基于两种分布下的SV模型与GARCH模型的VaR比较

周炳均，王　沁，郑　兴

(西南交通大学数学学院， 四川　成都　610031)



基于两种分布下的SV模型与GARCH模型的VaR比较

周炳均，王沁，郑兴

(西南交通大学数学学院， 四川成都610031)

文章将随机波动SV模型与GARCH模型应用于VaR的计算，并利用上证指数的实际数据作实证研究，构建基于正态分布和T分布下的GARCH模型与SV模型，测量了上证指数收益率的风险价值(VaR).结果表明，相比GARCH模型，SV-N，SV-T模型能更准确地对实际市场波动情况进行拟合，更加真实地反映上证指数的市场风险特性.

VaR；GARCH模型；SV模型；金融风险

随着全球金融市场的发展，金融市场的波动进一步加剧，金融风险越来越受到关注.近年来,越来越多的风险测量技术得到应用.VaR (Value at Risk)是当前比较流行的测量金融风险的方法，它集中表明了在一定时间期间内，在给定的置信水平下某资产预期可能损失的最多金额.

在VaR的计算中，波动率是核心参数.起初，传统的分析方法是假设市场因子服从方差不变的正态分布来计算VaR，但由于不符合金融市场的时变性，这样得出的结果显然不能令人满意.1986年，Bollersive[1]提出的GARCH模型能够很好地刻画资产收益率的波动特征，被大量用于VaR的计算[2].然而，GARCH 模型在刻画金融时间序列的“高峰厚尾”、杠杆效应、方差平方序列自相关性等特征时的表现并不是很理想[3].相较于GARCH模型，另一类异方差模型是SV模型，它具有金融计量经济学和数理金融学的双重根源.其显著特征是将方差变化用一个鞅差分序列的随机过程表达，被认为是刻画金融市场波动性的最理想模型之一.Harvey A[4]等学者做过大量关于SV模型与GARCH模型的比较研究，认为相较于GARCH模型，SV模型所刻画的波动性与实际的金融市场更加接近.在国内，也有李汉东等[5]在Harvey A研究的基础上从中国股票市场的实际数据发出对这两类模型做实证比较，得出类似结论.诸多学者如余红英、张世英[6]等基于上证指数将SV模型与GARCH模型引入VaR的计算，最后得出SV模型对VaR的刻画更精确的结论.本文旨在利用不同分布下的GARCH模型与SV模型来测量股市的VaR值，从VaR的似然比检验值出发说明不管在正态分布下还是在T分布下，SV 模型都比 GARCH 模型更加符合金融市场实际特征.

1　GARCH和SV模型及其VaR计算

1.1GARCH模型

模型的结构如下：

(1)

其中，Xt为每日收益率，ω、α、β是待估参数，ηt是扰动项.GARCH模型将滞后条件方差与扰动考虑进来，增加了方差的自适应性，可以很好地描述金融序列的尖峰厚尾性.GARCH模型中有两类特殊的形式较为常用，一种是GARCH(1,1)-N模型，另一种是GARCH(1,1)-T模型.该结构下，当p=q=1时，若ηt服从正态分布则模型为GARCH(1,1)-N模型，若ηt服从T分布则是GARCH(1,1)-T模型.GARCH模型的参数估计常采用极大似然估计法.

1.2SV模型

标准的SV模型表达式：

yt=εteht/2

(2)

ht=α+βht-1+ηt

(3)

其中：εt服从均值为0、方差为l的独立正态分布；ηt是具有零均值、方差为常数的扰动项.此时，若ηt服从正态分布，则模型为SV(1)-N模型.若ηt服从T分布，则模型为SV(1)-T模型，且εt与ηt不相关.α、β、σ均为待估参数.SV模型中的波动除了与之前的波动相关外，还依赖于当前的新息项ηt.这正是SV模型与GARCH模型的不同之处，当前扰动的加入使SV模型能够更为准确地刻画金融时序的波动.

对SV的参数估计，最常见的是广义矩估计(GMM )和马尔科夫链蒙特卡罗模拟法 (MCMC).但GMM方法的估计精度并不高，而MCMC方法计算量大且过程复杂.所以本文选取伪极大似然估计(QML)对SV模型进行参数估计.定义：

将标准的SV模型转化成如下的线性形式：

zt=xt+ξt

(4)

xt=α+βxt-1+ηt

(5)

对其运用卡尔曼滤波和伪极大似然法即可求得SV模型参数(α,β,σ,v)的估计.

