生长曲线模型的几乎无偏广义Liu估计

王晓博，左卫兵

(华北水利水电大学 数学与信息科学学院，河南 郑州 450046 )



生长曲线模型的几乎无偏广义Liu估计

王晓博，左卫兵

(华北水利水电大学 数学与信息科学学院，河南 郑州 450046 )

针对生长曲线模型中所存在的复共线性问题, 利用几乎无偏的思想, 提出生长曲线模型参数矩阵的一种新的有偏估计——几乎无偏广义Liu估计, 研究了该估计的优良性等性质, 并证明了在均方误差意义下, 几乎无偏广义Liu估计优于广义Liu估计及最小二乘估计, 最后通过数据验证了相关结论.

生长曲线模型；广义Liu估计；几乎无偏广义Liu估计；有偏估计

0　引言

生长曲线模型是1938年WISHART在研究不同组间动植物的生长情况时引入的,它是生命科学中一类非常重要的广义线性统计模型.对于线性模型的估计问题, 最常用的估计就是最小二乘估计[1],然而当设计阵存在复共线性时, 得到参数估计的精度较差.同样地,对于生长曲线模型,当设计阵A(或C)呈病态时,估计的精度就明显达不到要求. 学者们针对该问题做了大量的研究.文献[2]研究了生长曲线模型参数矩阵的广义岭估计, 并运用极小化均方误差的方法来确定参数的选取.文献[3]提出了生长曲线模型中回归系数的一个线性无偏估计类,获得了若干更深入的结果.文献[4]研究了生长曲线模型的综合岭估计, 在均方误差及均方误差矩阵意义下讨论了该估计的优良性.文献[5]在文献[4]的基础上, 将综合岭估计推广到协方差矩阵为正定和半正定的情形, 使模型更具有一般性. 文献[6-7]在PC准则下给出了生长曲线模型岭估计及广义岭估计的优良性.文献[8]重点讨论生长曲线模型中岭参数的选取方法.文献[9]综合生长曲线模型的有偏估计提出了统一有偏估计.文献[10-11]探讨了线性模型下Liu估计及广义Liu估计的相关性质. 文献[12-13]研究了线性模型的几乎无偏估计.文献[14]将几乎无偏的思想运用到生长曲线模型的岭估计中, 提出几乎无偏岭估计,研究表明在均方误差意义下几乎无偏岭估计优于岭估计.

本文先将线性模型下的广义Liu[10]估计推广到生长曲线模型下, 并利用文献[15]中几乎无偏的思想, 提出一种新的有偏估计——几乎无偏广义Liu估计, 在均方误差意义下优于最小二乘估计和广义Liu估计, 并通过实例验证相应的结论.

1　估计的提出

本文研究生长曲线模型

(1)

其中X为n×q随机观测矩阵,e为n×q随机误差矩阵,A为n×p的列满秩矩阵, C为s×q的行满秩矩阵, A、C均为已知设计阵, B为p×s的未知回归参数矩阵,σ2>0为未知参数,Vec(e)表示把矩阵e按列向量依次排成的向量, ⊗表示Kronecker乘积.

由文献[3]知模型(1)可化为一元线性模型

(2)

易知模型(2)的典则形式为

(3)

其中α为典则回归系数,β=Vec(B),α=(φ⊗φ)′β, Y=C′φ, Z=Aφ,φ,φ均为正交阵, 且有

φ′CC′φ=Y′Y=diag(λ1,λ2,…,λs)≜Δ1，φ′A′Aφ=Z′Z=diag(μ1,μ2,…,μp)≜Δ2，

其中λ1≥λ2≥…≥λs,μ1≥μ2≥…≥μp分别为CC′, A′A的特征根.

由文献[1] 易知α的LS估计为

(4)

α的广义Liu估计为

2　估计的性质

3　估计的优良性

从均方误差的角度, 将几乎无偏广义Liu估计与广义Liu估计、最小二乘估计进行比较, 则有以下定理1.

证明由文献[3]知

(5)

同理

(6)

利用(5)和(6)得

(7)

(8)

(9)

(10)

4　小结

本文主要针对生长曲线模型中存在的复共线性问题, 结合几乎无偏的思想, 提出几乎无偏广义Liu估计, 并将该估计与最小二乘估计、广义Liu估计等比较, 证明在均方误差意义下, 几乎无偏广义Liu估计优于最小二乘估计和广义Liu估计, 最后通过数据验证了相关结论. 对于该文中生长曲线模型的具体参数模拟, 还需继续研究.

5　实例应用

现讨论MALINVAND于1966年提出的研究法国经济的实例.数据n=11,考虑的自变量有3个，A1：国内总产值,A2：存储量,A3：总消费量；因变量有两个，X1：进口总额,X2:出口总额, 原始数据如表1.

表1　法国经济原始数据/10亿法郎

Xj=b0j+b1jA1+b2jA2+b3jA3+ej,j=1,2.

记X=(X1,X2), A=(1,A1,A2,A3), 应用特征根分析方法知, A1, A2, A3之间存在复共线性关系, 所以回归系数的最小二乘估计是极不稳定的, 现求回归系数的几乎无偏广义Liu估计. 经计算得

λ1=λ2=1,μ1=644 699.9,μ2=32.591 97,μ3=18.076 83,μ4=0.161 017 9,

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Almost Unbiased Generalized Liu Estimates in Growth Curve Model

WANG Xiaobo, ZUO Weibing

(College of Mathematics and Information Science,North China Univer Sity of WaterResourceandElectricPower,Zhengzhou450046,China)

Proposes a new biased estimation for parameter matrix, namely almost unbiased general Liu estimation. Then discusses its optimal property and proved that almost unbiased general Liu estimation is superior to general unbiased Liu estimation and least square estimation in the sense of mean square error. At last, gives a numerical example to illustrate theoretical results.

growth curve model； generalized Liu estimate； almost unbiased generalized Liu estimates； biased estimate

2016-02-29

河南省基础与前沿技术研究项目(142300410401)

王晓博(1987—)，女，河南登封人，华北水利水电大学数学与信息科学学院在读硕士研究生.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.03.008

F22

A

1007-0834(2016)03-0027-04