电感频率特性及在RLC串联谐振电路中的应用

陈国杰，陈　奎，周有平，李　斌

(佛山科学技术学院 理学院，广东 佛山　528000)



电感频率特性及在RLC串联谐振电路中的应用

陈国杰，陈奎，周有平，李斌

(佛山科学技术学院 理学院，广东 佛山528000)

分析了电感频率特性对RLC串联谐振的影响，介绍了一种快速估测谐振频率的方法；导出了R和LC谐振曲线半高宽的数学式，讨论了其适用条件.自制了高Q电感，实验与理论相符.结果表明，电感的QL越大、rL越小，则谐振曲线半高宽越小，测量越准；在负载R>0.64rL条件下，LC谐振曲线比R谐振曲线窄.

RLC电路；谐振；电感；频率特性；品质因数

RLC串联谐振电路在手机等无线技术中广泛用来对信号进行选频，也是电磁学的基本内容.但是，实验测得的电阻谐振曲线比理论曲线平坦，品质因数比理论低，谐振频率与理论存在较大偏差，并且谐振频率越高，与理论偏差越大[1，2].有文献提出改测LC谐振曲线[3，4]，但没有给出适用条件. 深入分析发现，产生这些系统性偏差的主要原因是电感存在非线性频率特性以及所用电感的品质因数小.本文介绍电感的频率特性，分析电感品质因数和损耗电阻对RLC谐振曲线的影响，导出R和LC谐振曲线半高宽的数学式，介绍一种快速估测谐振频率的方法.在E形铁氧体磁芯上用多股漆包线自制高Q电感，测量谐振曲线，并与理论进行比较.

1　电感的频率特性

电感的主要特性是通直流、阻交流，通低频、阻高频.电感按工作频率可分为高频电感器、中频电感器和低频电感器.铁心电感多数为低频电感，磁芯电感一般为中频或高频电感.

实际的电感除了电感量L以外，还存在损耗电阻和分布电容，因此可等效为图1(a)所示的LC并联电路，其中L为理想电感，分布电容CL为电感线圈之间、绝缘层和骨架之间产生的电容.电感损耗电阻rL包括直流损耗电阻rDC和交流损耗电阻rAC，即rL=rDC+rAC.交流损耗电阻rAC包括线圈高频趋肤损耗和磁芯高频损耗；电流频率越高，rAC就越大.用万用表测得的电阻只是电感的直流电阻rDC，交流损耗电阻rAC需要实验测量.

图1　电感等效电路及频率特性

电感阻抗ZL.随工作频率的变化特性如图1(b)所示，其中虚线是理想电感的阻抗曲线(XL=2πfL). 实际电感由于存在分布电容和损耗电阻，因此其阻抗特性不再是理想电感的直线. 在图1(a)所示的电感等效电路中，当工作频率f=fL0= 1/(2π(LCL)0.5)时，电感产生并联谐振，电感呈阻性，阻抗最大，fL0称为电感的谐振频率；当ffL0时，电感分布电容分流较大，电感呈容性，阻抗随频率的增加而变小. 因此，电感的工作频率要远小于其谐振频率fL0.

电感的品质因数定义为电感储存的能量与消耗的能量之比，用QL表示，QL=ωL/rL.磁芯损耗越小，导线直径越大或导线股数越多，则rL就越小，QL就越大.由于磁芯的磁导率和损耗电阻随频率变化，故QL也随频率变化而变化.

2　电感QL对RLC串联电路谐振曲线的影响

在中低频时(1 MHz以下)，电感的分布电容可以忽略，故电感等效为理想电感L与损耗电阻rL的串联，LRC串联电路可等效为图2所示，其中上方虚框为电感中低频时等效电路，Ui为RLC电路的输入电压，C为电路电容，R为负载电阻，左边虚框为信号源.

图2　LRC串联等效电路

设正弦信号的角频率为ω，则RLC串联电路的电流为

(1)

当ωL=1/ωC时，电流最大，产生串联谐振.谐振频率为

(2)

谐振电流为

(3)

由式(1)、式(3)，得归一化谐振电流为

(4)

式(4)就是RLC串联电路负载R谐振曲线的表达式.

由于电感器存在损耗电阻rL，故RLC电路的品质因数修正为

(5)

其中Q理=ω0L/R(rL=0).式(5)表明，电感的QL越大、rL越小，则RLC电路Q理就越大，谐振曲线就越平坦.同时看到，RLC电路Q比理论Q理小，因此实验测得的谐振曲线比理论曲线平坦；并且谐振频率越高，rL就越大，谐振曲线就越平坦，测得的谐振频率与理论值偏差就越大.谐振曲线的平坦度(宽窄)一般用谐振曲线的半高宽来定量描述.

