澳大利亚数学教材中的数学文化研究——以“整数”一章为例

唐恒钧，张维忠，李建标，佘伟忠



澳大利亚数学教材中的数学文化研究——以“整数”一章为例

唐恒钧1，张维忠1，李建标2，佘伟忠3

（1．浙江师范大学教师教育学院，浙江金华 321004；2．余姚中学，浙江余姚 315400；3．墨尔本大学教育研究生学院，澳大利亚墨尔本 3800）

从文化的视角，分析澳大利亚初中数学教材“整数”一章中的数学文化类型、运用水平和文化功能，并从呈现更多样的文化类型、采用更加内在而自然的运用水平、体现更全面的文化功能等3个方面提出思考与建议．

澳大利亚数学教材；整数；数学文化类型；运用水平；数学文化功能

从文化的视角研究数学课程已引起越来越多的研究者关注[1~3]．王建磐曾明确指出，“数学除了知识技能及应用以外，更重要的是它本身就是一种文化．从文化的高度来建设数学课程, 有利于提高学生的数学素养”[4]．与中国的数学课程注重数学文化一样，澳大利亚数学课程也体现了这一特点[5]．吴立宝等对澳大利亚的初中数学教材[6]（下简称）的编制结构进行研究发现，“正文内容里面渗透大量的数学史内容，结合本国一些人文、自然景观进行渗透，进行数学文化教育，此外还以开放的视野接受其他国家的文化元素”[7]．为进一步考察中“渗透了哪些数学文化”、“又是如何渗透的”、“渗透的目的是什么”等问题，这里将采取更为微观的视角，以七年级“整数”这一章为个案进行剖析，以期为中国数学课程改革，尤其是教材编写和教学资源的开发与利用提供更细致的借鉴．

1 数学教材中数学文化的分析框架

数学教材中的数学文化可以从数学文化的类型、在数学教材中的运用水平以及数学文化的功能等角度加以分析．

就数学文化的类型而言，汪晓勤曾将其分为数学史、数学与生活、数学与科学、数学与人文、数学与艺术、趣味数学等6类[8]，后又整合为数学史、数学与生活、数学与科学技术、数学与人文艺术等4类[9]．刘芳则将数学文化分为数学史料、数学与其它学科、数学与生活实际、数学与现代信息技术、数学游戏等5类[10]．以上述研究为基础，将教材中的数学文化分为数学史、数学与生活、数学与科技、数学与人文艺术、数学游戏等5类．其中前4类借鉴文[9]中的界定，第五类借鉴文[10]中的界定，在此不再赘述．

就数学教材中数学文化的运用水平而言，研究采用王建磐等在文[11]中所提出的框架进行分析．即，将数学教材中数学史的运用水平分为点缀式、附加式、复制式、顺应式等4类；将其余类型的数学文化运用水平分为外在型、可分离型和不可分离型等3类．

就数学文化在数学教材中的功能而言，Dickenson-Jones[12]曾基于数学教材与文献的分析，提出了“分离”、“转化”、“整合”、“关联”和“一体化”五环模型，并构建了数学教材中数学到文化实践之间的价值连续统：提供背景性情境—提供应用性情境—拓展数学思维与方法—促进数学与文化交融—体验文化实践．研究以该价值连续统作为分析框架．其中“提供背景性情境”是指，文化素材为学校数学的学习提供一个背景性的素材，但不要求学生投入到这个背景素材的学习．比如，在教材中提供了一幅少数民族编织物的素材，但学习与这个背景无关，而只是讨论了这个编织物上的图形模式．“提供应用性情境”则需要学生参与一些文化实践，让学生意识到学校数学的作用，但不强调在不同文化中建构知识的多样方法．比如，给学生一个日常生活中的问题情境，要求学生用学校中所学的数学知识加以解决．“拓展数学思维与方法”则是要求学生通过文化素材对学校数学与其它文化实践中的数学进行理论上的比较，以此拓展学生的数学思维与方法．比如，学生通过讨论、比较巴布亚新几内亚传统的测量方式与公米制之间的区别，但该活动的目的仍是学习学校数学，而对学生在传统文化实践上的表现没有要求．“促进数学与文化交融”则要求学生通过体验文化实践与学校数学，建构起学校数学与文化实践间的关系．比如，会要求学生体验中国古代的记数系统与西方记数系统，并建立两者间的联系．“体验文化实践”则要求学生投入到文化实践中，至少在某些方面要像其原来文化实践中的形态一样，其功能在于对文化的体认，而非数学学习．在Dickenson-Jones对7份教科书的分析中仅有一个例子体现了最后一种功能．即，按“Yolngu亲属关系”的要求让学生扮演与真实的Yolngu亲属关系一样的关系，而其目标是让学生经历这种文化实践而不是学习数学．

