卢卡西维茨多值逻辑在模糊模态逻辑中的应用

周 娟，李 超

（湖北民族学院科技学院，湖北恩施445000）

卢卡西维茨多值逻辑在模糊模态逻辑中的应用

周 娟，李 超

（湖北民族学院科技学院，湖北恩施445000）

模态推理是人工智能研究的重要内容.已有的推理方法，由于计算复杂等原因，使用范围受到限制.将模态逻辑转换为卢卡西维茨多值逻辑，再将卢卡西维茨多值逻辑转换为布尔逻辑的推理机计算简单，而且还能用于模糊模态和模糊谓词推理中.基于此，验证了模态逻辑和卢卡西维茨的三值逻辑的相符性，并将推理机应用于模糊模态逻辑中.

卢卡西维茨多值演算；模态逻辑；推理机；模糊逻辑

逻辑学研究的主要是推理形式及其规律.推理通常由若干命题组成，推理形式通过命题得以表示.模态逻辑研究模态推理形式及其规律，即，必然、可能及其相关概念的逻辑性质.其中，□表示必然，◇表示可能.□和◇之间的联系为◇x=¬□¬x（¬表示非、否定）.

古典逻辑是二值逻辑，一个命题只有两种取值，非真即假，非假即真，是确定的.亚里士多得在《解释篇》第九章中指出：“明天将有海战”.这类命题既非真，又非假，而是真假都可能，具有随机性、模糊性［2］.所以，一个命题有可能取三个或者更多值.针对将来不确定陈述，卢卡西维茨等引进了多值逻辑.在卢卡西维茨的三值逻辑中，公式x有三个值：val（x）=｛0，1/2，1｝，其中0代表不可能（假）的，1/2-可能的，1-必然（真）的.

模态逻辑和卢卡西维茨三值逻辑的转换如下：

用二元矢量公式（x1，x2），（¬x2，¬x1），（y1，y2），（¬y2，¬y1）对应地替换三值公式x，¬x，y，¬y［3］，即：

并使用以下三值公式和矢量公式之间的对应关系：

即获得了等价的布尔逻辑［4］.

与使用其他方法（如：公理化方法［5］、归结原理［6］、自然演绎方法［7］、表列方法［8］等）的推理机相比，上述推理机的适用范围更广，计算更简单［9］.

1 验证模态逻辑和卢卡西维茨的三值逻辑的相符性

1.1 模态基本定理

用卢卡西维茨的逻辑推理替换模态逻辑推理需要验证基本公理的可行性.用□x≡val（x）=1，◇x≡val（x）≥1/2证明以下定理（符号⇒指模态演算的蕴涵，→布尔命题演算的蕴涵.x［μ（x）］表示一个只允许val（x）≥μx解释的公式.μx是公式x的不确定度.）

因为对于任意一个公式x，卢卡西维茨的三值逻辑不允许解释x=（x1，x2）=（0，1）.因此，在上述系统还需要添加以下公式：

得到如下公式：

证明 ¬p2∨q1·q2.

证明由归结原理得到.

1.2 非模态基本定理

证明若干不使用模态算子□和◇的重要定理.

证明基于以下真值表1.

表1　x→y≡¬x∨y真值表Tab.1 The truth tab1e of x→y≡¬x∨y

这个定理用归谬法（反证法）证明.用以下公式：

作为前提，并且证明：

通过观察可得出结果，x·¬y=（x1·¬y2，x2·¬y1）不允许解释（1，0）和（1，1），其中x1·¬y2=1.

用归结原理，通过类比可以看出该公式是真的.

这个规则是直接根据本节的定理1和3而来的.

这条规则的解释同第四个定理.

2 模糊模态逻辑

模糊模态逻辑是通过指定模糊测度从模态逻辑公式推导而来的.例如□xy［μ≥0.6］表示公式□xy为真的可能性为0.6.设S是给定的公式：

考虑到严格归结原理的限制，我们根据卢卡西维茨多值逻辑建立推理机，多值逻辑允许近似推理具有足够精确度的给定模糊逻辑.以卢卡西维茨四值逻辑为例：

其中：v=0-假，v=1-可能假，v=2-可能真，v=3-真.使用以下四值公式和矢量公式之间的对应关系：

因为α≡（α1，α2，α3），所以◇α［μ≥1/3］=◇（010∨110∨111）=◇（¬α1α2¬α3∨α1α2¬α3∨α1α2α3）=◇（α1α2∨α2¬α3∨α2α3）=◇α2.

