须保证玻璃管刻线、平面镜刻线以及玻璃管刻线在平面镜中的像线“三线合一”，同时要求在读取水膜破裂瞬间的刻度值[3]，导致初试者难以把握操作要领，人为引入较大误差.对于水波的传播速度，之前有人在实验中利用硅光电池和激光器，通过测量激光在水中折射后光强的变化测量水波波速[4].但实验步骤较为复杂，且易受到周围环境中光源和振动的干扰.

针对以上问题，本文通过改进实验参量的测量方法来提高测量精度.对于水的表面张力，利用自制的U型管测量表面张力系数，测量过程简单快捷，避免了拉脱法等传统方法中对拉脱瞬间的判断和实验手法不够娴熟带来的偶然误差.对于水波波速，首先将水波波纹投影在纸张上，然后将投影与正在计时的秒表一同录制成视频，之后在电脑中单帧播放，得到波峰位置及对应时刻，从而用波峰前进距离和时间来计算波速.最后改变水温，测量不同温度下的表面张力系数和波速，得到多组数据，误差范围符合大学物理实验要求，最终较好地验证了水波波速和表面张力系数的关系.

1　实验原理与方法

1.1水波波速与其表面张力的关系

大学物理实验中，水波实验所研究的多为表面波.当波动主要存在于液体表面时，产生的水波称为表面波[5].当理想流体的表面受到微扰动，如滴入一滴水时，就会产生液体表面波.此时波动的回复力主要由重力和表面张力提供[6].当波长大于10 mm时，重力起主要作用；当波长小于10 mm时，表面张力起主要作用.根据流体力学中的知识，可以得到

(1)

式(1)中，h是液体深度，ρ是液体密度，g是重力加速度，k=2π/λ是波矢，α是液体表面张力系数，th是双曲正切函数.对于水的表面波，波长很小，所以kh<<1，故th(kh)趋近于1，此时表面波波速v即可写成

(2)此式反映了波长较小时水波的表面波波速与其表面张力系数的关系[6].又因为表面张力系数与温度有密切关系，通过测量不同温度下的波速v、波长λ和表面张力系数α，便可以通过实验验证该公式的正确性.

1.2利用U型管测量液体表面张力系数

不等径U型玻璃管原理图如图1所示，其两端为顶端开口的竖直管，内径分别为D1、D2.U型管中装有待测液体，当液体静止时，会在两端竖直管内形成凹液面.由于玻璃管内径较小，可以将竖直管内的凹液面可近似地看成直径为D1、D2的半球面[7].

图1　U型管测量表面张力系数

对于弯曲液面，由拉普拉斯公式可得

(3)

(4)

式中，p0为大气压强，pa、pb分别为凹液面下A、B两点对应的压强，α为液体的表面张力系数，θ为待测液体与竖直玻璃管的接触角.实验中认为所用的玻璃管和纯净水足够洁净，则接触角θ近似为零，所以式(3)、式(4)可写成

(5)

(6)

又根据流体静力学的知识可得

pc=pb+ρgh

(7)

式中，ρ为液体的密度，g为当地的重力加速度，h为液体静止时两端竖直管内液面的高度差，pc为液面下C点处的压强.此外，在流体静力学中，当液体静止时U型管内液面下A点与同水平面的C点压强相同，即Pa=Pc.所以综合以上各式可得

(8)

根据式(8)，只需测量两竖直管的直径D1、D2以及管中凹液面的高低差h，便可以计算出待测液体的表面张力系数[7].

为降低实验成本，使实验便于推广，实验中利用橡胶软管和两根内径不同的玻璃管自行制作U型管.首先取两根内径不等的长约20 cm的直玻璃管，一根长20 cm的橡胶软管.用读数显微镜分别测量玻璃管的内径，记为D1、D2.然后用蒸馏水将玻璃管和橡胶管洗净，然后用橡胶管将两根玻璃管连接起来，组成不等径U型管.实物图如图2所示.

图2　U型管实物图

1.3录制波纹光投影视频测量水波波长和波速

当水滴滴入水中时，会在水面产生一组水波，水波以同心圆的形状传播出去，由于振动振幅较小，此时的水波可以认为是水的表面波.对于这种非连续的波，可以通过测量波峰前进距离和所经历的时间来计算波速，同时通过测量同一组水波相邻波峰间的距离可以得到波长.