在统计过程中，还有如下操作标准：首先，以文化元素与教材中设置的活动为共同的分析单元，即当一个活动中出现多种类别的文化元素时分别计数，当一个文化元素出现在不同活动时也分别计数．其次，在统计中把习题中的数学文化作单独处理．这是因为教材中习题较多，且一个题目又常常会有若干个小题，所以上述统计方法所得到的结果会使例习题的份量过重，而偏离教材中数学文化的实际特点．第三，如果教材中插图与相应文本主题相关，或是教材所设定的5位人物角色（4位学生、1位教师）时，该插图不作统计．

2 “整数”一章中的数学文化

在整数一章中共包括89项有关数学文化的条目，其中出现在除例习题之外的栏目（记为C1）中22项，例习题（记为C2）中67项．

2.1 数学文化的类型

分析数学文化的类型发现（如图1），教材特别强调数学与生活的关联，同时也关注数学史、数学与科技等其它文化类型．

在该章共出现了39项数学与生活关联的条目．从教材栏目看，C2比C1更多．这是因为，将练习题分为“技能型”、“应用型”和“分析型”3类，其中后两类尤其是“应用型”练习题常以现实生活为背景．另外，C1中有6项为个体生活，两项为公共生活；而在C2中有13项为个体生活，18项为公共生活．C1和C2之间的这种生活子类型的差异与其功能定位有关，这将在后文中作进一步讨论．

该章出现数学史的次数达到了23项，其中C1有7项．比如，在该教材中单列一节内容介绍印度—阿拉伯、托雷斯海峡、埃及、罗马、古巴比伦、古中国等不同文化中的记数系统．又比如，在探究栏目中介绍了“回文数字”的历史．当然，更多的数学史出现在了C2中（16项），主要是“记数系统”的配套练习．

另外，在该章中不仅呈现了“幻方”这一数学游戏，同时还借助数字运算编制了两个游戏．其中一个游戏是给定一些条件，要求学生根据整数运算顺序，通过四则运算探索一些奇特的数字现象．比如，以问题解决的形式要求学生用“4”这一数码进行四则运算，以此得到其它数．另一个游戏是关于奇数与偶数的数字黑洞问题，即给学生一个初始的数，并要求他们反复按照以下两个方法之一进行运算，直到将这个初始的数转化为1，并计算出转化的步数：如果一个数是奇数，则乘以3再加1；如果一个数为偶数，则除以2．

尽管“数学与科技”在数量上不少，但主要是以问题情境的形式出现在C2中．而数学与人文艺术等方面的数量则较少．

可见，数学文化的类型还不太均衡，总体以数学与生活的关联为主，其次是数学史，其它类型较少．

2.2 数学文化的运用水平

从图2可以看出，中数学史的运用水平是比较高的，近70%的条目属于顺应式运用，尤其是在C2中强调通过问题让学生在不同记数体系之间建立起关联，比如要求学生用古埃及的记数体系写出给定的阿拉伯数字．

图2 “整数”一章中数学史的运用水平

就其它数学文化类型的运用水平而言，如图3所示，有近四成的条目属于不可分离型．如在学习“取近似数”这一内容时，用生活中确实存在的问题情境加以引入．具体地，以漫画形式呈现学生Max的话：“我们学校有700名学生．”正文中则进一步提出问题：“Max的学校的学生数真的正好是700人吗？”