由于磁材料的磁化曲线为非线性，rL一般不是常数，且随频率的增大而增大，故rL不等于万用表测得的电阻值；通常通过谐振时测量电感电压和负载电阻电压来求得，即

(6)

2.1R谐振曲线及半高宽

由式(4)绘得负载R谐振曲线如图3曲线UR所示，其中UR最大时对应的频率为谐振频率f0.谐振曲线UR开口朝下，其半高宽定义为UR/UR0=0.7两点间的频率间隔[5]，设为Δf0.7.由式(4) 得

(7)

图3　R和LC的谐振曲线

由式(7)可知，L/(R+rL)越大，Δf0.7越小，谐振曲线就越尖锐，谐振频率越容易测准.但是，为了保证UR测量灵敏度，R不能太小，故在R一定时，只有通过增大L或减小rL， 即采用高QL(ωL/rL)电感来减少Δf0.7.然而，由式(5)可知，在增大L的同时要适当减小C，以保持RLC电路较低的谐振频率f0和较高的Q值.

2.2LC谐振曲线及半高宽

电感QL的提高有一定限度，高频电感QL一般在80左右.如果QL较低，可通过改测LC谐振曲线来提高测量准确度.在图1中，L与C串联的总端电压为

(8)

谐振时ωL=1/ωC，由式(8)得到L与C串联的总端电压为最小值，即

(9)

由式(8)、(9)得归一化的LC谐振电压表达式为

(10)

由式(10)绘得的LC谐振曲线如图3 曲线ULC所示.在谐振频率f0附近，式(10)可变为

(11)

由图3可见，LC谐振曲线开口向上，其半高宽是ULC比ULC0高30%的两点之间的频率间隔，设为Δf1.3.令ULC/ULCO=1.3，由式(11)得

(12)

为了比较，令Δf1.3=Δf0.7，得R= 0.64rL.由此知，如果R<0.64rL，则Δf1.3>Δf0.7；如果R>0.64rL，则Δf1.3<Δf0.7.在通常情况下，为使UR不致太小，实验选取的负载电阻R>0.64rL.例如，设rL=10Ω，取R= 10Ω，则由式(12)得Δf1.3= 0.73Δf0.7，表明LC谐振曲线的半高宽比负载R的谐振曲线窄、尖锐.因此，在R>0.64rL条件下，通过测量LC谐振曲线来确定谐振点的准确度比通过测量R谐振曲线的高.

由式(7)和式(12)知，要较准确测量谐振频率，不管是测谐振曲线UR，还是测谐振曲线ULC，尽量采用L大、rL小的高QL电感；同时采用金属膜电容或聚脂膜类电容，以提高谐振稳定性.

2.3谐振频率的快速粗测

在测量谐振曲线时，要逐点改变信号频率，同时要逐点调节信号源的幅度旋钮，以保证RLC串联电路的输入电压Ui不变[1-4]，这样既繁琐又费时.其实，可用下列方法不需逐点调节信号源的幅度旋钮先对谐振频率进行粗测，然后再进行细测.

如图2所示，设信号发生器的电势和内阻分别为US和rS，则RLC电路的输入电压Ui为

Ui=US-IrS

(13)

由式(13)可知，当US、rS不变时，若I变化，则Ui就变化.在粗测谐振频率时，保持信号源幅度旋钮不变，即电势US不变，从小到大调节信号频率f，当f朝接近于谐振频率f0方向增大时，则由图2知电流I变大，由式(13)知端电压Ui变小；如果f朝远离于f0方向增大，则I变小，Ui变大，因此测得Ui最小值对应的信号频率就是谐振频率f0.然后，在f0附近调小频率步长，在保证Ui不变时对谐振曲线进行细测，这样简单快捷.

3　实验结果与分析

在“E”形铁氧体磁芯上用多股漆包线自制一个高Q功率型电感，工作频率60 kHZ，额定电流2 A，用电桥测出其电感量L=10.69 mH，用万用表测出其直流电阻rDC= 0.7 Ω，谐振频率9.6 MHz. 在下面实验中，信号源采用TFG1005 DDS型函数信号发生器，频率值由信号源直接读出，电压值由DF2172A交流毫伏表测量.

3.1谐振频率的快速粗测

信号发生器输出正弦信号，不接负载时测得信号发生器输出电压为0.20 V，即US=0.20 V.接上RLC电路，L=10.69 mH，C=0.106 μF，R= 9.5 Ω，从4 kHz开始逐步增大信号频率，保持信号发生器的幅度旋钮不变，即电势US=0.20 V不变，测量数据如表1所示.

表1　谐振频率快速估测实验数据

由表1看出，当f增大时，Ui先变小、后变大，当f= 4.7 kHz～4.9 kHz时，Ui达到最小值区域，表明谐振频率在4.8 kHz附近.这是因为在谐振频率处，RLC电路电流I达到最大值，从而使信号发生器内阻产生的压降达到最大值，故Ui为最小值.这种粗测谐振频率方法不需要逐点调节信号幅度旋钮，因此简单快捷.

3.2谐振曲线测量与分析

接上RLC电路，L=10.69 mH，R=9.5 Ω.首先取C=0.01 μF，从14 kHz开始测量，保持Ui=0.25 V，分别测量UR和ULC，测得的谐振曲线如图4所示，其中实线为理论曲线，符号是实验点.