由于水波传播速度较快，难以直接观测水波的传播情况和波峰位置.实验中通过录制视频的方式来观测水波传播的过程.首先将透明水槽放置在固定高度的底座上，在水槽下方放置光源.水波波动时表面的起伏会像凸透镜、凹透镜一样将光线会聚或发散[8](图3)，此时在水面上方放置整洁的纸张作为屏幕承接光线，便可以看到明暗相间的区域，分别对应水波的波谷和波峰.同时，若将透明的刻度尺放入水中，则可以将刻度尺一同投影到屏幕上，从而测量出水波的位置数据.然后，将摄像设备(手机及手机支架)放置在屏幕上方拍摄屏幕上水波的光投影(图4)，记录水波传播的过程.最后，使用电脑单帧播放录制的视频，从而放慢水波传播的过程以便于准确测量波峰位置.此外，由于水滴滴落时形成的是形如同心圆的一组水波，便可以在单帧画面中测量多个相邻波峰的位置得到波长.

在时间测量方面，考虑到视频本身所标定时间的可靠性难以保证，为提高时间测量精度，实验中将正在计时的秒表一同录入视频中.这样在电脑上单帧播放视频时，由于将秒表一同录入视频，每帧画面中读取波峰位置的同时还可以读出当前时刻，从而得到准确对应的波峰位置和时刻.然后从多帧画面中分别读取波峰位置和对应时刻，计算出波峰前进距离和对应时间间隔，进而用波峰前进的距离除以时间得到波速.

图3　水波对光线的汇聚与发散

图4　产生波纹投影的水槽(左)和录制视频的手机(右)

2　实验装置与测量

2.1测量不等径U型管内径

在组装不等径U型管之前，用读数显微镜分别测量两支玻璃管的内径，取5次测量的平均值，记为D1、D2.测量数据列于表1.

表1　U型管内径测量值　单位：mm

2.2测量液体温度及当前液位差h

实验需要测量不同温度下的表面张力系数与对应的水波波速.考虑到将水槽和U型管放到同一水浴中难以实现，实验中分别测量两者在同一预定温度下的实验数据.首先向U型管中注入一定量的蒸馏水，将装有蒸馏水的U型管轻轻放入热水中水浴加热，使其整体上升到60 ℃以上.然后将U型管取出，使其温度慢慢下降，当温度下降到预定的测量温度时用读数显微镜迅速测量两管液位的高度差，记为h.液体温度及当前液位差h的数据列于表2.

表2　液位差h的测量数据　单位：mm

2.3计算表面张力系数

将不等径U型管内径以及液位差的测量数据代入式(8)中，计算得到对应温度下的表面张力系数的测量值.查阅已有文献[9]，可以得到不同温度下纯净水表面张力系数的公认值以及数据拟合出的公式α=75.45067-0.13326t-5.26468×10-4t2.实验测量值与公认值对比列于表3.

表3　不同温度下的表面张力系数　单位：×10-2N/m

2.4产生水波并录制视频

产生水波的装置由水槽、输液器、光源(手机闪光灯)、屏幕(纸张)、摄像机(手机)以及支架组成.

首先将水槽水平放置在底座上，将屏幕放置在水槽上方，将光源放在水槽下方，调整光源与水槽底部的距离，使屏幕上可以看到清晰的投影.然后将输液器固定在支架上，调节输液器阀门使水滴可以匀速滴入水槽.之后，将刻度尺放在水槽底部，使其一端位于水滴落点处，亦即水波波纹的圆心处，这样保证刻度尺与水波波纹前进方向平行.向水槽中注入60℃度以上的纯净水，待水面平静后打开输液器阀门使水滴匀速滴入水槽产生水波.最后，录制水波波纹传播过程的光投影视频.使水槽中的水自然冷却，不断测量水温，当水温冷却到预定温度时开始录制视频，这里的预定温度须与测量U型管液面高度差时选择的测量温度相同.同时，将正在计时的秒表一同录入视频.此时由于水仍在冷却，所以应迅速测量，当水温改变量达到1℃时立即停止测量，等待水温降低到下一预定测量温度时再次开始测量.

