HPM教育价值剖析及应用取向的深度挖掘

徐章韬，汪晓勤



HPM教育价值剖析及应用取向的深度挖掘

徐章韬1，汪晓勤2

（1．华中师范大学数学与统计学学院，湖北武汉 430079；2．华东师范大学数学系，上海 200241）

HPM是一个新兴的研究领域．教育取向的数学史对课堂教学，对认识数学的文化性，对师范生的培养均有重要意义．认知的历史相似性原理的系列实证研究、基于数学史的教学设计研究、数学史知识在课堂教学中运用的实验研究、运用数学史促进教师专业发展的行动研究等挖掘了教育取向的数学史的教育价值．利用信息技术挖掘教育取向的数学史的教育价值是一条值得尝试的新路．

HPM；教育价值；信息技术

1 HPM是一个新兴的研究领域

对数学史的研究历来有不同的取向．李文林认为数学史的研究具有三重目的[1]：一是历史的目的，即恢复历史本来的面目；二是数学的目的，即古为今用，为现实的数学研究与自主创新提供历史借鉴；三是教育的目的，即在数学教育中利用数学史．第三种取向在当前已成为一种国际现象，以教育取向的数学史HPM（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，HPM）的成立及其相关工作为标志．Sierpinska分析了看待、研究和运用数学史的4种不同方式[2]，分别称之为历史学家、认知学家、教育学家Ⅰ、教育学家Ⅱ．历史学家主要关注数学发生发展的精确时间，把数学史本身当作一门学科；当运用数学史于课堂教学时，历史学家关注所呈现的历史事实的精确性，重考据．认知学家关注数学知识的本质和学生如何学数学，关注数学思想方法的发生发展过程及其对学生思维发生发展的启迪．两种类型的教育家都关注历史上的数学思想方法本身对数学学与教的重要性．教育学家Ⅰ的关注点在于把数学史作为一种教学设计的工具，以这种方式营造意义丰富的背景，在此情境中自然地引出数学概念．教育学家Ⅱ比第教育学家Ⅰ走得更远，他们在数学历史发生发展的长河中，力求通过比较、对比等方式寻求理解特定数学概念、方法或理论的适切方法和探寻学生学习困难的真正原因．

教育取向地运用数学史具有十分重要的意义．如果把数学看作是固定的、完成了的知识体系，把数学教学看作是从教师到学生的知识传递，那么在数学学与教的过程中很难有数学史、数学文化的位置．相反，把数学看作是多种知识形式中的一种文化表现形式或人类活动，那么研究数学的历史将是有意义的，研究数学的历史将是在一定的文化背景中更好地理解人类自身和数学知识之间关系的一种比较好的方式．真正地整合数学史到数学教学中，将引导学生把数学史看成联结不同时间、不同地域和不同领域的数学之纽带，能让学生了解数学的发生发展过程，明白数学是一种动态的和创造性的人类活动，明白数学是一种文化现象．课堂教学是学校教育的主阵地，立足于课堂教学探寻教育取向的数学史之于教育系统各要素，如，课程与教材，教学、学习等之间的关系，就显得非常有必要了．这里以已有的研究为基础，着重探讨HPM的教育价值及其由此衍生的教育应用，并展望在信息技术背景下，HPM的发展态势．