图4　C= 0.01 μF时测得R和LC的谐振曲线

由图4看出，负载R谐振曲线UR和LC谐振曲线ULC分别与其理论曲线吻合良好.从曲线UR和ULC测得，谐振频率f0=15.4 kHz.谐振时，UR0≈0.11 V，ULC0≈ 0.15 V，UR+ULC=Ui，说明电路呈阻性.曲线UR半高宽Δf0.7≈0.35 kHz，与式(7)计算值相符；测得曲线ULC半高宽Δf1.3≈0.25 kHz比曲线UR半高宽Δf0.7窄30%，与式(12)计算值相符.根据式(6)，算得电感在15.4 kHz的损耗电阻rL≈12.9 Ω. 电感QL=ω0L/rL=79.5，为高Q电感. 由式(5)算得，RLC电路Q=44.6.

由图4看到，曲线ULC比曲线UR窄.谐振时，UR0

如果要使谐振曲线更窄，可在L和R不变时增大C，以减少谐振频率，从而降低电感的损耗电阻.为了比较，取C= 0.1 μF(实测为0.106 μF)，其他元件参数不变.从4 kHz开始测量，保持Ui=0.22 V，测得谐振曲线如图5所示.

图5　C=0.1 μF时测得R和LC的谐振曲线

由图5看出，谐振曲线UR和ULC分别与其理论曲线吻合良好.从曲线测得，谐振频率f0=4.73 kHz.根据式(6)，电感在4.73 kHz的损耗电阻rL≈ 4.5 Ω.谐振时，UR0≈0.15 V，ULC0≈ 0.07 V，UR+ULC=Ui，说明电路呈阻性.曲线UR半高宽Δf0.7≈0.21 kHz，与式(7)计算值相符；曲线ULC半高宽Δf1.3≈0.06 kHz，比曲线UR半高宽Δf0.7窄71%，与式(12)计算值相符.由于负载R=2.1rL，故测LC谐振曲线来确定谐振点比测R谐振曲线更准确. 由式(5)得，RLC电路Q=22.6.

比较图4与图5可知，C=0.1 μF的谐振曲线比C=0.01 μF的谐振曲线峰值更高、更窄，因此更容易测准谐振频率.这是因为C从0.01 μF增大到0.1 μF后，RLC电路的谐振频率f0从15.4 kHz降到了4.73 kHz，从而使电感的损耗电阻rL从12.9 Ω降到了4.5 Ω，R谐振曲线的半高宽Δf0.7从0.35 kHz降到0.21 kHz，降低了40%；尤其是LC谐振曲线的半高宽Δf1.3从0.25 kHz降到了0.06 kHz，降低了76%.但是，C从0.01 μF增大到0.1 μF后，RLC电路的Q从44.6减到了22.6，减少了50%.这说明RLC电路的Q越大，谐振曲线并不越窄；谐振曲线的宽窄用半高宽Δf0.7(Δf1.3)才能定量描述.

3　结论

讨论了电感频率特性及其对RLC串联谐振曲线的影响，推导了R和LC谐振曲线半高宽的数学式及适用条件，介绍了一种快速估测谐振频率的方法.实验表明，电感的工作频率应远小于其谐振频率；快速粗测谐振频率不需调节信号源的幅度旋钮；电感的QL越大、rL越小，则谐振曲线的半高宽越小，谐振频率测量越准；在R>0.64rL条件下，测LC谐振曲线比测R谐振曲线的准确度更高.

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InductorfrequencycharacteristicanditsapplicationinRLCseriesresonantcircuit

CHENGuo-jie，CHENKui，ZHOUYou-ping，LIBin

(SchoolofScience，FoshanUniversity，Foshan，Guangdong528000，China)

TheinfluenceofinductorfrequencycharacteristiconaRLCseriesresonantcircuitisanalyzed，andamethodofroughlymeasuringtheresonantfrequencyisintroduced.Theequationsoftheresonantcurvehalf-peakbandwidthsfortheloadresistorandLCcomponentarederived，andtheapplyingconditionsoftheequationsarealsodiscussed.Then，aninductorwithhighquantityfactorisfabricated，andtheexperimentalresultsareinagreementwiththetheoreticalanalysis.Theresultsshowthatthehighertheinductor’sQisandthesmallertherLis，thenarrowertheresonantcurvehalf-peakbandwidthisandthemoreaccuracythemeasurementis.Inaddition，theresonantcurveoftheloadresistanceisnarrowerthanthatofLCcomponentwhenRisgreaterthan0.64 rL.

RLCcircuit;resonance;frequencycharacteristic;quantityfactor

2015-08-31；

2015-11-12

“大学物理实验”广东省教学团队资助

陈国杰(1965—)，男，湖南祁东人，佛山科学技术学院理学院教授，博士，主要从事物理电子教学与研究工作.

O 353.5

A

1000- 0712(2016)06- 0029- 04