2.5单帧播放视频计算波速和波长数据

在电脑中单帧播放所拍摄的视频，从视频中挑选投影清晰，易于读数的部分读出水波波纹的位置和时刻，如图5、图6所示，从而计算出水波的波长和波速.所得数据列于表4.

图5　视频截图

图6　视频截图

表4　不同温度下波长和波速测量数据 单位：mm

3　实验结果与讨论

将之前得到的多组表面张力系数和波长数据代入式(1)中计算理论波速，再与实验中的实测波速作比较，便可以通过实验验证水波波速与其表面张力关系公式的的正确性.在不同温度下，实际测得的波速、由原理公式计算出的理论波速以及两者的相对误差数据列于表5.

表5　不同温度下波速对比　单位：mm

从表中可以发现通过公式计算得出的理论速度与实际测量得到的水波波速十分接近，相对误差均在2%以内，所以在允许的误差范围内验证了波速与液体表面张力系数公式的正确性.通过实验可以发现，水的表面波波速与其表面张力具有正相关关系，而液体的表面张力随着温度的升高逐渐减小，所以实验中随着温度的升高实测波速与理论波速均呈减小的趋势.利用计算机绘制出表面张力系数以及波速随温度变化的图像可以直观地看到这种趋势

图7　水波波速与表面张力系数

实验中利用U型管测量液体表面张力系数，操作方便，原理简洁，且将所得数据与已有文献数据对比，其误差在大学物理实验允许范围内[9-11]，说明利用U型管测量液体表面张力系数具有较好的可操作性和较高的精度.

值得一提的是，为了提高测量水波波长和波速的精度，实验中采用了录制视频而后单帧播放的方法，放慢了水波传播的过程，便于观察和测量，有效减小了实验中因水波传播较快而导致的测量误差.此外，为了提高时间测量的准确度，实验中创新地将正在计时的秒表一同录入视频.从而可以将水波波峰的位置和对应的时刻一同读出，使得波峰位置和时刻有了准确的对应关系，弥补了因视频自身时间精度不够而导致的误差.

4　结束语

本文由水波波速与其表面张力的理论公式出发，通过测量不同温度下水波波速与对应表面张力系数进而验证两者关系，实验思路清晰，方法新颖，操作简单，易于实现.一方面，以录制视频的方法记录水波传播过程，又通过单帧播放的方式放慢该过程，提高了位置测量的精度；另一方面，将秒表一同录入视频的做法，亦有效提高了时间测量的精度.这两方面精度的提高使实验在误差允许范围内验证了水波波速与液体表面张力系数公式的正确性.这些方法使用灵活，不局限水波的测量，更可以为其他实验中提高测量精度提供新的思路.

此外，诸多仪器均取材生活中常见物品或自制而成，通过合理组合和使用，所得的实验结果保证了正确性的同时亦具有较高的精度.揭示出有些物理实验不必局限于专业仪器或是实验场所，对于所发现的问题，要敢想敢做，善于利用生活中已有的资源设计实验解决问题，这样才可以使更多的人有机会通过实验探究问题，也反映了问题源于生活而解决于生活的物理精神.

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Experimental research on the relationship between wave velocity and surface tension

ZHANG Zhi-gang， ZHANG Xi， ZHANG Li-miao， CHEN Jing

(College of Science， Beijing Forestry University， Beijing 100083， China)

According to the theoretical relationship between wave velocity and surface tension， we design the experiment in a range of temperature and analyze the experimental results. The U-tubes we applied in the experiment are self-made ones. We measure the surface tension of the liquid and video the process of the liquid transition. The specialty of this process is the footage of the clock， which we also video during the experiment. If one displays our video on computer by each frame， one will see the peak of the wave and the exact time simultaneously. If one divides the distance of the peak movement with time， one can get the speed of the waves. An involved method is compared with the traditional ones in this experiment， the new method makes the experiment easier in process and precise in measurement.

U-shaped tube; surface tension; video recording; wave velocity measurement

2015-07-07；

2015-11-16

中央高校基本科研业务费专项资金(北京林业大学科技创新项目TD2014-04)资助

张志刚(1992—)，男，河北张家口人，北京林业大学理学院2012级本科生.

陈菁，E-mail:chenjingjing369@sina.com

O 4-34

A

1000- 0712(2016)06- 0054- 05