具有Lagrange型余项的Taylor定理中值点的渐近性

李冬辉

(河南教育学院 数学与统计学院，河南 郑州 450046)



具有Lagrange型余项的Taylor定理中值点的渐近性

李冬辉

(河南教育学院 数学与统计学院，河南 郑州 450046)

研究当区间长度趋于无穷时，具有Lagrange型余项的Taylor定理中值点的渐近性.

Taylor定理；Lagrange型余项；中值点；渐近性

0　引　言

关于中值定理的中值点具有的渐近性质，文献[1]～[3]进行了研究，并得出了相应的结论.对于具有Lagrange余项的Taylor定理的中值点，文献[4]研究了当区间长度趋于零时，中值点具备的渐近性质.本文研究在不同条件下，当区间长度趋于无穷时，中值点具备的渐近性质.首先，引述Taylor定理.

定理1若函数f(t)在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n+1阶导函数，则对任意给定的x,x0∈[a,b]，至少存在一点ξ∈(x,x0)或(x0,x)，使得如下Taylor公式成立

由定理1知，若函数f(t)在[a,x]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,x)内存在n+1阶导函数，则至少存在一点ξ∈(a,x)，使得如下Taylor公式成立

(1)

其中，ξ∈(a,x).下面研究在不同条件下，当x→+∞时，ξ具备的性质.

1　主要定理

证明由(1)式得

由于f(n+1)(x)在[a,+∞)上连续，所以，当x→+∞时，ξ→+∞.取

由于

一方面，连续使用n+1次洛比达法则可得

(2)

另一方面，由(1)式得

(3)

由(2)，(3)式得

设g(x)如定理2证明中所设，根据定理条件，按照定理2的证明过程可知，一方面，连续使用n+1次洛比达法则可得

(4)

另一方面，由(1)式得

(5)

由(4)，(5)式得

推论在定理3的条件下，(1)式中的ξ满足

证明由定理3及洛比达法则可得

[1]刘文武，严忠权．积分型Cauchy中值定理中间点的渐近性[J]．数学的实践与认识，2010，40(11)：228-231．

[2]戴立辉，刘龙章．积分型Cauchy中值定理中间点的渐近性[J]．大学数学，2009，25(3)：168-172.

[3]苏翎，赵振华，董建.一个广义的Cauchy型的Taylor公式[J].数学的实践与认识，2009，39(21)：214-216.

[4]王金花，孙兰香，朱江红. 泰劳公式的拉格朗日型余项中介值点的研究[J]. 数学的实践与认识，2010，40(7)：221-224.

[5]华东师范大学数学系. 数学分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2001:138-139.

Asymptotic Properties for Median Point of Taylor Theorom with Lagrange Remainder Term

LI Donghui

(School of Mathematics and Statistics， Henan Institute of Education, Zhengzhou 450046, China)

Studies the asymptotic properties for median point in Taylor theorem with Lagrange remainder term as interval length goes to infinity.

Taylor theorem; Lagrange remainder term; median point; asymptotic properties

2016-02-22

河南省高等学校重点科研项目(16B110005)

李冬辉(1963—)，男，河南许昌人，河南教育学院数学与统计学院副教授，主要研究方向：基础数学.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.03.001

O172.2

A

1007-0834(2016)03-0001-03