当然也还存在超过半数的条目是可分离型的，尤其是C2中更为明显．这主要是因为在例习题中出现了较多的可分离的应用情境，用情境掩饰数学问题，要求学生运用数学知识解决外在于情境的数学问题．比如，“小Lucy只有4周大．她出生多少分钟了？”显然这个问题是为了让学生有练习时间换算的机会强加给这个情境的，在真实生活中没有人会把小Lucy出生的周数换算成分钟数的．

还值得注意的是，数学史的点缀式运用，其它数学文化类型的外在型运用的比例较低，这一方面表现出数学文化的运用水平较高，但另一方面也是由于在研究的统计标准中，并未计入那些在正文中有直接文本解读的插图．

进一步分析不同文化类型的运用水平可以发现（如图4），数学游戏在这一章中的运用水平较高，以不可分离型为主．而数学与生活中有近60%属于可分离型，出现了较多如上述“时间换算”的例子类似的情况．因此需进一步优化生活素材的运用水平．另外，其余两类数学文化的运用水平偏低，多处于可分离型或外在型水平．

总体来说，的数学文化运用水平较高，数学史以顺应式为主，其它数学文化类型不可分离型运用水平达到四成以上．但另一方面，数学与生活、数学与人文艺术、数学与科技等文化类型有相当比例属于可分离型的运用水平，文化与数学的结合有待深化．

2.3 数学文化融入数学教材的功能

由图5可知，数学文化功能主要体现在提供数学应用性情境上，这与该教材对数学应用的重视有很大关系．其次是促进数学与文化交融、提供背景性情境、拓展数学思维与方法等，这表明该教材也充分考虑了数学文化价值的丰富性．整章教材没有出现只为了体验文化实践的条目，这是比较理性的．因为作为数学教材而言，其首要的功能定位应是数学或数学文化的传承与发展，数学是核心的关键词，因此单纯为了文化而文化、并且缺少数学元素的文化条目是不恰当的．

比较C1和C2中的数学文化功能可以发现，两者之间存在着明显的差异．C1以提供背景性情境最多，其次是拓展数学思维与方法，再次是促进数学与文化交融，最后才是提供应用性情境．C2则是“提供数学应用性情境”一枝独秀，是排在第二位的“促进数学与文化交融”的4倍左右．当然出现这一现象是与栏目本身的特点有关，在C2中应用型练习题数量较大，而且在技能型和分析型练习题中也有许多属于应用数学的问题．

进一步分析各种数学文化类型的功能可以发现（图6），数学史以“促进数学与文化交融”为主，其次是提供背景性与应用性情境，最后是拓展数学思维与方法．数学与生活的关联主要作用在于提供数学应用性情境，其次提供背景性情境．值得注意的是，在C1中生活素材的功能以提供背景性情境为主（占62.5%），且更多地采用了个体生活素材（占75%），这似乎在表明其更适合于为学生数学学习兴趣的培养与数学理解提供背景．事实上，数学游戏常以数学益智题的形式出现，其形式也更适合于发展数学思维．数学与科技、数学与人文艺术都主要是为数学问题提供应用情境．可见，目前后两类数学文化的功能单一且还有待深化．

由此可见，较为丰富地展现了数学文化的功能，且针对不同的文化类型有不同的功能定位．相比较而言，在数学与科技、数学与人文艺术方面的功能定位略显单一．

3 若干启示

数学教材是“文化、课程文件与课程实施最为核心的汇合点”[13]．因此，从文化角度研究数学教材，这对于教材评估、使用及其发展都是非常重要的[14]．

3.1 呈现更多样的文化类型

学校数学中强调数学文化观念和数学文化的融入，这既是对数学哲学观念发展的一种回应，同时也是在试图破解传统数学教育中存在的问题．传统的学校数学常给人以数学的纯粹性与先验性印象，而数学文化观则强调数学是人类的一种文化实践，强调发展的历史性与多样性以及人类在其中的创造性作用等特征．因此，教材中多样的数学文化类型有助于人们理解数学作为一种文化实践所表现的方面，这既有助于人们形成较为全面的数学文化观，也能拓展师生关于数学及其文化的视野．

