参数型拉格朗日插值公式

刘国祥

（赤峰学院　数学与统计学院，内蒙古　赤峰　024000）

参数型拉格朗日插值公式

刘国祥

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）

本文给出经过n+1个定点的参数式平面曲线和空间曲线的拉格朗日型插值公式，这些点的横坐标可以重复，甚至有些点是可以重复的.

平面曲线方程；空间曲线方程；参数方程；拉格朗日插值公式

给定平面上的n+1个不同的点

如果他们的横坐标xi（i=0，1，2，3，……，n）任意两个互不相同，当然我们不妨假定x0＜x1＜x2＜……＜xn.那么，一定存在唯一的次数不超过n次的多项式Pn（x），使得满足条件：yi=Pn（xi），（i=0，1，2，3，……，n）.这个多项式用拉格朗日型插值公式表示是：

例如，当n=2时，直接写出来是：

这里必需注意的是，他们的横坐标xi（i=0，1，2，3，……，n）互不相同.如果横坐标相同，不可以写出这样的多项式，因为多项式是单支函数，同一个横坐标xi对应的函数值yi必须是唯一的.现在我们要考虑的是，如果他们的横坐标xi（i=0，1，2，3，……，n）有重复，更甚至点集合（xi，yi），（i=0，1，2，3，……，n）有重复，是不是能够找到通过这n+1个点的曲线呢？

注意，这里用“曲线”，当然可以用方程，但是绝不是函数，绝不是多项式.

考虑到参数方程和极坐标方程可以表示更多的曲线，但是极坐标不容易推广到三维立体空间中，尝试借助于参数方程，参照拉格朗日插值公式，能够做到这一点.先就简单的例子说明方法，再推广到一般情形.

例1求经过（0，0），（0，1），（1，0）三点的曲线的参数方程.

解这里横坐标有重复的，不能够直接应用拉格朗日插值公式.因为经过三个点，试图引进一个参数t，t取值为0，1，2.做两个以t为参数的函数x=x（t），y=y（t），t=0，1，2.使得：

应用拉格朗日插值公式，得到经过（0，0），（0，1），（1，0）三点的曲线的参数方程：

化简后得到：

这个参数方程，在t=0，1，2时，分别得到（0，0）（0，1），（1，0）三个点.所以它是经过三个已知点的参数曲线方程.

利用Matlab画出曲线的图形，看的更清晰.

图1　经过（0，0），（0，1），（1，0）三点参数的曲线

把这个简单的例子作为一般性的推广，就得到平面上或者空间中通过n+1个点（坐标可以重复）的拉格朗日型插值参数方程.

定理1通过平面上的n+1个点：（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn）的拉格朗日型参数方程是：

定理2通过三维立体空间中的n+1个点：（x0，y0，z0），（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），……，（xn，yn，zn）的拉格朗日型参数方程是：

例2 求通过4个定点：（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1）的平面参数曲线方程.

解直接代入（6）式中：

容易看出来，题目所给定的4个点在单位圆周x2+y2=1上，但是这个参数方程消去参数并不是这个圆，有一点象笛卡尔曲线的样子.

图2　经过（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1）四点的参数曲线

例3求通过5个定点：（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），（1，0）的平面参数曲线方程.

解这里的（1，0）点，是第一个点，也是第五个点，也就是说有重复点，应该就是曲线的一个重点.

直接代入（6）式中：

化简后得到：

容易看出来，虽然经过的点一样，这里的曲线与例2是有区别的，除了（1，0）点外，还有一个重点.

图3　通过（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），（1，0）五点的平面参数曲线

例4求通过3个定点：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）的空间参数曲线方程.

解直接代入（7）式中：

这里参数t的取值为0，1，2，……n，如果取其他值，类似的可以得到其它形式的参数方程.

图4　通过（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）三点的空间参数曲线

〔1〕许萃薇，孙绳武.计算方法引论［M］.北京；高等教育出版社，2002.30-31.

〔2〕刘国祥.用插值方法得到的几个恒等式［J］.赤峰学院学报，2005，8（4）：28-31.

〔3〕刘国祥，用插值方法构造多项式证明中值问题［J］.赤峰学院学报，2011，3（3）.

〔4〕刘国祥.收敛速度阶数更高的迭代开方公式［J］.赤峰学院学报，2011，2（2）.

〔5〕武汉大学，山东大学.计算方法［M］.北京；高等教育出版社，1983.

O122.4

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1673-260X（2016）04-0021-02

2015-12-29