2 HPM教育价值剖析

教育取向的数学史对课堂教学，对认识数学的文化性，对师范生的培养均有重要意义．

2.1 HPM有助于“理解数学”“理解学生”可以是教学的指南

理解数学、理解学生是做好教学工作的两个重要前提．HPM在这个两个方面都能给教师以裨益．

整合数学史到课堂教学中对教师数学素养和教学水平的提升大有裨益．对教师而言，数学史可以改变教师自身对数学的洞察力和对数学的了解，可以帮助教师思考数学．这是一个随着时间的进行而不断反思并改善的过程；有了这样的认识之后，就会影响教师的教学方式，使教师对学生所犯的错误采取包容和理解的正面态度，恰如其分地处理学生在学习过程中所犯的错误．教师通过应用数学史，以及对数学发生发展的反思，除了有可能引发数学教师自身教学策略的改变以外，最后也可能会影响学生接受和了解数学的方式．如，Barbin认为[3]，在数学教学中融入数学史的最常见的两个理由是：对于数学是什么的观念，数学史为人们提供了另一种视角；数学史能使人们对数学的概念和理论有更好的了解，了解数学思想发生发展的过程，有助于增进理解．对比古今，可以更好地明白现代理论的优点及与古代理论之间的关联．研究数学史和课堂教学的整合能修正教师关于数学的信念，并使数学的学与教更加趋向建构主义的观点．Tzannaki & Arcavi等提出数学史可以帮助数学教学的5大原因[4]：帮助数学学习；对数学的本质和数学活动的发展的认识，提供了另一种视角；提升数学教师自身的教学知识；让教师更加热爱数学；将数学视为一项文化成果．整合数学史到课堂教学中是意识到内隐于数学的各个领域之内，数学与其它学科间联系的一种很好的方式；若把这种联系用教学语言表达，帮助学生构建纵横交错的认知结构，则是对教师知识和创造性的一种令人兴奋的挑战，将有助于提升教师的学术水平和教学水平．事实上，在整合过程中，教师的数学素养，提问、反应、解释、举例等教学技能，呈现或解决问题的方法都大大提高和丰富了．

教育取向的数学史有助于教师理解学生的学习心理，为教师理解学生的学习心理提供了一种途径．Kelly认为[5]，在学生难以掌握的数学内容和数学共同体难以接受的数学内容之间存在某种联系．通过研究数学史和它在数学教学中的适当整合，教师对学生在学习过程中遇到的困难更加敏感，能更好地移情性地理解和更有的放矢地讲解．因为，学生的学习障碍与过去数学家遇到的障碍相似．Ernest认为[6]，数学史是一种认知预测工具，能帮助教师预测学生在数学学习过程中遇到的认知论障碍；也是一种诊断工具，能帮助教师诊断学生认知表现的错误根源．数学史为学生提供了进一步探索的机会和素材，使教学更有针对性，这是提高教学效率的诀窍之一．Barbin还认为[3]，教师的数学史知识除了使他们更好地理解教学中使用的数学概念之外，还能改变他们看待学生的方式，把学生看作是能思考会探究的人．学生的很多认识论障碍是传统教学把数学割裂了造成的，当以发生发展的观点运用数学史时，能消解学生通向真正数学理解的认识论障碍．传统地，人们认为经验教师因其有丰富的教学经验而能很好地把握学生的学习心理，初入职的教师则不能；HPM理论改变了人们的观念，初入职教师通过HPM的学习也能把握学生的学习心理，这是新教师快速成长的一条捷径．

萧文强的论述[7]几乎涵盖了以上所有观点，他将教育取向的数学史对数学教学的作用概括为以下几点：引入学习动机，使教师及学生保持对数学的兴趣和热情；为数学平添人情味，使学生明白前人创业的艰辛，不要把学习中的困难归结为自己的愚笨；教师也可以从数学发生发展过程中的“绊脚石”来了解学生的学习困难，可以参考数学史作为教学的指引．