从“整数”一章发现，该章呈现了多样的数学文化．但从具体类型而言，出现了重数学内部文化轻外部文化、重理轻文的现象．即较多地体现了多元文化数学史、数学与生活的关联、数学游戏等数学文化类型，在习题中也出现了一些数学与科技的关联，但数学与人文、艺术的结合明显不足．当然，出现上述现象与数学教材中可纳入的文化素材多寡、难易有关，但如何纳入更多的人文、艺术类的文化素材仍然是需要不断探究的．事实上，在许多文化艺术作品中蕴含着数学元素，而且也是学校数学学习的良好载体[15~21]．

3.2 采用更加内在而自然的运用水平

有研究指出，当前中学对数学文化与数学史存在“高评价、低应用”的问题[8]．这其中一个重要的原因是教材中数学文化运用水平不高．具体而言，如果教材中的数学史多以点缀式、附加式，其它数学文化类型多处于外在型、可分离型的运用水平，那就无法真正让学生感受到数学既根植于文化又促进了文化的发展，反而会给教师和学生一种从外部强加背景的感觉，因此数学文化也就变得可有可无．

“整数”一章中，在数学史、数学游戏等文化类型上体现了较高的运用水平，所呈现的生活情境也有近40%是问题内在于情境之中的，但在数学与科技、数学与人文艺术方面运用水平较低．因此，还需要挖掘与筛选更多的文化素材，以更加内在而自然的方式融入到数学教材中．

3.3 体现更全面的文化功能

数学文化融入数学教材必须以其功能的设定为基础．不清晰或附属化的文化功能是数学文化“高评价、低应用”的另一个重要原因．因为，当教师不理解甚至教材本身都不具有清晰的数学文化功能定位时，那么其实践效果必然受到影响，教学中甚至会变成只是“正餐后的甜点”而已．此外，当数学文化的功能只是简化为提供背景时，教师和学生体验到的数学文化也必然会是狭隘的．

可喜的是，该教材呈现了除数学文化“体验文化实践”外的各类功能，有助于师生全面领略数学文化功能．更重要的是，正文中出现了较多的旨在拓展数学思维与方法、促进数学与文化交融的条目，这有利于数学文化由甜点变正餐，真正融入数学日常教学中．

可以看出，尽管从数学文化的视角看，还存在一些有待完善的问题，但总体上展现了多样的数学文化类型，数学文化在教材中有着较高的运用水平，并体现了更全面的文化功能．当然这仅是以一个章节开展的试验性研究，在其它章节是否具有类似的特点，这是需要进一步考察的．但无论如何，在这一章中所体现的特点值得中国教育工作者编写教材或开发与利用教学资源时加以借鉴．

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[责任编校：周学智]

Cultural Study of Australian Mathematics Textbooks: Taking “Whole Number” as a Case

TANG Heng-jun1, ZHANG Wei-zhong1, LI Jian-biao2, Wee Tiong SEAH3

(1. College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China;2. The First High School of Yuyao, Zhejiang Yuyao 315400, China;3. University of Melbourne, Melbourne 3008, Australia)

isa set of mathematics textbooks wildly used in the state of Victoria, Australia. A chapter names “Whole number” from such textbook was analyzed from cultural perspective, which included categories, integrated level and function of mathematics culture. At last, some advice for reform of mathematics curriculum was promoted: with various mathematics culture in textbook, integrating mathematics culture more internally and naturally, and with comprehensive functions of mathematics culture..

mathematics textbooks of Australia; whole number; categories of mathematics culture; integrating level; function of mathematics culture

G423.3

A

1004–9894（2016）06–0042–04

2016–07–22

2014年教育部人文社会科学研究规划基金项目——文化视野下中澳数学课程的比较研究（14YJC880066）；2015年教育部人文社会科学研究规划基金项目——民族数学与数学课程改革（15YJA880107）

唐恒钧（1979—），男，浙江余姚人，副教授，硕士生导师，主要从事数学课程与教学研究．