1.3模型的VaR计算

风险价值VaR的具体含义为：在一定时间内，一般市场条件和给定的置信水平下预期可能面临的最大损失.即Prob(Rt< - VaR)=1-a.

其中，a是置信水平(一般为95﹪)，Rt表示第t期的收益(一般为负值).VaR为第t期时在置信水平a下的风险价值，当VaR为正值时，VaR的计算公式如下：

VaR=-μ+σZ1-α

(6)

μ和σ分别表示样本收益率的均值与方差，Z1-α为对应的分位数.将各模型的参数估计出来后，计算出各模型的收益率波动σ，带入VaR的计算式，即可计算出VaR.

1.4VaR的验证方法——似然比(LR)检验

因VaR是VaR模型估计所得的数值，所以需要对VaR模型进行检验，来确保VaR的准确性.假定各个时间点的VaR估计相互独立，则失败出现的天数就可以看成一系列独立的贝努利试验，其失败概率服从二项分布B(T,p)，失败的期望概率为p′，p′=1-α(α为置信度).假设实际考察的天数为T，失败的天数为N，置信度为α，进而失败的概率的频率估计为p′=N/T.这样对模型有效性的评价就可以转化为判断实际检验失败的概率p与期望失败概率p′是否存在显著性差异，即：H0:p=p′，H1:p≠p′.

Kupiec对此提出了目前处理模型风险最常用的拟然比率检验法:

LR=-2(lnL(p′)-lnL(p))

=-2ln[1-p′]T-Np′N+2ln[(1-N/T)N-T(N/T)N]

(7)

似然比统计量LR服从自由度为1的χ2分布.卡方分布的95﹪置信区间临界值为χ2(m)=3.84，所以，如果统计量LR>3.84，则拒绝原假设，说明VaR模型并不能很好地拟合样本数据.反之，则接受原假设即可以认为被检验模型可以很好地拟合样本数据.

2　实证研究

2.1数据的选取及统计特征

本文的数据来源是中信建投大智慧软件，为了避开2008年的金融危机和2015年股市的大起大落，选取了从2009年1月5日到2014年12月8日上证综指所有交易日的收盘价.除去周末和法定假日，共有1 439个收盘价数据.对其取对数收益率：

rt=ln(pt)-ln(pt-1)

(8)

其中，pt为上证综指的当日收盘价，pt-1为前一日收盘价.对收益率数据做相应的统计分析如图1所示.

图1　上证指数收益率折线图

由图1可以看出，数据存在着波动丛集性，即一个大波动常常伴随着几个连续的大波动，一个小波动下伴随着几个小波动，而且没有明显的趋势，可初步判定其平稳.

从上证指数收益率的偏度、峰度以及相应统计量的值可以看出，上证综指收益率序列存在着尖峰、厚尾特性，不符合正态分布的特征.在Eviews上采用ADF单位根检验，发现其值在5﹪水平上是显著的，说明数据不存在单位根，序列基本平稳.

表1　上证指数收益率的基本统计特征

注：其中*表示在5﹪显著性水平下显著.

2.2模型的参数估计

分别基于SV(1)模型和GARCH(1,1)模型，在正态分布和T分布下运用伪极大似然估计和极大似然估计方法，通过Matlab软件进行参数估计的结果如表2和表3所示.

表2　GARCH(1,1)模型在不同分布下的参数估计结果

注：括号上方是参数估计值，括号内是参数检验p值.

由表2得出在正态分布下GARCH(1,1)-N模型的表达式为：

ht= 0.00000222 + 0.0405εt-12+ 0.9465 ht-12

(9)

在T分布下GARCH(1,1)-T模型的表达式为：

ht= 0.00000134 + 0.0322εt-12+ 0.9607ht-12

(10)

且η服从自由度为6.352 8的T分布.

表3　SV(1)模型在不同分布下的参数估计结果

注：括号上方是参数估计值，括号内是参数检验p值.

由表3的参数估计结果可得在正态分布下SV(1)-N模型的表达式为：

ht=-0.031 5+0.996 5ht-1+ηt

(11)

其中，ηt服从N(0,0.054 0)的正态分布.

在T分布下SV(1)-T模型的表达式为：

ht=-0.012 3+0.998 1ht-1+ηt

(12)

其中ηt服从均值为0、方差为0.039 7、自由度为6.352 8的T分布.