HPM通过对课程内容的历史解读，对学生心理的历史把握，进而对教学产生有效的指导作用．

2.2 HPM揭示了数学的文化价值

关注数学发生发展的历史过程能使教师和学生看到数学演化的特征，看到数学的文化性．历史性是文化的一个重要特征，数学的发生发展具有历史继承性．实用的、科学的、哲学的和美学的因素，共同促进了数学的形成和发展．数学传统的不断变革及数学知识的前后延续性是数学发生发展的重要特点．Davitt说[8]，当下的数学理论、思想和算法都是“出身粗糙的碳，但经过打磨了的金刚石”．Reimer & Reimer认为[9]，数学史是一门活的学科，是连接过去与现在的桥梁，新与旧的衔接是数学发生发展中常有的事．数学史充满了贯穿知识体系发生发展道路上的兴衰起伏和趣闻轶事，提供了革新和创造在学科发展过程中起作用的大量例子，如，在19世纪，代数学由于群的概念引进和发展而获得了新生，为代数结构观念的产生奠定了基础；几何学由于非欧几何的发现而引发了人们空间观念和几何观念的最深刻的革命；分析学的严格化使纯粹数学表现出更高的抽象性、更强的统一性、更深入的基础探讨．一代又一代数学工作者“接力式”的工作，使得数学从一个境界走向又一个境界．其中，有“一将功成万骨枯”的无奈，也有“手起刀落”猜想获证后的酣畅淋漓，充分表现了数学的文化性．

从发生发展的观点整合数学史到课堂教学中，能使学生认识和承认影响数学发展的文化的、政治的、社会的和经济的背景，以及它们在数学演化中所起的重要作用，对学生数学观的形成有极大的促进作用．在教学中，渗透多元文化的观点，在宽广的文化背景中考量数学，可以揭示数学的发生发展脉络，从而让学生了解数学与社会发展的关系以及和其它学科之间的联系，从而获得对数学本质的深刻认识，更新观念，实现人类自身的智慧传承、文化关怀和精神超越．学生可能会意识到数学和社会之间的互动，即社会规范和文化实践怎样影响了数学发展，可能会意识到数学实际上是一种创造的和文化的人类努力，是人类知识、思想和方法的薪火传承．以东方文明为基础的算法数学和以西方文明为基础的演绎数学，就是其中的典型代表．数学不是一种形式的符号演绎，每一个字符后面都有鲜活的故事，数学是“人为”的和“为人”的．这样的教育已经超越了知识教育的藩篱，而是一种文化教育，有助于学生数学观的形成，有助于学生的成长．

2.3 HPM对教师教育有重要的促进作用

在理论上，教育取向的数学史对教师教育有重要促进作用．E. Jan Dijksterhuis强调数学史在师范教育中的重要作用[10]，他认为对于师范生而言，数学史知识是一种财富，这种财富不仅是宝贵的，而且是不可或缺的，数学史将使他们能够令人满意地完成自己的职责．Furinghetti Fulvia认为[11]，数学史不仅是数学文化发展步骤的记载，还能推动对数学知识本源的强有力洞察，师范生要以数学史为背景，以不同方式认识他们将来要教授的主题，从而重塑他们对学校教学模式的信念．教育取向的数学史融数学与历史于一体，教师能看到各种视角各种观点的碰撞，做数学的各种活动经验，在潜移默化中受到了科学方法论的熏陶，教师的数学观、教学观和学生观能得到洗礼．

在实践上，要“知行合一”，不断探讨教育取向的数学史对教师发展的新视角和新模式．设计在课程中使用数学史的学者得出的综合性结论是教师培养方式可以从历史知识中受到启迪．不过也有少数研究报告说，虽然在教师培养中使用了数学史，但并没有使师范生的水平发生显著的变化．研究者认为这可能与使用数学史的角度有关．如果教师运用数学史的方式局限于给师范生提供一些零零碎碎的历史说明，容易使师范生对数学历史的发生发展过程形成虚假的和扭曲了的观点．事实上，局限于运用某个时段的数学史料并不能真正地整合数学史到数学教育中，有可能无法对师范生的学习产生有效的作用．因此，教育取向的数学史应采取发生发展的视角，在宽广的时空范围内考量数学，从而发展面向教学的数学知识，为教师职业素养的提高打下坚实的基础．具体发展模式如可以采取微视频案例研修的方法，等等．微视频案例提供了一种情境性的“例中学”方式，有助于教师领会在课堂教学中运用HPM时，无法言说的缄默性知识．研究者正在研究HPM微视频在教师专业发展中的作用．

