从“数学史之经典”到“高考题之创新”

刘冰

近两年全国与各省高考数学题中出现了一大亮点与创新：中国数学史中的《九章算术》和《数书九章》走进了高考，实现了经典与创新的完美结合.

《九章算术》是中国古代第一部数学专著，《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，两部书主要涉及算法、几何、统计等方面内容，在2015-2016年全国及部分省的高考数学卷中均有所体现，成为近两年高考新载体.因此，我们应引导学生了解中国数学史，以便更好地把握高考.下面我对近两年相关高考数学题进行分析和点评，并对高考趋势进行合理预测.

一、算法方面

例1（2016年全国新课标II，理8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右（下）图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=？

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

解析：第一次运算：s=0×2+2=2；

第二次运算：s=2×2+2=6；

第三次运算：s=6×2+5=17.

故选C.

点评与预测：本题考查了必修3中算法案例的秦九韶算法，在著作《数书九章》中提出了这种多项式简化算法.

一般地，一元n次多项式的求值需要经过次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法.在人工计算时，大大简化了运算过程.

把一个n次多项式： f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

改写成如下形式：f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=（anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1）x+a0

=[（anxn-2+an-1xn-3+…+a3x+a2）x+a1]x+a0…

=[（…（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1]x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即

v0=an

v1=anx+an-1

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2=v1x+an-2

v3=a2x+an-3 …

vn=vn-1x+a0

这样，求n次多项式f（x）的值就转化为了求n个一次多项式的值.

结论：对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法.

学生应注意秦九韶算法的步骤及其程序框图，在未来的高考中，它仍将是一个热点.

例2（2016年四川卷，理6）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如（下）图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n，x的值分别为3，2. 则输出v的值为（ ）.

A. 9 B. 18

C. 20 D. 35

解析：初始值，程序运行过程如下

v=1，

i=2， v=1×2+2=4；

i=1， v=4×2+1=9；

i=0， v=9×2+0=18；

i=-1， 跳出循环，输出 v=18.

选B.

例3（2015年全国卷II，理8，文8）程序框图（下）的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=？

（A）0 （B）2 （C）4 （D）14

[解析]逐次运行程序，直至程序结束，得出a的值.

a=14，b=18.

第一次循环：14≠18且14<18，b=18-14=4；

第二次循环：14≠4且14>4，a=14-4=10；

第三次循环：10≠4且10>4，a=10-4=6；

第四次循环：6≠4且6>4，a=6-4=2；

第五次循环：2≠4且2<4，b=4-2=2；

第六次循环：a=b=2，跳出循环，输出a=2，故选B.

点评与预测：本题考查了必修3中算法案例的更相减损术，它包含在《九章算术》的“方田章”中，由过去的高考冷门，成为2015年高考热点.更相减损术与程序框图相结合，加大了该问题的难度.学生只有理解更相减损术，才能更好地完成此题.

因此，在必修3的“第1.3 算法案例”的学习及高考复习中，学生应更加重视：

案例1 辗转相除法（欧几里得算法）、更相减损术（《九章算术》）及其程序框图；

案例2 秦九韶算法（《数书九章》）及其程序框图；

案例3 进位制及其程序框图.

二、几何方面

例4（2015年全国卷I，理6，文6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）.

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛

解析：由米堆底部的弧长可求出圆锥底面半径，进而求得米堆的体积.

设米堆的底面半径为r尺，则r=8，解得r=，所以米堆的体积为V=·？仔r2·5=2·5≈（立方尺）.

故堆放的米约有÷1.62≈22斛，故选B.

点评与预测：《九章算术》与高中内容交汇点如下表：

三、统计方面

例5（2015年湖北卷，理2，文2）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）.

（A）134石 （B）169石 （C）338石 （D）1365石

解析：254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量.

设1 534石米内夹谷x石，则由题意知，解得x≈169，故这批米内夹谷约为169石.

点评与预测：南宋时期的秦九韶的著作《数书九章》中的“米谷粒分”问题，体现了统计思想，用样本估计总体.

从此题中可以看出，未来的高考中，可以《数书九章》为载体，考查统计与概率等知识点.

《九章算术》和《数书九章》是中国几代人共同智慧的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成.在新时期下，在实现中华民族伟大复兴的中国梦的大形势下，中国数学史之经典，必然会成为未来高考的新热点.

从2015年全国II卷的“更相减损术”，到2016年全国II卷的“秦九韶算法”，在2017年的高考复习中，我们应更注意“辗转相除法”和“进位制”等内容的讲解和训练.