再看一个例子，◇α［μ≥2/3］=◇（110∨111）=◇（α1α2）→◇α1.

也就是说，用“简明模态逻辑”的公式◇α2代替公式◇α［μ≥1/3］，用◇α1代替公式◇α［μ≥2/3］.

3 卢卡西维茨多值逻辑在模糊模态逻辑中的应用

为了解决模糊模态逻辑的推理问题需要执行两个步骤：

1）把原始的模糊模态系统转换成经典逻辑系统.

2）借助于已知的演绎方法（如归结原理）实现经典逻辑系统的推理.

例1 证明或反驳命题，从公式◇（x∨y）［μ≥1/3］和□¬x［μ=1］推出公式◇y［μ≥1/3］.

用三元矢量公式（x1，x2，x3），（¬x1，¬x3，¬x2），（y1，y2，y3），（¬y1，¬y3，¬y2）对应地替换四值公式x，¬x，y，¬y，得到：

获得了等价公式：

证明基于归结原理，即，首先对结论求反，然后将已知条件和结论的否定合在一起作为新子句集.如果新子句集存在矛盾，则证明了结论的正确性.对被证明的公式求反，得到以下的子句集：

借助于卢卡西维茨的三值公式可得：

最终形成以下的子句集：

该子句集存在矛盾，证明了结论的正确性.

例2 证明或反驳命题，从公式◇（x∨y）［μ≥1/3］，□¬x［μ=1］和□¬y［μ≥2/3］推出公式◇¬y［μ≤1/3］.

同上可得：

从以上公式中证明公式◇（¬y1·¬y2）.

对被证明的公式求反，得到以下的子句集：

该子句集不存在矛盾，证明了结论是不正确的.

4 结论

本文的理论方法可以应用在各种智能系统中.显然，由于卢卡西维茨多值逻辑推理机的近似特性，还需要进一步研究多个真值和规定精度之间的关系.除此之外，如何将推理机应用于含有模糊谓词的模态推理中也是一个需要深入研究的课题.

［1］ 周娟，李超.基于卢卡西维茨多值演算的模态逻辑推理机［J］.湖北民族学院学报（自然科学版），2015，33（3）：285-289.

［2］ 张家录，陈雪刚，赵晓东.经典命题逻辑的概率语义及其应用［J］.计算机学报，2014，37（8）：1775-1785.

［3］ GEMAN O V，SAMKO R A，GERMAN Yu O.An inference system for a fuzzy 1ogic on the basis of mu1ti-va1ued Lukasiewicz ca1cu1i［J］.Works of the Be1arusian University of Techno1ogy（Minsk，Be1arus），Natura1 Sciences and Informatics，VI，2010，（18）：190-193（in Russian）.

［4］ GERMAN O V.Non-c1assica1 1ogica1 ca1cu1i［M］.The Repub1ic of Be1arus：BSUIR，2012：21-25（in Russian）.

［5］ 李骏，王国俊.基于支持度理论的广义Modus Ponens问题的最优解［J］.软件学报，2007，18（11）：2712-2714.

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［7］ 陈晓平.自然演绎逻辑导论［M］.广州：中山大学出版社，2006：102-103.

［8］ Jarmu-ek T.Tab1eau Metatheorem for Moda1 Logics［M］.Germany：Springer Internationa1 Pub1ishing，2014：103-126.

［9］ 王庆平，王国俊.多值Lukasiewicz逻辑公式的范式表示和计数问题［J］.软件学报，2013，24（3）：433-453.

责任编辑：时 凌

APPlication of Lukasiewicz Multivalued Calculi in FuzzY Modal Logic

ZHOU Juan，LI Chao
（Science and Techno1ogy Co11ege of Hubei University for Nationa1ities，Enshi 445000，China）

In this paper rep1acement of inference machine in moda1 1ogic by the corresponding inference in 3-va1ued Lukasiewicz 1ogic is verified.The inference machine a11ows approximating the given fuzzy 1ogic with a reasonab1e degree of accuracy.By means of verification and examp1es，we showed the app1ication of Lukasiewicz mu1tiva1ued ca1cu1i in fuzzy moda1 1ogic.

mu1ti-va1ued Lukasiewicz ca1cu1us；moda1 1ogic；inference machine；fuzzy 1ogic

TP18

A

1008-8423（2016）02-0214-05

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.025

2016-01-28.

周娟（1986-），女，硕士，主要从事模态逻辑的研究.