3 HPM教育价值应用取向的深度挖掘

教育取向的数学史的教育价值有待挖掘．数学对象具有“过程—对象”的二重属性已获得了广泛的认同，若把最终成形的数学知识看作是一种对象，数学知识当然是在过程中形成的，那么若看重数学史对数学教育的作用，是否也应该在“过程—对象”的整体性框架内充分考量？人们对那种不重思维过程只重思维结果的教学，形象地称之为“掐头—去尾—烧中段”，从发生发展的角度运用数学史于数学数育的做法主张实现“烧全鱼”，这与中国新课程标准的理念是一致的．尽管人们对教育取向的数学史有很高的评价，但是教学实践中的应用却不尽如人意．研究者分别从4条路径深度挖掘教育取向的数学史的教育价值．

深度挖掘的方向之一是理论基础建构．在数学教学中运用数学史的最重要的依据是认知的历史发生原理和发生教学法．研究者曾对此进行过详细的阐述[12~13]．理论方面的研究还需要更开阔的视野，借鉴不同学科的观点和方法，特别是和PME的联动．

深度挖掘的方向之二是教学设计研究．数学史知识与具体数学教学内容的结合，一直是HPM学者的研究目标之一．1995年在美国国家科学基金资助下成立的、由美国数学协会主管的数学史及其在教学中的运用研究所的重要工作之一是开发“历史模块项目”．并按下列模块进行融入数学史的教学没计：组合学、指数与对数、函数、几何证明、长度、面积和体积、线性方程、负数、多项式、统计、三角等．运用数学史进行教学设计的一个值得推广的做法是学习单的设计．如，苏慧珍利用“数学期望学习单”把历史无声地用到了教学之中．这种表面上看起来没有历史，实则是以历史发生发展的精髓为主线的教学设计，是运用数学史于教学设计的典范，也是运用数学史到教学中的努力方向．一般说来，这样的设计应遵循发生教学法：（1）教师了解所教主题的历史，即了解主题的历史现象学；（2）理解该主题历史进化的关键步骤；（3）在现代情境下重构推动进化的关键思想或问题，使之在教学上适合介绍新的概念、方法或理论，这样做是基于历史而不拘泥于历史；（4）上述重构按从易到难的系列问题给出，后面的问题建立在前面的问题的基础之上，采取有序的问题驱动模式．现在广为使用的学案导学，是可以把数学史融入在其中的．

深度挖掘的方向之三是效果检测评价研究．基于发生教学法设计的教学是否有效，还要经过课堂实践的检验．因此，HPM的一项重要研究工作就是教学实验的设计研究．McBride & Rollins早在1977年就进行了一项为期12周的实验研究[14]，发现使用数学史知识的课程在提高学习数学的积极性方面是十分有效的．Kool在以20名11—12岁的小学生为对象的教学实验中[15]，发现学生对历史上的方法产生了浓厚的兴趣，为自己的解法与历史方法的一致性而兴奋不已，从中他们知道了数学问题解法的多样性，比较了解法的优劣，加深了理解，拓宽了思维．Lakoma从历史角度对概率统计的教学做了深入研究[16]，指出在教概率时应该将概率概念历史发展的二重性同步地教给学生，否则会妨碍学生今后的认识．Bakker经过5个班级的循环实验[17]，设计了一套能帮助学生更好地学习平均数的教学方案．他给出了几点基于历史发生发展的教学建议：有必要把估计总数作为平均数教学的开端；引入中列数的概念；利用几何方法定义平均数．

