六阶微分方程组次特征值的定量估计

黄振明



六阶微分方程组次特征值的定量估计

黄振明

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

运用Sturm-Liouville特征值定性理论，对六阶微分方程组广义低阶特征值进行估计，获得用主特征值来估计次特征值上界的显式不等式，其估计上界与所论区间的长度有关，而与区间在数轴上的具体位置无关.

Sturm-Liouville特征值定性理论；六阶微分方程组；广义低阶特征值；次特征值

1 问题提出

19世纪30年代，法国巴黎大学教授斯图姆和法兰西学院教授刘维尔共同研究了热传导的微分方程，创造了逐次逼近法，随后他们研究了更一般的二阶微分方程，以及确定带边界条件的常微分方程的特征值与特征函数的问题，直接从方程本身入手，研究解的存在性及解的性质，得到了一系列重要结论，如特征值问题的零点比较、特征函数的零点个数、特征函数族的完备性及特征值的渐进公式等，形成了比较系统的斯图姆－刘维尔理论体系，这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程. 近年来，一些学者利用上述经典的特征值定性理论，对广义特征值问题进行分析和研究，在特征值定量估计方面取得了丰硕的成果[1-7]，其中文献[1]讨论了某类六阶微分方程的广义特征值估计问题，文献[2]讨论了一类六阶微分方程组常义下的特征值估计问题. 本文在此基础上，进一步考虑如下由个函数、个方程构成的六阶微分方程组广义低阶特征值的估计问题

其中(,)Ì是一个有界开区间，p()Î3[,]，q()Î[,]，s()Î2[,]，且满足p()=p()， q()=q()，s()=s(),=1,2,…,. 为方便推导，引入下列函数矩阵和向量的记号：P()=(p())´，Q()=(q())´，S()=(s())´，u=(1,2,…,y)T，首先将上述方程组写成如下等价的矩阵形式

且满足如下条件：对任意x=(1,2,…,)T有

1|x|2≤xTP()x≤2|x|2(2)

1|x|2≤xTS()x≤2|x|2(3)

xTQ()x≥0 (4)

上述,(=1,2)均为正常数.

问题(1)的广义特征值估计结果可视作是文献[1,2]结论的进一步推广，在许多经典的数学物理问题、量子物理学问题中有着一定的参考作用[8-10].

2 预备知识

设对应于问题(1)的主特征值1的特征向量为u，且满足

由问题(1)、式(3)和(5)得，再由式(6)和(2)，得

设试验函数j()=(-)u，式中常数，根据的定义和式(5)得

则j与u广义正交，且满足奇次边界条件j(k)()=j(k)()=0 (=1,2). 由广义Rayleigh-Ritz定理得

因此

根据上式和(9)得

3 主要定理及证明

在上述准备工作之下，可得到如下一系列引理及定理.

引理1 设>>0，函数()Î[,]，¢()Î2[,]，且满足() =()=0，则有

引理2 设u是问题(1)对应主特征值1的特征向量，则(Ⅰ)；(Ⅱ)； (Ⅲ)(其中>0).

证明：利用式(6)、分部积分和Cauchy-Schwarz不等式、式(3)和(7)得

化简上式即得引理2(Ⅰ).

即得引理2 (Ⅱ).

利用P()的正定性、式(2)、(3) 、(6)和带的Young不等式，得

即得引理2 (Ⅲ).

引理3 设1是问题(1)的主特征值，则

证明：利用分部积分和j的定义，计算可得

引理4 对于上述定义的j与1，则不等式成立.

证明：利用分部积分和j的定义得

整理即得引理4.

最后，可获得本文的主要结果：用主特征值来估计次特征值上界的不等式，且估计上界与所论区间的长度()有关，而与区间在数轴上的具体位置,无关.

定理 设1,2分别是问题(1)的主、次特征值(0<1<2)，则

证明：根据引理3和引理4，并选择0<≤4/3，利用引理2(Ⅰ)，从式(10)，可得

[1] 韩秋敏, 钱椿林. 六阶某类微分方程第二特征值的上界[J]. 苏州大学学报: 自然科学版, 1999, 15(4): 26-30.

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[6] 黄振明. 某类高阶偏微分系统离散谱的估计[J]. 黄石理工学院学报, 2011, 27(4): 43-46.

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(责任编辑：饶 超)

Quantitative Estimate of Second Eigenvalue for Sixth-order Differential Equations

HUANG Zhenming

(Department of Mathematics and Physics, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)

With the help of classical Sturm-Liouville’s eigenvalue qualitative theory, estimate of generalized lower-order eigenvalue for sixth-order differential equations is considered. The explicit inequality of the upper bound of second eigenvalue is estimated from the first one. The estimated upper bound is relevant to the length of the interval, but not to its location on the axis of coordinates.

Sturm-Liouville’s eigenvalue qualitative theory; Sixth-order differential equations; Generalized lower-order eigenvalue; Second eigenvalue

O175.1

A

2095-4476(2016)02-0005-04

2015-11-23

黄振明(1962— ), 男, 江苏苏州人, 苏州市职业大学数理部副教授.