浅谈选择公理及其等价命题

高迎 石夫磊



浅谈选择公理及其等价命题

高迎 石夫磊

首都经济贸易大学信息学院，北京 100070

对选择公理的背景知识及其在数学中的地位与作用以及若干等价命题作了比较系统的论述．

选择公理；集合；函数；代数

引言

1904年，策莫罗（E．Zermelo）最早提出选择公理：对于任何一个由非空集合所组成的集而言，其必定存在选择函数。选择公理应用在几乎所有的数学分支中。可以毫不夸张地说，如果没有选择公理，那么数学绝对不是今天这个样子。

1918年，谢宾斯基关于选择公理提出了宝贵的意见，他建议数学家们研究与其有关的各种命题的推理强度。后来，随着研究力度的逐步加大，越来越多的等价形式被数学家们发现[1-2]。

1938年，哥德尔证明了，在系统的每一模型中都存在一个内模型，选择公理以及广义连续统假设在其上是成立的。哥德尔的贡献是巨大的，他打消了人们对于选择公理的疑虑。

1958年，弗兰科尔曾经写道：“继欧几里德之后研究最多的数学公理莫过于选择公理了”。

到1963年，H. 拉宾（H．Rubin）和J. 拉宾两个人合作，他们一共收集了关于选择公理的100多种等价形式。

1 选择公理的广泛应用

大多数的代数学家以良序定理的形式使用选择定理是在1935年佐恩发表它的引理之前，然而，那个时候极大性还是与选择公理相关的最主要的代数概念。跟良序定理差别不大，这一概念也越来越多地被用于代数学领域。1918年以后，随着代数的抽象化程度越来越高，群论、环论、布尔代数以及格论也越来越离不开良序定理，并在线性代数和域论中发现了它的新应用[3]。

除此之外，选择公理在其他很多的领域都有着极其广泛的应用。例如，1927年，寇尼利用选择公理研究并解决了博弈论和地图染色问题。再比如，1929年，波兰数学家巴拿赫证明了所谓的Hahn-Banach定理。然而他在证明当中使用的就是良序定理。选择公理的广泛应用可见一斑。

2 选择公理及部分等价命题

选择公理在我们的现实世界中应用相当广泛，而且对于整个近代数学也具有深远而重大的影响，因此，探索研究它的等价形式也一直没有间断过，下面我们先看两个定义。

由此，我们可以叙述以下五个等价命题。

定理2.1 下面列出的五个命题是等价的：

良序定理（Zermelo定理）：对于一个任何集合而言，它一定可以被编成良序集。

选择公理及部分等价命题证明

证明：为证（1）、（2）、（3）、（4）、（5）互相等价，只需证明，，，，，。

所以有如下结论

由题意可知，要根据枚举定理而去证明 Zorn 引理。为此，我们假设是一个任意给定的非空偏序集，并且中的任意一个链都具有上界.我们需要证明中一定存在极大元.第一，我们根据枚举定理可以知道序数存在而使有，所以根据良序定理而把中的一切元枚举如下：

3 结论与展望

选择公理其实是一个颇具争论的命题，在历史长河中，很多人提出过质疑，但是大多数数学家是接受这一命题的，所以总而言之，关于这个命题其实是没有确定的结论的，但是，我们可以发现，它的作用是极其深远的，可以从中得出很多有用的结果，反正使用这条公理是没有什么逻辑矛盾的。

选择公理就好像是谜一般的一个命题，虽然表面上看是浅显易懂的，然而它却有着相当奇妙的功能，甚至我们可以从中得出超乎常理的结果。有些人相信选择公理，投赞成的一票，而另外也有一部分人对它抱有怀疑的态度。关于选择公理的研究相信会一直持续下去[4]。

[1]汪芳庭.公理集论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1995.

[2]萧文灿.集合论初步[M].北京：商务印书馆，1950.

[3]张锦文.集合论与连续统假设浅说[M].上海：上海教育出版社，1980.

[4]张锦文.集合论浅说[M].北京：科学出版社，1984.

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1009-6434（2016）03-0063-03