深度挖掘的方向之四是教师发展研究．运用教育取向的数学史促进教师专业发展是HPM的重要意义之一．苏意雯通过个案研究了教师实施HPM教学的改变[18]，研究发现教师的反思、批判能力增强了；推动其对数学知识的统整，加强了逻辑和历史层面之间的连结；其转向了以学生为主体的教学．洪万生对比了两位教师发展的案例[19]，探索了当HPM介入数学教师专业发展时，参与的教师可以在哪些方面获得发展，同时也据此提出了有关数学教师专业发展的策略，研究指出，即使参与研究的教师既资历浅，又对数学史料略知一二时，也可以利用HPM来促进其专业发展，譬如HPM所引发的“反思”与“统整”，对于教师面向教学的数学知识素养，就可以带来非常正面的帮助．刘柏宏等研究了用历史发生发展的方法教授微积分课程的做法[20]，及如何发展台湾大学生有关数学思考的观点．研究发现，被试可能更珍视做数学过程中的逻辑感、创造性和想象力．而且，大学生更倾向对数学知识的确定性持保守态度．被试的关注经历了从把数学看作结果转变到把数学看作过程的转变．研究者本人也承认他对数学思考的深刻理解大部分是从数学史中获得的．汪晓勤通过个案研究指出[21]，HPM介入数学教学后，实验教师逐渐形成了自己的教学风格，对教材的批判能力有了提升，对教材的拓展意识有了增强，对学生的认知规律有了更深刻的理解，教学研究能力有了改善．HPM可以有效地促进中学数学教师的专业发展．

当然还有很多尝试，由于还不太成熟，故在此没有展开论述．如，HPM视角下的教材深度解读[22]，HPM与问题解决[23]，等等．

4 深度挖掘HPM教育价值应用的新尝试

在信息化时代，要与时俱进地寻找新的方式和手段挖掘HPM的教育价值，并推动其更好的走向实践．教育取向的数学史的教育价值需要用信息技术的手段加挖掘．这是一条比较新的研究路径．Kidron对84名16—17岁学生做了多项式逼近的教学试验[24]．他将历史材料与现代计算机技术做了完美的结合，参照历史发生发展的顺序，从18世纪欧拉和拉格朗日到19世纪柯西和切比雪夫，最后到20世纪初的龙格，利用计算机软件演示各个阶段多项式逼近函数的过程．循着历史发生发展的脉络来引导课堂教学，带领学生追溯了理论创立者的思考过程，历史发生发展的视角促进了学生对极限、收敛、逼近等概念的深入理解．计算机将静态的代数表达式转化成动态的图形，锻炼了学生的直觉思维．有鉴于此，研究者对这个方向非常感兴趣，先期做了一些经验性的研究，如“超级画板支持三角形和定理：从历史到课堂”、“按掘赵爽弦图的导入功能：信息技术使数学史熠熠生辉的一则案例”等经验性课题，然后在此基础上成功地申报了中国博士后科学基金特别资助项目“信息技术推动数学历史文化进入课堂教学之研究”的课题．研究者注意到在最新的外文文献中也有了这方面的尝试了[25]．作为课堂教学重要导引的选拔性考试，也越来越重视从数学史料的取材并命制成高考试题．如，2015年湖北高考第21题源于荷兰数学家舒腾（F. van Schooten）的椭圆作图工具，能在超级画板的支持下很好地演示出来．这是信息技术与数学史结合的一个很好的尝试．前面提到的制作HPM微视频也是一种新的尝试[26]．

要改变数学史“高评价，低利用”的现状，就要充分挖掘教育取向的数学史的教育价值，并使之具象化．如何挖掘，并使教育取向的数学史的教育从口号式理念走向工程化的教学实践，需要教育工作者不断地探索、寻求新的有效方式．

[1] 李文林．数学的进化——东西方数学史比较研究[M]．北京：科学出版社，2005．

[2] Sierpinska A. The Diachronic Dimension in Research of Understanding in Mathematics Usefulness and Limitations of the Concepts of Epistemological Obstacle [A]. In: Jahnke H, Knoche N, Otte M.[C]. Gottingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1986.

[3] Barbin E. The Role of Problems in the History and Teaching of Mathematics [A]. In: Calinget R.[C]. MAA, Washington, 2000.

[4] Tzanakis C, Arcavi A. Integrating History of Mathematics in the Classroom: An Analytic Survey [A]. In: Fauvel J, van Maanen J.[C]. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 2000.

[5] Kelley L. A Mathematical History Tour [J]., 2000, 93(1): 14-17.

[6] Ernest P. The History of Mathematics in the Classroom [J]., 1998, 27(4): 26-31.