2.3时变VaR值估计和返回检验结果

对于VaR的计算公式：

VaR=-μ+σZ1-α

(13)

其股指每日收益率的总体期望μ=0，利用在正态分布和T分布下的SV模型与GARCH模型的表达式可计算出各时点的波动σt，再根据其分布计算出相应的分位数Z1-α，代入(13)式，即可求得各模型的时变VaR值.比较样本的每日实际收益率与VaR估计值，当损失大于VaR时，标记为失败天数，并计算失败率与LR检验值.

表5　VaR值与LR检验结果

由表5可知：各模型在95﹪水平下的VaR均值、标准差及VaR预测失败天数和LR统计量.可以观察到基于GARCH模型的VaR均值要小于SV模型的VaR均值，且失败天数明显高于SV模型的失败天数，其失败率均大于0.05，说明其低估了损失风险.对于LR统计量可以看出，只有基于T分布的GARCH模型的LR统计量大于3.84，即其他3个模型都能够较好地刻画数据.由于LR统计量越小，表示模型对样本数据的拟合越好，正态分布下的SV-N模型计算VaR的LR统计量为0.0176<3.84，且最小，即可以认为SV-N模型拟合样本数据的效果最好.综合来看，不管假设市场的扰动因子服从正态分布还是T分布，基于SV模型计算出的VaR值都能更好地反应市场风险水平.

3　结论

本文从上海证券交易所股指收益率序列的统计特征出发，对收益序列分别建立SV(1)模型、GARCH(1,1)模型，并在假设其扰动服从标准正态分布及T分布下运用伪极大似然估计方法和极大似然估计方法对模型进行了参数估计和VaR值的测算.结果表明，不管市场扰动因子服从正态分布还是T分布，基于SV模型下计算出的VaR值都更能反映市场风险水平.这说明将SV-N模型应用于上证股市风险测量是十分有效的，且明显优于其他分布假设的模型.但还存在几个问题有待解决：

(1)本文仅对单一的上证指数日收益率计算了VaR测度，而实际生活中通常遇到的是一些组合资产的VaR问题.怎样利用 SV 模型和GARCH模型来对多个市场组合的因子波动性进行测定并寻求最为恰当的资产权重，计算总体综合风险是需要进一步讨论的问题.

(2)本文选取的SV模型和GARCH模型都是标准模型，虽然在正态分布与T分布下能够较好地刻画金融序列的“厚尾”性，但相较于扩展的SV与扩展的GARCH模型，如基于杠杆效应的SV模型、EGARCH模型等，对实际数据的刻画能力仍较弱.

[1]BOLLERSLEV T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics, 1986, 31(3): 307-327.

[2]ANDERSSON J. On the normal inverse Gaussian stochastic volatility model[J]. Journal of Business & Economic Statistics, 2001, 19(1): 44-54.

[3]BILLIO M, PELIZZON L. Value-at-risk: a multivariate switching regime approach[J]. Journal of Empirical Finance, 2000, 7(5): 531-554.

[4]HARVEY A, RUIZ E, SHEPHARD N. Multivariate stochastic variance models[J]. The Review of Economic Studies, 1994, 61(2): 247-264.

[5]李汉东. 多变量时间序列波动持续性研究[D].天津：天津大学,2000.

[6]孟利锋,张世英,何信. 具有杠杆效应SV模型的贝叶斯分析及其应用[J]. 系统工程,2004(3):47-51.

[7]余素红,张世英,宋军. 基于GARCH模型和SV模型的VaR比较[J]. 管理科学学报,2004(5):61-66.

[8]李汉东,张世英. 随机波动模型的持续性和协同持续性研究[J]. 系统工程学报,2002(4):289-295.

[9]王春峰,万海晖,张维. 金融市场风险测量模型——VaR[J]. 系统工程学报,2000(1):67-75.

(责任编辑穆刚)

Comparison of VaR based on the two kinds of distribution between the GARCH model and SV model

ZHOU Bingjun,WANG Qin,ZHENG Xing

(College of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan 610031,China)

The SV model and GARCH model were applied to the calculation of VaR, and the Shanghai composite index’s actual data was used for the empirical research. Based on N distribution and T distributionthe GARCH model and SV model were established, and the Shanghai index yield value at risk (VaR) was measured. The results show that the SV-N, SV-T model can better calibrate the actual market volatility, and can truly reflect the characteristics of Shanghai composite index of market risk.

VaR; GARCH model; SV model; financial risk

2016-04-16

周炳均(1992—),男，四川眉山人，硕士研究生，主要从事金融统计方面的研究.

F224

A

1673-8004(2016)05-0133-05