[7] 萧文强．数学史与数学教育：个人的经验和看法[J]．数学传播，1992，（3）：23-29．

[8] Davitt R M. The Evolutionary Character of Mathematics [J]., 2000, 93(8): 692-694.

[9] Reimer L, Reimer W.[M]. Dale Seymour Publications, 1993.

[10]  Fauvel J, Maanen J Van.[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[11]  Furinghetti F. Teacher Education through the History of Mathematics [J]., 2007, 66(2): 131-143.

[12] 徐章韬，汪晓勤，梅全雄．认知的历史发生原理及其教学工程化——以数学学科为例[J]．数学教育学报，2012，21（1）：26-42．

[13] 徐章韬，汪晓勤，梅全雄．发生教学法：从历史到课堂[J]．数学教育学报，2010，19（1）：10-12．

[14]  McBride C, Rollins J H. The Effects of History of Mathematics on Attiudes toward Mathematics of College Algebra Students [J]., 1977, 8(1): 57-61.

[15]  Kool M. An Extra Student in Your Classroom: How the History of Mathematics can Enrich Interactive Mathematical Discussions at Primary School [J]., 2003, 32(1): 19-22.

[16]  Lakoma E. Statistics Teaching and Cognitive Development [A]. In: Fauvel J, Van Maanen J.[C]. Dordrencht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[17]  Bakker A. The Early Development of Average Values and Implications for Education [J]., 2003, 11(1) http: //www.amstat.org/publications/je/vlnl/bakker.html.

[18] 苏意雯．数学教师以HPM促进专业发展之个案研究[EB/OL]．http://www.mtedu.tmue.edu.tw//eeys_teaching/研讨会/2004/0/6数理教师专业发展学术研讨会/PDF/113.pdf.

[19] 洪万生．PCK vs. HPM：以两位高中数学教师为例[A]．台北：数学教育会议文集，2005．

[20]  Liu Po-Hung, Niess Margrgaret L. Do Teachers Need to Incorporate the History of Mathematics in Their Teaching [J]., 2003, 96(6): 416-421.

[21] 汪晓勤．HPM与初中数学教师的专业案例发展——一个上海的案例[J]．数学教育学报，2013，22（1）：18-22．

[22] 徐章韬，梅全雄．HPM视角下的数学教材编写[J]．数学教育学报，2009，18（3）：14-17．

[23] 徐章韬．青浦经验：数学活动经验的教育表达[J]．数学教育学报，2008，17（5）：6-9．

[24]  Kidron I. Polynomial Approxnation of Function: Historical Perspective and New Tools [J]., 2003, (8): 299-331.

[25]  Papadopulos I. How Archimeds Helped Students Go Unravel the Mystery of the Magical Number Pi [J]., 2013, (8): 43-59.

[26] 侯小敏，汪晓勤．HPM微课在初中数学中的运用[J]．中学数学月刊，2015，（6）：61-63．

[责任编校：周学智]

Education Value and Application of HPM

XU Zhang-tao1, WANG Xiao-qin2

(1. College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China;2. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

HPM can serve a guide for teaching, and can reveal the cultural value of mathematics; and has an important role in promoting teacher education. An empirical Study of historical-genetic principle of cognition, instructional design study based on the history of mathematics, experimental study of the use of historical knowledge in the classroom teaching and the use of mathematical history to promote the teacher education exploit the value of HPM. It is a worthy path to explore the educational value of HPM by the means of IT.

history of mathematics education to education; education value; IT

G40-03

A

1004–9894（2016）06–0010–05

2016–10–18

华中师范大学中央高校基本科研业务费项目——基于学习理论的信息技术与学科教科书的整合（CCNU15A06015）；华中师范大学重大科研课题及创新示范基地培育项目——TPACK视角下卓越数字化教师的培养研究（CCNUE2015-5）

徐章韬（1976—），男，湖北京山人，副教授，博士，国家数字化学习工程技术研究中心博士后，主要从事信息技术背景下的教师知识研究．